cours du 11/02
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@ -44,18 +44,18 @@ On a $V(x) = (1-1.75)^2\times0.5 + (2-1.75)^2\times0.25 + (3-1.75)^2\times0.25=0
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\begin{example}[Générer des réalisations de VA]
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Génération d'une suite de réalisations d'une VA $X$ tel que $\X=\{0,1\}$ avec $p_0=0.9,\quad p_1=0.1$
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\begin{lstlisting}
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\begin{minted}{matlab}
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x=rand(1,10)>0.9
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% rand : generateur de loi uniforme
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% randn : generateur de loi gaussienne
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\end{lstlisting}
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\end{minted}
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\noindent Pour générer une suite de réalisations correspondant aux exemples précédents
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\begin{lstlisting}
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\begin{minted}{matlab}
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x=rand(1,10)
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y= (x<0.5) + 2*(x<0.75 & x>0.5) + 3*(x>0.75)
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\end{lstlisting}
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\end{minted}
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\end{example}
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\medskip
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@ -4,64 +4,119 @@
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\newcommand{\Y}{\mathcal{Y}}
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\newcommand{\X}{\mathcal{X}}
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\section{Introduction}
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L'objectif de la quantification est de représenter les réalisations d'une source à valeurs dans un "grand" alphabet $\X$ , par exemple $\mathbb{R}$, à l'aide d'éléments d'un alphabet plus "petit" $\Y \in\N $.\\
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||||
Le quantificateur est donc défini par $q: \X \to \Y$. L'opération de quantification inverse, appelée aussi désindexation, est la fonction $q^{-1}: \Y \rightarrow \X$.\\
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||||
\begin{defin}
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\begin{itemize}
|
||||
\item La \emph{quantification} est une génération non réversible qui permet à
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||||
une source $X$ à valeur dans $\X$ d'associer un index $I\in\{0,...M-1\}$ ou
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$M$ est le nombre de cellule de quantification. La
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||||
\item \emph{quantification inverse} consiste à associer une estimée $\hat{X}$ de $X$ à valeur dans $\X$ à un index $I$.
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||||
\item
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||||
Pour cela on introduit une fonction de quantification :
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Remarque: l'opération de quantification n'est pas réversible donc $q^{-1}$ n'a pas de réalité, par contre, par abus de langage on note : $Q(x) = q^{-1}(q(x))$.\\
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\[
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||||
q :\X \to \{0,...,M-1\}
|
||||
\]
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||||
et des fonction de quantification inverse:
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\[
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||||
r :\{0,...,M-1\} \to \X
|
||||
\]
|
||||
\item Pour une réalisation $x$ de $\X$,$i = q(x)$ est l'index de quantification.
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||||
\[
|
||||
\hat{x}= r(q(x)) = Q(x)
|
||||
\]
|
||||
est la valeur reconstruite/quantifiée.
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||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defin}
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||||
\begin{rem}
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||||
Si $\X = \N $ ou $\Z$ ou $\R$ on réalise une quantification vectorielle. Si $\X =\R^n$ on réalise une quantification vectorielle.
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||||
\end{rem}
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||||
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||||
\begin{figure}[H]
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||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines=middle,
|
||||
xtick={-2,-1,1,2},
|
||||
ytick={-1.5,0.5,1.5},
|
||||
xlabel =$x$,ylabel=$Q(x)$,
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||||
ymin=-2,ymax=2
|
||||
]
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||||
\addplot+[no marks,color=black] plot coordinates {(-2,-1.5) (-1,-1.5) (-1,-0.5) (0,-0.5) (0,0.5) (1,0.5) (1,1.5)(2,1.5)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Exemple de quantificateur}
|
||||
\end{figure}
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||||
Un quantificateur est défini par des intervalles de quantification $b_0 < b_1 < ... < b_n$ et par des valeurs de reconstitution $y_1,...,y_n$ : si on a $x \in[b_{i-1} ; b_i[$ alors $Q(x) = y_i$.\\
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||||
Les quantifications sont optimisées de manière à obtenir un débit minimale sous contrainte de distortion ou bien une distortion minimale sous contrainte de débit. La distorsion étant une mesure de l'erreur entre $X$ et $\hat{X}$.
