diff --git a/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex b/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..ddfcd7a
--- /dev/null
+++ b/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex
@@ -0,0 +1,47 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,french]{book}
+% Packages
+\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage
+\usepackage{mathtools} % math
+\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths
+\usepackage{amsfonts} % math
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+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques
+\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais
+\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page
+\usepackage{fancyhdr} % la mise en page
+\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur !
+\usepackage{float}
+\usepackage{subcaption}
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+\usepackage{multicol}
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+\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières
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+\usepackage[european,cuteinductors,siunitx,straightvoltages]{circuitikz}
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+\hypersetup{
+	colorlinks = true,
+	linkcolor=.,
+    }
+% Mise en page
+\title{431 - Système de transmission d'information}
+\setcounter{secnumdepth}{3}
+\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+\chapter{Circuit pour la transmission}
+\emph{Eric Vourc'h}
+
+\chapter{Modulation à porteuse sinuosïdale}
+\emph{Arnaud Bournel}
+\subfile{./modulation.tex}
+
+
+\end{document}
diff --git a/431-Electronique_transmission/Cours/modulation.tex b/431-Electronique_transmission/Cours/modulation.tex
new file mode 100644
index 0000000..c1ae83c
--- /dev/null
+++ b/431-Electronique_transmission/Cours/modulation.tex
@@ -0,0 +1,668 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
+\begin{document}
+\section*{Introduction et rappels}
+\subsection*{Types de modulations}
+Vu précedemment :
+On veux transposer l'information d'un signal $x(t)$ appelé signal modulant
+dont le spectre est :
+  \begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}%
+      [axis lines = middle,
+      height = 5cm,
+      xlabel = {$f$},
+      ylabel = {$|X(f)|$},
+      xmin = -5 ,xmax = 5, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
+      xtick = {-3,3},
+      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
+      ytick=\empty]
+      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-3,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (3,0)};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+
+\begin{defin}
+  Signal modulé :
+  \[
+    s(t) = A(t)\cos(\Phi(t))= A(t)\cos(2\pi f_0 t + \phi(t))
+  \]
+  où:
+  \begin{description}
+  \item[A(t)] est l'amplitude instantanée
+  \item[$\Phi(t)$]  est la phase instantanée
+  \item[$\phi$]  est la déviation de phase par rapport a la porteuse
+  \end{description}
+\end{defin}
+
+\begin{prop}[Modulation d'amplitude]
+  On agit sur l'amplitude de la porteuse.
+  \[
+    A(t) = k_ax(t)+k_0
+  \]
+  Avec $k_a$ et $k_0$ des constantes.
+
+\end{prop}
+\begin{prop}[Modulation de phase]
+  On agit sur la déviation de phase
+  \[
+    \phi(t) = k_p x(t)+\phi_0
+  \]
+
+\end{prop}
+\begin{prop}[Modulation de fréquence]
+  On agit sur la déviation de fréquence:
+  \[
+    \Delta f = \frac{1}{2\pi}\deriv[\phi(t)]{t} = k_F x(t)
+  \]
+\end{prop}
+
+\section{Modulation d'amplitude}
+\subsection{Génération d'un signal AM à double bande latérale}
+\subsubsection{porteuse supprimée}
+\begin{center}
+  \begin{circuitikz} \draw
+    (0,0) node[mixer,box,anchor=east] (m) {}
+    to[amp,box,>,-o] ++(2.5,0) node[right]{$s(t) = kA_0x(t)cos(2\pi f_0 t)$}
+    (m.west)  node[inputarrow] {} to[short,-o] ++(-0.8,0) node[left]{$x(t)$}
+    (m.east) node[below right]{$k$}
+    (m.south) node[inputarrow,rotate=90] {} --
+    ++(0,-0.7) node[oscillator,box,anchor=north](osc) {}
+    (osc.east) node[right]{$p(t) = A_0\cos{2\pi f_0 t}$};
+  \end{circuitikz}
+\end{center}
+
+On en déduit le spectre suivant :
+  \begin{align*}
+    S(f) &= \frac{1}{2}kA_0X(f) * (\delta(f-f_0)+\delta(f-f_0)) \\
+         &=\frac{1}{2}kA_0(X(f-f_0)+X(f+f_0))
+  \end{align*}
+  On peux tracer son spectre :
+  \begin{figure}[H]
+    \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}%
+      [axis lines = middle,
+      height = 5cm,width =15cm,
+      xlabel = {$f$},
+      ylabel = {$|S(f)|$},
+      ytick=\empty,
+      xmin = -10 ,xmax = 10, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
+      xtick = {-9,-6,-3,0, 3,6,9},
+      xticklabels = {$-f_0-F_M$,$-f_0$, $-f_0+F_M$,$0$,$f_0-F_M$,$f_0$, $f_0+F_M$,},
+      ]
+      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
+      {(-9,0) (-9,1) (-6.5,0) (-5.5,0) (-3,1) (-3,0)};
+      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
+      {(9,0) (9,1) (6.5,0) (5.5,0) (3,1) (3,0)};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Spectre dans le cadre de la modulation d'amplitude à porteuse supprimée}
+  On a un spectre à \emph{double bande latérales} et sans présence explicite de la raie de la porteuse.
