451 ajout sur les SA

451-Signal_Image/Cours/chap2.tex

@@ -104,8 +104,64 @@ On considère les signaux aléatoire à des instants particuliers, fixé.
 \end{itemize}
 \end{defin}
 \subsection{Stationnarité et ergodicité}
+\begin{prop}
+  Si  un SA est à la fois stationnaire et ergodique les moyennes temporelles et statistiques sont égales.
+
+  L'ensemple des processus stochastique,stationnaire, ergodique peux être obtenu à partir d'une seule trajectoire allant de $-\infty$ à $+\infty$.
+\end{prop}
+\begin{prop}
+  Un SASE au second ordre est tel que:
+  \[
+    m_x = E[X(t)]=\overline{x(t)}=m_x
+  \]
+  et
+  \[
+    \gamma_{xx}(\tau) = E[X(t)X^{*}(t-\tau)]=\overline{x(t)x^{*}(t-\tau)} = C_{xx}^p(\tau)
+  \]
+\end{prop}
 \section{Corrélation et densité spectrale de puissance}
+Ici on s'interesse la répartition de la puissance d'un SA en fonction de la fréquence (idem que la DSE pour des signaux  à énergie finie). On se restreint à des SAS du 2nd ordre.
+\paragraph{Notation} :
+$x(t,\omega)$ représente le SA ou une des ses réalisation \\
+$X(f)$ représente la TF d'un signal $x$ sous réserve d'existence.
+\begin{thm}[Wiener-Kintchine]
+  \[
+    TF[\gamma_{xx}]=\Gamma_{XX}(f) = \text{ dsp de x(t)}
+  \]
+\end{thm}
+
+\begin{prop}[Cas du TC]
+  \begin{align*}
+    \Gamma_{xy}(f) &= \int_\R \gamma_{xy}(\tau) e^{-j2\pi ft} \d t\\
+    \gamma_{xy}(\tau) & =\int_\R \Gamma_{xy}(f) e^{j 2\pi f\tau} \d f\\
+   \gamma_{xy}(0) & = \int_\R \Gamma_{xy}(f) \d f  = \text{ puissance (statistique)}\\
+  \end{align*}
+\end{prop}
+\begin{prop}[Cas du TD]
+  \begin{align*}
+    \Gamma_{xy}(f) &=\sum \gamma_{xy}[k] e^{-j 2 \pi fk}\\
+    \gamma_{xy}[\tau] & = \int_{-1/2}^{1/2} \Gamma_{xy}(f)e^{j 2\pi f k} \d f\\
+    P_x = \gamma_{xx}[0] &= \int_{-1}^{1} \Gamma_{xx}(f)df
+  \end{align*}
+\end{prop}
+\begin{exemple} cf TP1
+\end{exemple}
+
+\begin{prop}
+  \begin{itemize}
+  \item $|\gamma_{xy}(\tau)| \le \gamma_{xx}(0) =P_x$ 
+  \item $\gamma_{xx}(-\tau)= \gamma_{xx}(\tau)^* \implies \Gamma_{xx}(f) \in \R$
+  \item $\Gamma_{xx}(f)>0$
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{rem}
+  très souvent on a $\gamma_{xx}(\tau) \xrightarrow[+\infty] |m_x|^2$ , ce qui signifie qu'on a aps d'effet  ``mémoire'' àl'infini. Si $m_x \neq 0$ la DSP  comporte une raie à l'origine de valeur $m_x$.
+\end{rem}
+
 \section{Periodogramme}
+
+
+
 \section{Signaux aléatoire particulier}
 \subsection{SA indépendants}
 \subsection{SA décorrélés}