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||||
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||||
Un quantificateur est défini par des intervalles de quantification $b_0 < b_1 < ... < b_n$ et par des valeurs de reconstitution $y_1,...,y_n$ : si on a $x \in[b_{i-1} ; b_i[$ alors $Q(x) = y_i$.
|
||||
Dans la suite, on va voir comment régler de façon efficace les $b_i$ et les $y_i$.
|
||||
\section{Distorsion et mesure de distorsion}
|
||||
\begin{defin}
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||||
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||||
\newpage
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||||
\section{Mesure de distorsion et distorsion}
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||||
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||||
On introduit une mesure de distorsion pour les performances d'un quantificateur. Les principales mesures considérées sont:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item la mesure de distorsion en valeur absolue, $d(x,y) = |x-y|$
|
||||
\item la mesure de distorsion quadratique, $d(x,y) = (x-y)^2$
|
||||
\end{itemize}
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||||
\bigbreak
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||||
On introduit une mesure de distorsion pour les performances d'un quantificateur qui toute les bonnes propriétés d'une distance symétrique, définie positive). Les principales mesures considérées sont:
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item la mesure de distorsion en valeur absolue, $d(x,y) = |x-y|$
|
||||
\item la mesure de distorsion quadratique, $d(x,y) = (x-y)^2$
|
||||
\item le mesure de distorsion de Hamming, $d(x,y) =
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||||
\begin{cases}
|
||||
0 & \text{ si } x=y \\
|
||||
1 & \text{ sinon}
|
||||
\end{cases}$
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{defin}
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||||
Pour une source $X$ décrite par une distribution de probabilité $f_X(x)$, la distorsion introduite par un quantificateur $Q(x)$, est la moyenne de la mesure de la distorsion:
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||||
\[D = \int_{-\infty}^{\infty} d(x,Q(x))f_X(x) dx \]
|
||||
\[D = \int_{-\infty}^{\infty} d(x,Q(x))f_X(x) dx = E(d(X,Y))\]
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||||
Pour la mesure de distorsion quadratique, on a:
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||||
\[D = \int_{-\infty}^{\infty} (x-Q(x))^2f_X(x) dx \]
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||||
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||||
\section{Quantification uniforme d'une source uniforme}
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||||
\section{Quantification scalaire}
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||||
\subsection{Quantification uniforme d'une source uniforme}
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||||
On considère une source $X$ uniformément distribuée sur $[-X_{max} ; X_{max}]$. On considère aussi un quantificateur uniforme, c'est à dire que les intervalles de quantification sont tous de même taille, à M niveaux de sortie, situés au milieux des intervalles de quantification.
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||||
Prenons par exemple, un quantificateur à 4 niveaux de quantification:
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%\img{0.5}{2/1/2.png}
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines =middle,
|
||||
xmin=-3,xmax=3,
|
||||
ymin=-2,ymax=2,
|
||||
xtick={-2,-1,1,2},
|
||||
ytick={0.5,1.5},
|
||||
xticklabels={$-X_m$,$-\frac{X_m}{2}$,$\frac{X_m}{2}$,$X_m$},
|
||||
yticklabels={$\frac{X_m}{4}$,$\frac{3X_m}{4}$},
|
||||
]
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(-2,-1.5) (-1,-1.5)};
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(-1,-0.5) (0,-0.5)};
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(0,0.5) (1,0.5)};
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(1,1.5) (2,1.5)};
|
||||
|
||||
\addplot[black,dashed] plot coordinates {(-1,-1.5) (-1,-0.5)};
|
||||
\addplot[black,dashed] plot coordinates {(1,0.5) (1,1.5)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}%
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines =middle,
|
||||
xmin=-3,xmax=3,
|
||||
ymin=-0.7,ymax=0.7,
|
||||
xtick={-2,-1,1,2},
|
||||
ytick={0.5},
|
||||
xticklabels={$-X_m$,$-\frac{X_m}{2}$,$\frac{X_m}{2}$,$X_m$},
|
||||
yticklabels={$\frac{X_m}{4}$},
|
||||
]
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(-2,-0.5) (-1,0.5)};
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(-1,-0.5) (0,0.5)};
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(0,-0.5) (1,0.5)};
|
||||
\addplot[black] plot coordinates {(1,-0.5) (2,0.5)};
|
||||
