Relecture et correction

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex

@@ -102,18 +102,19 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
     \]
     et si on fixe $x=x_0$ à $t=0$ alors :
     \[
-      \deriv{\chi(t,x_0)}= f(\chi(t,x_0))
+      \deriv[\chi(t,x_0)]{t}= f(\chi(t,x_0))
     \]
   \end{rem}
-
+  \begin{defin}
     L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase}
 
-
+    Dans le cas causal, on se limite à
-Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.
+    $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.
 
     Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$
+  \end{defin}
 \begin{prop}
-  L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme:
+  L'application  $\chi_t$ ou $\chi_{-t}$ est un homéomorphisme:
   \begin{itemize}
   \item continu
   \item bijectif

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex

@@ -306,10 +306,10 @@ si on a la stabilité asymptotique
   x^T R x \le -\gamma \|x\|^2
 \]
 \begin{exemple}
-  \begin{cases}
+  $\begin{cases}
 \dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
-\end{cases}
+\end{cases}$
-\]
+
 
 $(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
 

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex

@@ -6,15 +6,12 @@
 
 
 \section{Trajectoire}
-
-\begin{rem}
 Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
-\end{rem}
 
 \begin{defin}
-Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
+Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ est une trajectoire, tel que les axiomes suivants sont vérifiés:
 \begin{enumerate}
-\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable.
+\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(.,x)$ est dérivable.
 \item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
 \item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
 \end{enumerate}
@@ -60,21 +57,20 @@ Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différ
 \begin{exemple}
 Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
 \end{exemple}
-
+\emph{Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?}
-\begin{rem}
-Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?
-\end{rem}
 
 \section{Théorème du point fixe}
 
-\begin{thm}
+\begin{thm}[Point fixe]
-Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
+Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,alors
-\[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
+\[  \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
 De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
 \end{thm}
 
 \begin{defin}
-Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \alpha > 0$ tel que \[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
+  Soit deux espaces  métriques $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
+  On dit que  $f$ est \emph{lipschitzienne} si $\exists \alpha > 0$ tel que
+  \[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
 \end{defin}
 
 \begin{rem}
@@ -84,9 +80,10 @@ Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
 \begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
 Soient le système dynamique défini par
 \[
-\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{$\ast$}
+\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0\tag{$\ast$}
 \]
-Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors \\ {\centering$\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$}
+Si $f:\D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $\D$ alors \\
+$\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
 \end{thm}
 
 \begin{proof}
@@ -121,17 +118,34 @@ $T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alp
 (*) a une unique trajectoire.
 \end{proof}
 
+\paragraph{Rappel:}
+Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq  $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
 
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item Les points d'équilibre d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
 
-\paragraph{Rappel : point d'équilibre}
+  \item  Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun.
-le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq  $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
 
-Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun. Ainsi la stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
+  \item La stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
+\end{itemize}
+\end{defin}
+
+\begin{exemple}[Pendule simple] \\
 
-\begin{example}[Pendule simple]
 \begin{enumerate}
 \item
-  % schema pendule
+  \begin{figure}[H]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+      \draw[decorate,decoration={border,amplitude=0.5cm,segment length=0.5cm}] (-2,0) -- (2,0);
+      \draw[dashed,latex-] (0,0.5) -- (0,-3);
+      \draw[very thick] (-2,0)-- (2,0);
+      \draw[fill=white] (0,0) circle(0.2) node{$\bullet$} -- (-70:3)node{$\bullet$};
+      \draw (0,-1) arc (-90:-70:1) node[midway,below]{$\theta$};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Pendule simple}
+  \end{figure}
   On a la représentation d'état ($x_1=\theta$,$x_2=\dot{\theta}$):
   \[
     \begin{cases}
@@ -152,16 +166,12 @@ Les points d'équilibre vérifient $\dot{x_1}=\dot{x_2} = 0 $soit  $x_1= k\pi$,$
 Les point d'équilibre sont solutions de $\dot{x_1}=0$ et $\dot{x_2}=0$: on a pas de solution, en effet $\dot{x_1}+\dot{x_2} = 2\alpha+2\sin(x_1+x_2)$ pour $\alpha>1$
 \end{enumerate}
 
-\end{example}
+\end{exemple}
-
 
 \begin{rem}
   Les points d'équilibre peuvent aussi être déterminer dans le cas du régime forcé : $\dot{x}(t) = f(\overline{x},\overline{u}) = 0$
 \end{rem}
 
-
-
-
 \section{Critère Qualitatif}
 
 \paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$ où $n$ est la dimension du système.
@@ -247,7 +257,7 @@ Pour cette méthode, il s'agit de poser :
 \end{align*}
 C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
 
-\begin{example}[Pendule inversé]
+\begin{exemple}[Pendule inversé]
   Cas sans frottement : \[
     \begin{cases}
     x_1 &= \theta \\
@@ -272,13 +282,14 @@ On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on
 \includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
 \end{center}
 
+
 L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
 A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
 
 \begin{rem}
 sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
 \end{rem}
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 \subsection{Méthode par suppression temporelle}
 \subsubsection{Méthode explicite}