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Modulation d'amplitude à porteuse conservée}
+\begin{center}
+  \begin{circuitikz} \draw
+    (0,0) node[mixer,box,anchor=east] (m) {}  ++(2.5,0) node[mixer,anchor =east] (m2){}
+    (m.west)  node[inputarrow] {} to[short,-o] ++(-0.8,0) node[left]{$x(t)$}
+    (m.east) node[below right]{$k$}
+    (m.east) --  (m2.west) node[inputarrow]{} node[right=-0.2em]{+}
+    (m.south) node[inputarrow,rotate=90]{} -- node[midway,left](middle){}
+    ++(0,-0.7) node[oscillator,box,anchor=north](osc) {}
+    (osc.south) node[below]{$p(t) = A_0\cos{2\pi f_0 t}$}
+    (middle) -| (m2.south) node[inputarrow, rotate=90]{} node[above=-0.2em]{+}
+    (m2.east) -- ++(1.5,0) node[inputarrow]{}node[right]{$s$};
+  \end{circuitikz}
+\end{center}
+\begin{prop}
+Le signal modulé avec porteuse conservée est de la forme:
+\[
+s(t)  = A_0 (1 + mx(t))\cos(2\pi f_0 t)
+\]
+\begin{itemize}
+\item $e(t) = \frac{x(t)}{max(|x(t)|)}$
+\item $m = k.max{|x(t)|}$ est le taux de modulation.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+\subsubsection{Sur-,  et sousmodulation}
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+      \begin{axis}
+        [samples=100,ticks=none,width=\linewidth,
+        domain =-10:10]
+        \addplot+[no marks, smooth]{(1+0.3*sin(2*pi*5*x))*cos(2*pi*50*x)};
+        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{1+0.3*sin(2*pi*5*x)};
+        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{-1-0.3*sin(2*pi*5*x)};
+      \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \subcaption{$m<1$}
+  \end{subfigure}%
+  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+      \begin{axis}
+        [samples=100,ticks=none,
+        domain =-10:10]
+        \addplot+[no marks, smooth]{(1+3.3*sin(2*pi*5*x))*cos(2*pi*50*x)};
+        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{1+3.3*sin(2*pi*5*x)};
+        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{-1-3.3*sin(2*pi*5*x)};
+      \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \subcaption{$m>1$}
+  \end{subfigure}\\
+  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+      \begin{axis}
+        [samples=100,ticks=none,
+        domain =-10:10]
+        \addplot+[no marks, smooth]{(1+1*sin(2*pi*5*x))*cos(2*pi*50*x)};
+        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{1+1*sin(2*pi*5*x)};
+        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{-1-1*sin(2*pi*5*x)};
+      \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \subcaption{$m=1$}
+  \end{subfigure}
+  \caption{Différentes modulations d'amplitude a porteuse conservée}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{AM a porteuse conservée, spectre}
+Sans surprise :
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}%
+      [axis lines = middle,
+      height = 5cm,width =15cm,
+      xlabel = {$f$},
+      ylabel = {$|S(f)|$},
+      ytick=\empty,
+      xmin = -10 ,xmax = 10, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
+      xtick = {-9,-6,-3,0, 3,6,9},
+      xticklabels = {$-f_0-F_M$,$-f_0$, $-f_0+F_M$,$0$,$f_0-F_M$,$f_0$, $f_0+F_M$,},
+      ]
+      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
+      {(-9,0) (-9,1) (-6.5,0) (-5.5,0) (-3,1) (-3,0)};
+      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
+      {(9,0) (9,1) (6.5,0) (5.5,0) (3,1) (3,0)};
+      \draw[-latex,blue] (axis cs:-6,0) -- (axis cs: -6,1.2);
+      \draw[-latex,blue] (axis cs:6,0) -- (axis cs: 6,1.2);
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Spectre dans le cadre de la modulation d'amplitude à porteuse conservée}
+\end{figure}
+
+  On retrouve le même encombrement, toujours double bande latérale.
