finalisation TP2 424

424-Systeme_Non_Lineaires/TP2/Ini_Grue.m

@@ -5,7 +5,6 @@
 clear, clc,
 
 
-
 %% Param<EFBFBD>tres : 
 m  = 500;  %kg
 Mc = 5000; %kg
@@ -63,19 +62,6 @@ B_1 =B(:,1);
 
 eta = -1/(C_1*(A-B*K)^-1*B_1);
 
-%%
-sys = ss(A-B*K,B(:,2),C(2,:),D)
-H = tf(sys)
-bode(H)
-% margin(H)
-% Avec le correcteur intégral :
-Ti = 5e-4
-CI =  tf(1,[-Ti 0]); % négatif pour avoir une phase >180
-%bode(H,CI*H,'grid')
-fig =figure();
-margin(CI*H)
-grid on;
-saveas(fig,"manip_5marge.png");
 
 %% pretty figure
 % plot(simout)
@@ -84,37 +70,21 @@ saveas(fig,"manip_5marge.png");
 %% Commande grand gain
 Deltat= 10
 Dini = 0;
-Rini = 10;
 Dfin = 20;
-Rfin = 5;
-ed = omega0/10;
+R = 15;
+Rini = 15;
+Rfin = 15;
+ed = omega0/100;
 er = ed;
 
 coeff_phi = [6/Deltat^5 -15/Deltat^4 10/Deltat^3 0 0 0]
+coeff_phi2 = [-20/Deltat^7 70/Deltat^6 -84/Deltat^5 35/Deltat^4 0 0 0 0]
 
 
-%%
-close all;
-fig= figure()
-plot(Dc)
-hold on
-plot(simout.Time, simout.Data(:,1));
-xlabel('temps (s)');
-grid on;
-title('Vérification de la planification de trajectoire');
-legend('d_c','d');
-
-fig2= figure()
-plot(Rc)
-hold on
-plot(simout.Time, simout.Data(:,2));
-xlabel('temps (s)');
-grid on;
-title('Vérification de la planification de trajectoire');
-legend('r_c','r');
-
-
+zh = 1;
 
+xh = (Dini+sqrt((Rini-zh)/(Rfin-zh))*Dfin)/(1+sqrt((Rini-zh)/(Rfin-zh)));
+a = (Rini-zh)/(Dini-xh)^2;
 
 
 

424-Systeme_Non_Lineaires/TP2/TP2.tex

@@ -357,15 +357,16 @@ En considérant $\epsilon_d \ll 1 $ et $\epsilon_r <<1 $ on a $\tau_d \simeq \ep
 \paragraph{Prépa.9}
 On doit prendre  $\epsilon_d$ et $\epsilon_r$ suffisamment petit devant la pulsation du sytème $\omega_0$, pour avoir une commande qui puisse  compenser suffisament vite les oscillations du système.
 \paragraph{Manip.9}
-On réalise la commande suivante :
-\begin{figure}[ht]
+La commande est réalisé comme sur la figure \ref{fig:schemNL}. On
+obtient alors les sorties de la figure \ref{fig:pours_traj}
+\begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{boucleNL.png}
   \caption{Élaboration de la commande pour la porsuite de trajectoire}
-  \label{fig:label}
+  \label{fig:schemNL}
 \end{figure}
 
-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}[H]
   \centering
   \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
     \centering
@@ -382,17 +383,39 @@ On réalise la commande suivante :
 \caption{Commande en poursuite de trajectoire}
 \label{fig:pours_traj}
 \end{figure}
-sur la figure \ref{fig:pours_traj} on remarque que la poursuite est plutot bien respecté pour $d$, mais celle sur $r$ conduit à un écart final non nul.
+sur la figure \ref{fig:pours_traj} on remarque que la poursuite est
+plutot bien respecté pour $d$, mais celle sur $r$ conduit à un écart
+final non nul , cela est d'autant plus vrai si $\epsilon_d=\epsilon_r$ devient grand comme sur la figure \ref{fig:eps}.
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{eps_choix}
+  \caption{Influence de $\epsilon$ sur la trajectoire réelle}
+  \label{fig:eps}
+\end{figure}
+
 \paragraph{Manip.10}
+On fait varier la masse dans la synthèse de l'asservissement, en ayant choisi
+$\epsilon_d=\epsilon_r= \omega_0/100$.
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{m_choix}
+  \caption{Robustesse face à une pertubation de la masse}
+  \label{fig:m_choix}
+\end{figure}
+On remarque qu'une variation de 200kg n'entraine qu'un écart d'une 30aine de
+centimètre avec la consigne ce qui est largement acceptable.
 