\addplot[black,dashed] plot coordinates {(-1,-0.5) (-1,0.5)};
|
||||
\addplot[black,dashed] plot coordinates {(1,-0.5) (1,0.5)};
|
||||
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
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||||
On note $\Delta$ l'intervalle de quantification, dans ce cas, $\Delta = \frac{2 X_{max}}{M}$.\\
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||||
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||||
Pour déterminer la distorsion qui va être introduite par le quantificateur, on calcule simplement:
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||||
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||||
\begin{align*}
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||||
D &= \int_{-X_{max}}^{X_{max}}\frac{1}{2X_{max}}(x-Q(x))^2 dx
|
||||
\intertext{Comme $Q(x)$ est connu et constant sur un intervalle de quantification, on découpe simplement l'intervalle en sous-intervalles de quantification:}
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||||
D &= \sum_{i=-M/2}^{(M-1)/2} \int_{i\Delta}^{(i+1)\Delta} \frac{1}{2X_{max}}(x-(i+\frac{1}{2})\Delta)^2 dx
|
||||
D &= \sum_{i=0}^{(M-1)} \int_{i\Delta}^{(i+1)\Delta} \frac{1}{2X_{max}}(x-(i+\frac{1}{2})\Delta)^2 dx
|
||||
\intertext{On calcule}
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||||
I & = \int_{i\Delta}^{(i+1)\Delta} (x-(i+\frac{1}{2})\Delta)^2 \frac{1}{2X_{max}} dx \\
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||||
I & = \int_{i\Delta}^{(i+1)\Delta} (x-(i+\frac{1}{2})\Delta)^2 \frac{1}{2X_{max}} dx \\
|
||||
\intertext{on pose $u = x+X_{max}-(x+\frac{1}{2})\Delta)$}
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||||
& = \int_{-\Delta/2}^{\Delta/2} \frac{u^2}{2X_{max}} du \\
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||||
I & = \frac{\Delta^3}{24X_{max}} = \frac{X_{max}^2}{3M^3}
|
||||
\end{align*}
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||||
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||||
Dans $D$, on a $M$ intégrales égales à $I$ donc \[ D = \frac{X_{max}^2}{3M^2}\]
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||||
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||||
L'énergie de la source est mesurée par sa variance
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@ -71,9 +126,12 @@ L'énergie de la source est mesurée par sa variance
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\sigma^2 & = \frac{X_{max}^2}{3}
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||||
\end{align*}
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||||
On obtient donc $D = \frac{\sigma^2}{M^2}$. Sans codage entropique, le nombre de bits nécessaires pour représenter un niveau de reconstruction est $R = \lceil \log_2 M \rceil $, d'où
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||||
On obtient donc $D = \frac{\sigma^2}{M^2}$.
|
||||
\begin{prop}
|
||||
Sans codage entropique, le nombre de bits nécessaires pour représenter un niveau de reconstruction est $R = \lceil \log_2 M \rceil $, d'où
|
||||
\[ \boxed{ D = \sigma^2 2^{-2R} } \]
|
||||
|
||||
\end{prop}
|
||||
La distorsion maximale est égale à l'énergie de la source, et diminue très rapidement quand on augmente le nombre de bits du quantificateur.
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||||
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||||
\begin{rem}
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@ -88,30 +146,94 @@ RSB_{dB} & = 10\log_{10}(2^{2R}) = 6.02R \text{decibel}
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||||
Le $RSB$ est utilisé comme mesure de qualité en audio, image...
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||||
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||||
\newpage
|
||||
\section{Quantification uniforme d'une source quelconque}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines = middle,
|
||||
xmin=0,xmax=5,ymin = 0,ymax=8,
|
||||
xlabel=$R$(bits),
|
||||
ylabel=$\sigma_x^2$,
|
||||
ytick={0.5,2,8},
|
||||
yticklabels={$D/16$,$D/4$,$D$},
|
||||
]
|
||||
\addplot[red,mark=+,samples at={0,1,2,3,4,5}] {2^(-2*(x-1.5)};
|
||||
\addplot[gray, dashed,no marks,xcomb,samples at={0,1,2,3,4,5}] {2^(-2*(x-1.5)};
|
||||
|
||||
On considère une source $X$ décrite par sa ddp $f_X(x)$, quantifiée par un quantificateur uniforme à $M$ niveaux de pas $\Delta$.
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
La pente a l'origine est de $-2\ln(2)\sigma_x^2$. La distorsion décroit très vite avec $R$
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%\img{0.5}{2/1/3}
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||||
On peux aussi tracer la courbe distortion- débit (R= f(D))
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||||
Pour une source quelconque, il faut régler $\Delta$ de manière à équilibrer distorsion de granularité et distorsion de surcharge.