+
+  \begin{prop}
+    on défini le rapport entre puissance utile au final et la puissance émise :
+    \[
+      \rho = \frac{m^2 P_e}{1+m^2P_e}
+    \]
+  \end{prop}
+  \subsection{Démodulation par détection d'enveloppe ou cohérente}
+
+  Système peu couteux , mais nécessite $m < 1 $ :
+  \begin{figure}[H]
+    \centering
+    \begin{circuitikz}
+      \draw (0,0) to[open, v=$s(t)$] (0,2) to[D,l=$D_1$] (2,2) to[R,l_=$R_1$] (2,0)
+      (2,2) -- (3.5,2) to[C,l_=$C_1$,v^<=$u(t)$] (3.5,0) (0,0) -- (2,0)node[ground]{} -- (3.5,0);
+    \end{circuitikz}
+    \caption{Circuit détecteur de crête}
+  \end{figure}
+  \begin{prop}
+    Pour obtenir une bonne détection il faut :
+    \[
+      \frac{1}{2\pi f_0} \ll R_1C_1 < \frac{\sqrt{1-m^2}}{2\pi m F_M}
+    \]
+\end{prop}
+\begin{proof}
+
+\emph{issue de la préparation du TP3}
+
+$D_1$ est une diode Schottky à faible tension de seuil, on la néglige donc dans le modèle de la diode considérée.
+\begin{itemize}
+\item Lorsque la diode est passante :
+  \begin{center}
+    \begin{minipage}[r]{0.4\linewidth}
+      \begin{circuitikz}
+        \draw (0,0) -- (2,0) -- (4,0) to[C,l_=$C_1$,v^<=$r(t)$] (4,-2) -- (0,-2) to[open,v=$s(t)$] (0,0)
+        (2,0) to[R,l=$R_1$] (2,-2);
+      \end{circuitikz}
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth}
+      le condensateur se charge et on a
+      \[r(t)=s(t)\]
+    \end{minipage}
+  \end{center}
+\item Lorsque la diode est bloquée:
+  \begin{center}
+    \begin{minipage}[r]{0.4\linewidth}
+      \begin{circuitikz}
+        \node (A) at (0,0){}; % pas propre
+        \draw (2,0) -- (4,0) to[C,l_=$C_1$,v^<=$r(t)$] (4,-2) -- (2,-2)
+        (2,0) to[R,l=$R_1$] (2,-2);
+      \end{circuitikz}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth}
+      \begin{align*}
+        i_c = -\frac{r(t)}{R_1} &= C_1 \dot{r}(t)\\
+        \tau \dot{r}(t) + r(t) &= 0 \quad\text{; avec } \tau= R_1C_1\\
+                       r(t) &= r_0e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}
+      \end{align*}
+      Avec $r_0$ valeur en début de la décharge ie $r_0=s(t_1) = S_p(1+m\cos(\Omega t))$.