 
 \paragraph{Manip.11}
-\paragraph{Manip.12}
-\paragraph{Manip.13}
+En étudiant des variation sur $C_r$ et $C_d$ on ne remarque aucun changement
+pour $\epsilon = \omega_0/100$ ou  $\epsilon = \omega_0/10$.
+
+La commande suivant le modèle précédement décrit est donc très robuste
+aux pertubations , tant que sa dynamique est rapide devant celle du système.
 
 \subsection{Platitude}
 \paragraph{Prépa.10}
-Pour montrer que le systeme est plat, ayant pour sortie plates $(x, z),$ il faut montrer que les états,$d, r, \theta$ et les commandes $F, C$ ne dépendent que des sorties $x, z$ et de leurs derivées.
+On montre d'abords que le système est plat pour les sorties $(x, z),$
 \begin{equation}
   \left\{
     \begin{aligned}
@@ -465,25 +488,25 @@ Ce qui se transpose aux coordonnées:
 On pose donc :
 \begin{equation}
   \begin{aligned}
-    x_{c}(t) &=(1-\alpha(t)) D_{i n i}+\alpha(t) D_{f i n} \\
-    z_{c}(t) &=(1-\alpha(t)) R_{i n i}+\alpha(t) R_{f i n}
+    x_{c}(t) &=(1-\phi_2(t)) D_{i n i}+\phi_2(t) D_{f i n} \\
+    z_{c}(t) &=(1-\phi_2(t)) R_{i n i}+\phi_2(t) R_{f i n}
   \end{aligned}
 \end{equation}
 De manière analogue à la préparation 6 on a les conditions initiales et finales sur les positions  et leur dérivées:
 \[
-  \alpha(0) = 0 ,\quad \alpha(\Delta t) =1, \quad \forall i = 1,2,3\left. \deriv[^i\alpha(t)]{t^i}\right|_{t=0}= 0 \text{ et } \left.\deriv[^i\alpha(t)]{t^i}\right|_{t=\Delta t}= 0
+  \phi_2(0) = 0 ,\quad \phi_2(\Delta t) =1, \quad \forall i = 1,2,3\left. \deriv[^i\phi_2(t)]{t^i}\right|_{t=0}= 0 \text{ et } \left.\deriv[^i\phi_2(t)]{t^i}\right|_{t=\Delta t}= 0
 \]
 Pour satisfaire les 8 conditions on choisit un polynome d'ordre 7 :
 \begin{equation}
-  \alpha(t)=a_{7} t^{7}+a_{6} t^{6}+a_{5} t^{5}+a_{4} t^{4}+a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}
+  \phi_2(t)=a_{7} t^{7}+a_{6} t^{6}+a_{5} t^{5}+a_{4} t^{4}+a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}
 \end{equation}
 Les conditions initiales imposent $a_0=a_1=a_2=a_3 =0$ et les conditions finales donnent :
 \begin{equation}
-  \begin{array}{lllllll}
-    \alpha(\Delta t)                              & =1  & a_7\Delta t^7    & + a_6 \Delta t^6  & + a_5 \Delta t^5 & + a_4 \Delta t^4 & =1 \\
-    \frac{d \alpha(t)}{d t}|t=\Delta t            & =0  & 7a_7\Delta t^6   & + 6a_6 \Delta t^5 & 5a_5\Delta t^4   & 4a_4 \Delta t^3  & =0 \\
-    \frac{d^{2} \alpha(t)}{d t^{2}}|_{t=\Delta t} & =0  & 42a_7\Delta t^5  & +30a_6 \Delta t^4 & 20a_5 t^3   & 12a_4\Delta t^2            & =0 \\
-    \frac{d^{3} \alpha(t)}{d t^{3}} |_{t=0}  & t=\Delta & 210a_z\Delta t^4 & +120a_6\Delta t^3 & 60a_5 \Delta t^2 & 24a_4\Delta t            & =0
+  \begin{array}{llllll}
+    \phi_2(\Delta t)                                          & =1 =  & a_7\Delta t^7    & + a_6 \Delta t^6  & + a_5 \Delta t^5 & + a_4 \Delta t^4 \\[1em]
+    \left.\frac{d \phi_2(t)}{d t}\right|_{t=\Delta t}         & =0 =  & 7a_7\Delta t^6   & + 6a_6 \Delta t^5 &+ 5a_5\Delta t^4   &+ 4a_4 \Delta t^3  \\[1em]
+    \left.\frac{d^{2} \phi_2(t)}{d t^{2}}\right|_{t=\Delta t} & =0 =  & 42a_7\Delta t^5  & +30a_6 \Delta t^4 &+ 20a_5 t^3   &+ 12a_4\Delta t^2  \\[1em]
+    \left.\frac{d^{3} \phi_2(t)}{d t^{3}}\right|_{t=\Delta t} & =0  = & 210a_z\Delta t^4 & +120a_6\Delta t^3 &+ 60a_5 \Delta t^2 &+ 24a_4\Delta t 
   \end{array}
 \end{equation}
 On a donc :
@@ -507,9 +530,68 @@ Pour déterminer $x_H$ on utilise la position finale et on a:
   x_{H}=\frac{D_{i n i}+\sqrt{\frac{R_{i n i}-z_{H}}{R_{i n i}-z_{H}}} D_{f i n}}%
 {1+\sqrt{\frac{R_{i n i}-z_{H}}{R_{f i n}-z_{H}}}}
 \end{equation}
+\paragraph{Manip.12}
+Cette fois ci on utilise les sorties plates, et on a donc :
+\[
+  \begin{cases}
+    \dot{D_c}(t) &= \displaystyle\deriv[]{t}\left( x_c- \frac{\ddot{x_c}z_c }{\ddot{z_c}-g}\right)\\
+    \dot{R_c}(t) &= \displaystyle\deriv[]{t}\sqrt{z_c^2-\left(\frac{\ddot{x_c}z_c }{\ddot{z_c}-g}\right)^2}
+  \end{cases}
+\]
+On construit alors les différents blocs de synthèse de la commande par
+sortie plates:
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{rect_plat.png}
+  \caption{Synthèse de la trajectoire rectiligne par sortie plate}
+  \label{fig:label}
+\end{figure}On obtient alors les resultats suivant sur la commande des sorties
+plates (figure \ref{fig:sortiesplates}).\\
+
+\textit{Remarque}: Pour mener la simulation a bien il a fallut
+modifier les paramètres d'intégrations (pas fixe de 1e-4, méthode
+d'Euler) qui influait sur la régularité des sorties et commmandes.
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{manip12.png}
+  \caption{Sorties plates commandées, $\epsilon= \omega_0/100$}
+  \label{fig:sortiesplates}
+\end{figure}
 