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||||
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||||
\newpage
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||||
\section{Quantification non-uniforme d'une source quelconque - Algorithme de Lloyd-Max}
|
||||
\subsection{Quantification uniforme d'une source quelconque}
|
||||
|
||||
On considère une source $X$ décrite par sa ddp $f_X(x)$, quantifiée par un quantificateur uniforme à $M$ niveaux de pas $\Delta$. Si $M$ est fini on peux considérer deux type de quantificateur:
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||||
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||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines =middle,
|
||||
xmin=-3,xmax=3,
|
||||
ymin=-3,ymax=3,
|
||||
xtick={-2,-1,1,2},
|
||||
ytick={-1.5,-0.5,0.5,1.5},
|
||||
xticklabels={$-2\Delta$,$-\Delta$,$\Delta$,$2\Delta$},
|
||||
yticklabels={$-3\frac{\Delta}{2}$,$\frac{\Delta}{2}$,$\frac{\Delta}{2}$,$3\frac{\Delta}{2}$},
|
||||
]
|
||||
\addplot[black, jump mark left]coordinates {(-2,-1.5)
|
||||
%(-1,-1.5)
|
||||
(-1,-0.5)
|
||||
(0,0.5)
|
||||
(1,1.5) (3,1.5)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\subcaption{Quantificateur sans zone morte}
|
||||
\end{subfigure}%
|
||||
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines =middle,
|
||||
xmin=-3,xmax=3,
|
||||
ymin=-3,ymax=3,
|
||||
xtick={-3,-2,-1,1,2,3},
|
||||
ytick={-2.5,-1.5,1.5,2.5},
|
||||
xticklabels={$-d-2\Delta$,$-d-\Delta$,$-d$,$d$,$d+\Delta$,$d+2\Delta$},
|
||||
yticklabels={$-d-3\frac{\Delta}{2}$,$-d-\frac{\Delta}{2}$,$d+\frac{\Delta}{2}$,$d+3\frac{\Delta}{2}$},
|
||||
x tick label style={yshift={mod(\ticknum,2)*1.5em}},
|
||||
y tick label style={xshift={3em}}
|
||||
]
|
||||
\addplot[black,thick, jump mark left]coordinates {(-3,-2.5)
|
||||
%(-1,-1.5)
|
||||
(-2,-1.5)
|
||||
(-1,0)
|
||||
(1,0.5)
|
||||
(2,1.5) (3,2.5)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\subcaption{Quantificateur avec zone morte}
|
||||
\end{subfigure}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
On considère une source $X$ discrète décrite par une ddp $f_X(x)$. On cherche le quantificateur non-uniforme à $M$ niveaux de sortie qui minimise la distorsion de quantification pour une norme de distorsion quadratique.\\
|
||||
|
||||
Un tel quantificateur est caractérisé par
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $b_0 < b_1 < \dots < b_n$ les bornes des intervalles de quantification
|
||||
\item $y_1 < y_2 < \dots < y_n$ les valeurs de reconstruction
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Ainsi, si $x \in [b_{i-1},b_i], Q(x) = y_i$.\\
|
||||
|
||||
On cherche à minimiser la distorsion
|
||||
\[ D = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-Q(x))^2f_X(x)dx = \sum_{i=1}^M \int_{b_{i-1}}^{b_i} (x-y_i)^2f_X(x)dx \]
|
||||
\[ D = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-Q(x))^2f_X(x)dx \]
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
D &= \underbracket{\int_{-\infty}^{(-M/2+1)\Delta} (x-Q(x))^2f_X(x)dx }_{\text{distorsion de surcharge}}\\
|
||||
&+ \underbracket{\sum_{i=1}^{M-2} \int_{-\frac{M}{2}\Delta+i\Delta}^{-\frac{M}{2}\Delta+(i+1)\Delta}}_{\text{distorsion de granularité}} (x-Q(x))^2f_X(x)dx \\
|
||||
&+\underbracket{\int_{(\frac{M}{2}-1)\Delta}^{+\infty} (x-Q(x))^2f_X(x)dx}_{\text{distorsion de surcharge}}\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Pour M fixé on a :
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Les conditions nécessaires pour avoir $D$ minimale sont :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
|
|
@ -302,3 +424,8 @@ Cette méthode permet de réaliser une quantification sans avoir à connaître l
|
|||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "main"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -24,10 +24,10 @@ Estimateur biaisé :
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|||
\[ \gamma_x(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=-k}^N x_i x_{i+k}, \forall k \leq 0 \]
|
||||
|
||||
Avec Matlab, on l'obtient avec :
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
[c,k] = xcorr(x,'biased');
|
||||
plot(k,c); grid;
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
% \begin{lstlisting}
|
||||
% [c,k] = xcorr(x,'biased');
|
||||
% plot(k,c); grid;
|
||||
% \end{lstlisting}
|
||||
|
||||
$\gamma_x(k)$ est maximale en 0 et est égale à l'énergie $\sigma^2$ du signal.