+    \end{minipage}
+  \end{center}
+\item Dans la phase de décharge : la pente de la droite de décharge est alors :
+\[
+  \left.\frac{dr(t)}{dt}\right|_{t=t_1} = -\frac{S_p}{R_1C_1}(1+m\cos(\Omega t))
+\]
+\item la pente de l'enveloppe vaut :
+  \[
+\left.\frac{ds(t)}{dt}\right|_{t=t_1} = -m\Omega S_p\sin(\Omega t_1)
+  \]
+  Pour que la restitution soit bonne il faut que la pente de la décharge soit \emph{légèrement} plus faible que la pente de l'enveloppe.
+  \begin{align*}
+    -\frac{S_p}{R_1C_1}(1+m\cos(\Omega t_1)) &< -m \Omega S_p\sin(\Omega t_1)\\
+    R_1C_1 &< \frac{1+m\cos(\Omega t_1)}{m\Omega \sin(\Omega t_1)}
+  \end{align*}
+
+  On étudie donc la fonction :
+  \[
+    y(t) = \frac{1+m\cos(\Omega t)}{m\Omega \sin(\Omega t)}
+  \]
+  \begin{align*}
+    \frac{dy(t)}{dt}= 0 &\iff  \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{sin(\Omega t)}+m \frac{1}{tan(\Omega t)}\right) = 0 \\
+                        &\iff \frac{\Omega \cos(\Omega t)}{\sin(\Omega t)^2}-m\Omega\frac{1}{\sin(\Omega t)^2} = 0\\
+                        &\iff  \Omega t_1 = arccos(-m)
+  \end{align*}
+  Alors :
+  \[
+    y(t_1) \leq y(\arccos(-m))=\frac{1-m^2}{\Omega m \sin(\arccos(-m))} = \frac{1-m^2}{\Omega m\sqrt{1-m^2}} = \frac{\sqrt{1-m^2}}{\Omega m}
+  \]
+  Donc :
+  \[
+    \boxed{R_1C_1 = \frac{\sqrt{1-m^2}}{2\pi F m}}
+  \]
+
+\item La modulation de la sinusoïde est trop forte pour pouvoir etre suivi par le montage détecteur de crète. En effet:
+  \[
+    R_1C_1 \xrightarrow{m \to 1} 0
+  \]
+
+\item
+  Lorsque la fréquence du signal modulant se rapproche de la fréquence de la porteuse la détection crête ne fonctionne pas non plus (phénomène de battement).
+\end{itemize}
+\end{proof}
+\subsubsection{Démodulation AM cohérente : principe}
+\begin{center}
+  \begin{circuitikz} \draw
+    (0,0) node[mixer,box,anchor=east] (m) {}
+    to[lowpass,box,>,-o] ++(2.5,0) node[right]{$d(t)$}
+    (m.west)  node[inputarrow] {} to[short,-o] ++(-0.8,0) node[left]{$s(t)$}
+    (m.east) node[below right]{$k$}
+    (m.south) node[inputarrow,rotate=90] {} --
+    ++(0,-0.7) node[oscillator,box,anchor=north](osc) {}
+    (osc.east) node[right]{$p(t) = A_r\cos{2\pi (f_0 +\Delta f) t+\Delta\phi}$};
+  \end{circuitikz}
+\end{center}
+On dispose de la porteuse à la reception (récupérer par VCO ou générée indépendamment).