 
+\paragraph{Manip.13}
+De meme on mets en place la synthèse de la parabole de commande
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{sortie_plate.png}
+  \caption{Synthèse des sorties plates}
+  \label{fig:label}
+\end{figure}
 
+On obtient alors les resultats suivants sur la commande des sorties
+plates (figure \ref{fig:sortiesplates}).\\
+
+\textit{Remarque}: Meme paramètres d'intégration que précédement
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{manip13e100.png}
+  \caption{Sorties plates commandé en parabole}
+  \label{fig:sortiesplates}
+\end{figure}
+
+Les resultats sont peux satisfaisant,mais la consigne est globalement
+respectée, il faudrait investiguer plus en profondeur la modélisation
+réalisée et comparée avec la commande du système réel, ce qui n'a pu
+être fait par manque de temps.
+
+\section*{Conclusion}
+Dans ce TP nous avons modélisé le système présenté d'abord de manière
+linéaire, ce qui ne s'est pas avéré assez suffisant pour des commandes
+qui nous faisait sortir de la plage de linéarisation. En prenant en
+compte les non-linéarités on peux commander de manière plus précise et
+plus robuste le modèle, et réaliser une poursuite de trajectoire
+correcte. Avec l'utilisation des sorties plates on a pu aller plus on
+simulant le contournement d'un obstacle.
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:

