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@ -3,15 +3,14 @@
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\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
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\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
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\begin{document}
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\section{Trajectoire}
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Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
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\begin{defin}
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Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ est une trajectoire, tel que les axiomes suivants sont vérifiés:
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\begin{enumerate}
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\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(.,x)$ est dérivable.
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\item Continuité : $\chi(\cdot,\cdot)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(\cdot,x)$ est dérivable.
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\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
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\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
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\end{enumerate}
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@ -19,8 +18,8 @@ Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du systèm
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\begin{rem}
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\begin{itemize}
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\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
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\item On dénote la trajectoire $\chi(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
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\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(\cdot,\cdot)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
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\item On dénote la trajectoire $\chi(t,\cdot) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
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\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
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\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
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Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$ où $\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
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@ -30,7 +29,7 @@ En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
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Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
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On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
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$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
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$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y z\in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
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Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
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\end{itemize}
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@ -68,7 +67,7 @@ De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge v
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\end{thm}
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\begin{defin}
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Soit deux espaces métriques $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
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Soit deux espaces munis de leur normes $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
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On dit que $f$ est \emph{lipschitzienne} si $\exists \alpha > 0$ tel que
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\[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
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\end{defin}
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@ -123,7 +122,7 @@ Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses vale
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Les points d'équilibre d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
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\item Les \emph{points d'équilibre} d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
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\item Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun.
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@ -3,9 +3,8 @@
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Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
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On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
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\begin{rem}
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On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
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\end{rem}
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Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
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@ -30,9 +29,7 @@ On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant so
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\begin{rem}
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En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
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\end{rem}
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\begin{rem}
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Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
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Cette approximation peux être réalisé dans le cas d'un régime forcé:
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x} = f(x,u)\\
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@ -56,8 +53,9 @@ En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même sys
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\end{rem}
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\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
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\begin{prop}
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La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
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La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan\footnotemark de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
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\end{prop}
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\footnote{cf UE421}
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\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
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$J = \begin{pmatrix}
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\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
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@ -148,7 +146,7 @@ r(t) = e^{\alpha t} r_0
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\begin{defin}
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Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
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\begin{itemize}
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\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
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\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C}\quad \forall t\in[t_0,t_0+T[$
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\item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
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\end{itemize}
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\end{defin}
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@ -163,7 +161,7 @@ On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\
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\begin{prop}
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\begin{description}
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\item[Cycle limite stable]~\\
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Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
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Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite:
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\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
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i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
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\item[Cycle limite instable]~\\
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@ -196,9 +194,9 @@ $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et d
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\begin{thm}[Index de Poincaré]
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Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
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Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
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Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encercle sont tel que
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\[
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N =S +1
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\boxed{N =S +1}
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\]
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\end{thm}
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ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
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@ -250,12 +248,11 @@ Représentation d'état :
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\end{cases}
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\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]
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Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
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Calculons $\divv f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
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$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
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$\divv f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
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\end{example}
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\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
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@ -274,9 +271,9 @@ $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cy
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\end{rem}
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\begin{defin}
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Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
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Un \emph{attracteur} est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
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\[
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\forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
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||||
\forall x\in \mathcal{N}, \text{ et } \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 , \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
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\]
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\end{defin}
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\begin{rem}
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@ -284,16 +281,15 @@ $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cy
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\end{rem}
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\begin{thm}
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Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
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Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. \footnotemark $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \\
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Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
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\end{thm}
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\footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}
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Interprétation :
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Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
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\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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@ -312,12 +308,12 @@ Exemple 1 :
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\begin{align*}
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\dot{x} & =
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\begin{bmatrix}
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-1 & 10 \\-100 & -1 x = A_1x
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\end{bmatrix}\\
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-1 & 10 \\-100 & -1
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\end{bmatrix} x = A_1x\\
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\dot{x} & =
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\begin{bmatrix}
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||||
-1 & 100 \\ -10 & -1 x = A_2x
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||||
\end{bmatrix}
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||||
-1 & 100 \\ -10 & -1
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\end{bmatrix}x = A_2x
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\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
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\end{align*}
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@ -351,8 +347,7 @@ En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.
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Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
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\end{rem}
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\begin{example}[Élimination du temps]
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\begin{multicols}{2}
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\begin{exemple}[Élimination du temps]
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\noindent Méthode explicite :
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\[
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\begin{cases}
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@ -375,8 +370,7 @@ x \text{ donc }
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\]
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\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
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||||
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
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||||
\end{multicols}
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\end{example}
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\end{exemple}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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@ -612,9 +612,13 @@ Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on an
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$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
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||||
\end{exemple}
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\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
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Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
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~\\ Le système $\dot{x}= f(x,u)$
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est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine
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(pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
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\end{thm}
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\begin{exemple}
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Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
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\begin{itemize}
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@ -626,8 +630,6 @@ Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on an
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\section{Attracteur}
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\emph{vu après}
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\begin{defin}
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Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
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