+\[
+  u(t)=\frac{kA_rA_0}{2}x(t)(\cos(2\pi \Delta f t +\Delta\phi)+cos(2\pi(2f_0+\Delta f)t+\Delta\phi))
+\]
+Dans le cas de la porteuse supprimée ( en considérant $\Delta f = 0 $ et $\Delta \phi = 0$):
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+     \begin{axis}%
+       [axis lines = middle,
+       at = {(0,0)},
+      height = 5cm,width =12cm,
+      xlabel = {$f$},
+      ylabel = {$|S(f)|$},
+      ytick=\empty,
+      xmin = -25 ,xmax = 25, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
+      xtick = {-11,11},
+      xticklabels = {$-f_0$,$f_0$},
+      ]
+      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
+      {(-12,0) (-12,1) (-11,0) (-11,0) (-10,1) (-10,0)};
+      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
+      {(12,0) (12,1) (11,0) (11,0) (10,1) (10,0)};
+    \end{axis}
+    \begin{axis}%
+      [axis lines = middle,
+      at = {(0,-5cm)},
+      height = 5cm,width =12cm,
+      xlabel = {$f$},
+      ylabel = {$|U(f)|$},
+      ytick=\empty,
+      xmin = -25 ,xmax = 25, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
+      xtick = {-22,22},
+      xticklabels = {$-2f_0$,$2f_0$},
+      ]
+      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
+      {(-23,0) (-23,1) (-22,0) (-22,0) (-21,1) (-21,0)};
+      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
+      {(23,0) (23,1) (22,0) (22,0) (21,1) (21,0)};
+      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
+      {(1,0) (1,1) (0,0) (0,0) (-1,1) (-1,0)};
+      \addplot[no marks, dashed, color=black]  plot coordinates
+      {(-2.5,0) (-1,1.2) (1,1.2) (2.5,0)};
+      \draw[-latex](axis cs:3,1) node[right] (box){
+        \begin{tabular}{c}
+          Passe-Bas,\\
+          $F_M<f_c\ll2f_0$
+        \end{tabular}
+} (box) to[bend left] (axis cs:1.75,0.6);
+    \end{axis}
+
+    \draw[-latex] (0,1cm) to[bend right] node[midway,left]{Démodulation} (0,-4cm);
+  \end{tikzpicture}
+
+\caption{Spectre des signaux considérés}
+\end{figure}
+En $d(t)$ on retrouve bien $x(t)$ a un facteur multiplicatif pres.  (et une constante additive si porteuse conservée)
+
+\paragraph{Remarque}: si on a pas un synchronisme parfait (phase et fréquence) les spectres se superposent en effet :
+\[
+  d(t) = \frac{kA_0A_r}{2}x(t)cos(2\pi\Delta f t+\Delta\phi)
+\]
+\subsection{Modulation AM particulière}
+\subsubsection{Modulation d'amplitude en quadrature}
+\subsubsection{Modulation à bande latérale unique}
+pour réduire le support fréquenciel du signal modulé.
+\subsubsection{Modulation à Bande latérale atténuée}
+
+\section{Modulation angulaire : FM et PM}
+\subsection{Principe, aspect spectral}
+
+\begin{defin}
+   \begin{description}
+    \item[Déviation de fréquence]~\\
+      $\Delta f(t) = \frac{1}{2\pi}\deriv[\phi(t)]{t}=k_Fx(t)$
+    \item[Excursion en fréquence]~\\
+      $\Delta f_{max}=\max |k_f x(t)|$
+    \end{description}%
+      \[
+        s_{FM}(t)= A_0 \cos(2\pi f_0t +2\pi k_f \int_0^tx(\tau)d\tau)
+      \]
+  \end{defin}
+\begin{defin}
+\begin{description}
+    \item[Déviation de phase]~\\
+      $\Phi(t) = k_p x(t)+\phi(0)$
+    \item[Excursion en phase]~\\
+      $\Delta \Phi_{max}=\max |k_f x(t)|$
+      \[
+        s_{PM}(t)= A_0 \cos(2\pi f_0t +2\pi k_p x(t))
+      \]
+    \end{description}
+\end{defin}
+
+
+\begin{prop}
+  Pour une modulante sinusoïdale $x(t) = A_X \cos(2\pi F_X t)$ on a :
+  \[
+    s_{FM}(t)=A_0 \cos\left(2\pi f_0 t +\frac{\Delta f_{max}}{F_X}sin(2\pi F_{X}t)\right)
+  \]
+  Et
+  \[
+    S_{PM} =A_0 \cos\left(2\pi f_0 t +\Delta \phi_{max}sin(2\pi F_{X}t)\right)
+  \]
+  On défini \emph{l'indice de modulation} $\beta$ comme :
+  \[
+    \beta =
+    \begin{cases}
+      \Delta \phi_{max} & \text{en PM}\\
+      \frac{k_FA_X}{F_X} & \text{en FM}
+    \end{cases}
+  \]
+\end{prop}
+
+\subsubsection{Spectre pour une modulante sinusoïdale}
+
+\begin{thm}[identité de Bessel]
+  \[
+    e^{jx\sin(y)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)e^{jny}
+  \]
+  Avec la fonction de bessel de première espèce d'indice $n$:
+  \[
+    J_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}cos(xsin(\theta)-n\theta)d\theta
+  \]
+  On a de plus $J_{-n}(\beta)= (-1)^nJ_n(\beta)$
+\end{thm}
+
+Ainsi on a pour le signal modulé en FM :
+\[
+  s_{FM} = A_0 \Re(e^{2j\pi f_0t}e^{j\beta\sin(2\pi F_Xt)}) = A_0 \Re \left(e^{2j\pi f_0 t} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)e^{j2\pi F_x t}\right)
+\]
+
+[Insert Spectre FM]
+
+On a un encombrement en fréquence infini , mais la fonction de bessel est décroissante ainsi :
+\begin{prop}[règle de Carson]
+  98\% de la Puissance du signal modulé se trouve dans la bande de fréquence utile $B_u$ donnée par :
+  \[
+    B_u = 2F_X(\beta+1)
+  \]
+  Cela se généralise pour tout signal $x(t)$ :
+  \[
+    B_u = 2F_M(\beta_{nom}+1) = 2\Delta f_{max}+2F_M
+  \]
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque} Ce n'est qu'un des critère possibles. De manière générale le support fréquentielle en FM est plus large qu'en AM.