424-Systeme_Non_Lineaires/TP2/plot_things.m

@@ -0,0 +1,135 @@
+sys = ss(A-B*K,B(:,2),C(2,:),D)
+H = tf(sys)
+bode(H)
+% margin(H)
+% Avec le correcteur intégral :
+Ti = 5e-4
+CI =  tf(1,[-Ti 0]); % négatif pour avoir une phase >180
+%bode(H,CI*H,'grid')
+% fig =figure();
+% margin(CI*H)
+% grid on;
+% saveas(fig,"manip_5marge.png");
+
+%%
+close all;
+sim('Grue_NL_corrNL')
+fig= figure()
+plot(Dc)
+hold on
+plot(simout.Time, simout.Data(:,1));
+xlabel('temps (s)');
+grid on;
+title('Vérification de la planification de trajectoire');
+legend('d_c','d');
+
+fig2= figure()
+plot(Rc)
+hold on
+plot(simout.Time, simout.Data(:,2));
+xlabel('temps (s)');
+grid on;
+title('Vérification de la planification de trajectoire');
+legend('r_c','r');
+
+
+%%
+
+close all
+figure()
+for e = [1 10 100]
+    ed = omega0/e; er= omega0/e;
+    sim('Grue_NL_corrNL')
+    hold on
+    subplot(311)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,1),"DisplayName",sprintf("\\epsilon_r=\\epsilon_d= \\omega_0/%d",e));
+    subplot(312)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,2),"DisplayName",sprintf("\\epsilon_r=\\epsilon_d= \\omega_0/%d",e));
+    subplot(313)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,3),"DisplayName",sprintf("\\epsilon_r=\\epsilon_d= \\omega_0/%d",e));
+end
+ xlabel('temps (s)');
+subplot(311)
+title("choix de l'échelle temps");
+ylabel('d'); grid on;
+subplot(312)
+ylabel('r'); grid on;
+subplot(313)
+ylabel('\theta'); grid on;
+%%
+
+close all
+e = 100;
+ed = omega0/e; er= omega0/e;
+figure()
+for m = [300 500 700]
+    c0 =m*g*b;
+    sim('Grue_NL_corrNL')
+    hold on
+    subplot(311)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,1),"DisplayName",sprintf("m = %d",m));
+    subplot(312)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,2),"DisplayName",sprintf("m = %d",m));
+    subplot(313)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,3),"DisplayName",sprintf("m = %d",m));
+end
+ xlabel('temps (s)');
+subplot(311)
+title("");
+ylabel('d'); grid on;
+subplot(312)
+ylabel('r'); grid on;
+subplot(313)
+ylabel('\theta'); grid on;
+
+m = 500;
+%%
+close all
+e = 10;
+ed = omega0/e; er= omega0/e;
+figure()
+for kc = [0.5 1 1.5]
+    Cr= Cr*kc
+    sim('Grue_NL_corrNL')
+    hold on
+    subplot(311)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,1),"DisplayName",sprintf("Cr = %f",Cr));
+    subplot(312)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,2),"DisplayName",sprintf("Cr = %f",Cr));
+    subplot(313)
+    hold on
+    plot(simout.Time, simout.Data(:,3),"DisplayName",sprintf("Cr = %f",Cr));
+end
+ xlabel('temps (s)');
+subplot(311)
+title("");
+ylabel('d'); grid on;
+subplot(312)
+ylabel('r'); grid on;
+subplot(313)
+ylabel('\theta'); grid on;
+
+%%
+close all;
+sim('Grue_NL_corrNL')
+fig= figure()
+hold on
+plot(simout.Time, complates.Data(:,1));
+plot(simout.Time, complates.Data(:,2));
+plot(simout.Time, sortieplates.Data(:,2));
+plot(simout.Time, sortieplates.Data(:,1));
+
+xlabel('temps (s)');
+grid on;
+title('Vérification de la planification de trajectoire, sortie plates');
+legend('x_c','z_c','x','z');
+
+%%

424-Systeme_Non_Lineaires/TP2/slprj/sim/varcache/Grue_NL_corrNL/tmwinternal/simulink_cache.xml

@@ -1,6 +1,6 @@
 <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
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