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
16
455-Codage_Sources/Cours/chapA.tex
Normal file
16
455-Codage_Sources/Cours/chapA.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,16 @@
|
|||
\documentclass[main.tex]{subfiles}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\section{Codage d'Huffman}
|
||||
\section{Codage arithétique}
|
||||
\section{Codage LZW}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: t
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
@ -1,10 +0,0 @@
|
|||
clear all
|
||||
close all
|
||||
|
||||
M=20;
|
||||
Delta = 0.1;
|
||||
|
||||
x = -5:0.01:5;
|
||||
|
||||
[y,idx] = quantif(x,M,Delta);
|
||||
plot(x,y); grid; axis([-5 5 -5 5])
|
||||
|
|
@ -1,32 +1,36 @@
|
|||
\documentclass{../../cours}
|
||||
\usepackage{../../raccourcis}
|
||||
\let\framed\relax \let\endframed\relax
|
||||
\let\shaded\relax \let\endshaded\relax
|
||||
\let\leftbar\relax \let\endleftbar\relax
|
||||
\let\snugshade\relax \let\endsnugshade\relax
|
||||
\usepackage{minted}
|
||||
% Mise en page
|
||||
|
||||
\renewcommand{\vec}{\mathbf}
|
||||
\title{Notes de Cours}
|
||||
\author{Pierre-Antoine Comby}
|
||||
\teacher{Michel Kieffer}
|
||||
\module{455\\ Codage de source}
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\usepackage{listings}
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\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue
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\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}
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% \usepackage{listings}
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% \definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue
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% \definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}
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\begin{document}
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\lstset{language=Matlab, %
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% basicstyle=\color{red},
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breaklines=true,%
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morekeywords={matlab2tikz},
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keywordstyle=\color{blue},%
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morekeywords=[2]{1}, keywordstyle=[2]{\color{black}},
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identifierstyle=\color{black},%
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stringstyle=\color{mylilas},
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commentstyle=\color{mygreen},%
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showstringspaces=false,%without this there will be a symbol in the places where there is a space
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numbers=left,%
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numberstyle={\tiny \color{black}},% size of the numbers
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numbersep=9pt, % this defines how far the numbers are from the text
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emph=[1]{for,end,break},emphstyle=[1]\color{red}, %some words to emphasise
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%emph=[2]{word1,word2}, emphstyle=[2]{style},
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}
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% \lstset{language=Matlab, %
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% % basicstyle=\color{red},
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% breaklines=true,%
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% morekeywords={matlab2tikz},
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% keywordstyle=\color{blue},%
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% morekeywords=[2]{1}, keywordstyle=[2]{\color{black}},
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% identifierstyle=\color{black},%
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% stringstyle=\color{mylilas},
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% commentstyle=\color{mygreen},%
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% showstringspaces=false,%without this there will be a symbol in the places where there is a space
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% numbers=left,%
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% numberstyle={\tiny \color{black}},% size of the numbers
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% numbersep=9pt, % this defines how far the numbers are from the text
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||||
% emph=[1]{for,end,break},emphstyle=[1]\color{red}, %some words to emphasise
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% %emph=[2]{word1,word2}, emphstyle=[2]{style},
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% }
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\maketitle
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\tableofcontents
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\chapter*{Rappel de probabilité}
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@ -39,6 +43,10 @@
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\subfile{chap2.tex}
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\chapter{Codage prédictif}
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\subfile{chap3.tex}
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\appendix
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\chapter{Implémentation des différents algorithme}
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\subfile{chapA.tex}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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@ -1,8 +0,0 @@
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function [y,idx] = quantif(x,M,Delta)
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idx = floor(x/Delta);
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idx = max(idx,-M/2);
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idx = min(idx,M/2-1);
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y = idx*Delta + Delta/2;
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