+
+Dans le cas d'une phase $\phi(t) \ll \frac{\pi}{2}$ on peux faire un DL et on retrouve un spectre semblabe a celui d'une AM à double bande latérale :
+
+\[
+s(t) = A_0 \Re(e^{2j\pi f_0t}e^{j\phi(t)}) \simeq  A_0 \Re(e^{2j\pi f_0t}(1+j\phi(t))) = A_0 \cos(2\pi f_0t) - \phi(t)\sin(2\pi f_0t)
+\]
+
+[insert Graphics]
+
+En FM er à DSP de bruit constante on a interet a préaccentuer les aigus et de $x(t)$ par rapport aux graves (apres démodulation désacentuation).
+
+
+\subsection{Méthode de génération d'une modulation angulaire}
+\subsubsection{FM par oscillateur controllé en tension}
+\subsubsection{FM par régulation de fréquence porteuse}
+\subsubsection{PM par réactance variable}
+\subsubsection{Modulation PM à base de PLL}
+\subsection{Méthode de démodulation angulaire}
+\subsubsection{Démodulatateur a PLL}
+\subsubsection{Autre démodulateurs}
+\paragraph{Démodulateur par déphasage}
+\paragraph{Démodulateur FM par comptage}
+
+\section{Modulation et bruit}
+\subsection{Différentes origines du bruit electronique}
+Le Bruit est une tension nusibile qui se superposant au signal utile. Les principales sources de bruits sont :
+\begin{itemize}
+\item bruit thermique
+\item bruit electromagnétique
+\end{itemize}
+Dans la suite on considère que le bruit est \emph{additif} , centrée , ergodique, de puissance finie...
+On le note $n(t)$ et $D_n(f)$ sa DSP. (TF de la fonction d'autocorrélation)\footnote{cf. UE 451}.
+\subsubsection{Bruit thermique}
+Le bruit thermique est issu du mouvement brownien des électrons libre dans un conducteur , proportionnel à la température (agitation thermique)
+\begin{center}
+  \begin{circuitikz}
+    \draw (0,0) to[R,l={R bruyante},v=$v(t)$] (0,2) -- (2,2) to[voltmeter,l=$V_{eff}$] (2,0) -- (0,0);
+  \end{circuitikz} $\iff$%
+  \begin{circuitikz}
+    \draw (0,0) to[V,l=$n$] (0,2) to[R,l={R non bruyante}] (0,4) -- (2,4) to[R,l={R non bruyante},v=$v$] (2,0) -- (0,0);
+  \end{circuitikz}
+\end{center}
+\begin{prop}
+  On a alors $v = n/2$ et :
+  \[
+    <n^2> = 4k_B T R \Delta f = 4k_B T \Re(Z)
+  \]
+  \[
+    D_n = 4k_B T R (en V^2/Hz)
+  \]
+  La DSP est constante (bruit blanc).
+\end{prop}
+
+\subsubsection{Température équivalente}
+par analogie avec le bruit thermique on peux définir la température d'un bruit blanc pour d'autr source de bruit. Par exemple le bruit d'une antenne en reception : $T = 300 K$ (vers le sol) , $T=qq K$ (vers le ciel)). On parle alors d'antenne "froide" (peu de pertubation) .
+
+\subsubsection{Autres bruits}
+\begin{description}
+\item[bruit blanc de grenaille] (Cf Schottky, 1918) : nombre faible de porteur de charge franchissant une barrière de potentiel
+\item[bruit de scintillation] DSP en $1/f $ : fluctuation de grandeur physique (densité de défaut chargé, rugosité d'interface..)
+\item[Bruit coloré] DSP en $f^n$ (traité par des ampli ,CF TD10).
+\end{description}
+
+Tous ces différents bruit s'ajoute pour former un DSP d'allure :
+
+
+[Insert graphics, plancher de bruit]
+
+\subsection{Bruit dans une chaine de Quadripole}
+{\LARGE
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$u$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$H$};
+    \node (s) at (4,0) {$v$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}}
+\begin{defin}
+D'après la formule d'interférence:
+\[D_v(f) = |H(f)|^2D_u(f)+D_p(f)\]
+  On défini le \emph{facteur de bruit} d'un quadripole $Q$ de fonction de transfert $H$:
+
+    \begin{align*}
+      F &= \frac{\text{DSP de bruit total en sortie}}{\text{DSP de bruit si Q non bruyant}}\\
+        &= \frac{|H(f)|^2D_u(f)+D_p(f)}{|H(f)|^2D_u(f)}\\
+        &= 1 + \frac{D_p(f)}{|H(f)|^2D_u(f)} \geq 1
+     \end{align*}
+   \end{defin}
+
+   On peux également définir la température équivalente de bruit du quadripôle:
+
+   \paragraph{Hypothèse}
+   \begin{itemize}
+   \item Adaptation d'impédance entre Q et les connections ($Z_c$ supposée réelle)
+   \item[$\implies$] Optimisation du transfert de puissance car pas de reflexionsur Q
+   \item Bruit Thermique par une impédance $Z_c$ placée en entrée de Q.
+   \end{itemize}
+
+   \begin{center}
+     \begin{circuitikz}
+       \draw (0,0) to[R, l=$Z_c@ T_e$,v=$u$] (0,2) -- (2,2) to[R, l=$Z_c$] (2,0) -- (0,0);
+       \draw (1.5,-0.2) rectangle (4,2.2) node[above]{Q};
+       \draw (4,2) -- (5,2) to[R] (5,0) --(4,0);
+     \end{circuitikz}
+   \end{center}
+
+   \begin{prop}
+     On a :
+     \[\left.
+       \begin{array}{r}
+         D_u(f) = k_B T_eZ_c \\
+         ~\\
+         D_p(f  = |H(f)|^2k_BT_QZ_C
+       \end{array}\right\} \implies F = 1 + \frac{T_Q}{T_e}
+     \]
+   \end{prop}
+
+\subsubsection{Quadripole en cascade}
+   Pour deux quadripole en série de gain $H_1$ et $H_2$ :
+
+{\LARGE
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$u$};
+    \node[rectangle,draw] (f1) at (2,0) {$H_1$};
+    \node[rectangle,draw] (f2) at (4,0) {$H_2$};
+    \node (s) at (6,0) {$v$};
+    \draw[->] (e) -- (f1) -- (f2) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}}
+
+
+\begin{thm}[Formule de Friis]
+  Pour la mise en cascade de deux quadripoles le facteur de bruit total est:
+  \[
+    F_{tot} = F_1 + \frac{1}{|H_1(f)|^2}(F_2-1)
+  \]
+  La formule se généralise par récurrence pour $N$ quadripoles en série:
+  \[
+    F_{tot} = F_1 + \frac{1}{|H_1(f)|^2}(F_2-1) + \frac{1}{|H_1(f)|^2|H_2(f)|^2}(F_3-1)+ \dots + \frac{1}{|H_1(f)|^2|H_2(f)|^2|H_{N-1}(f)|^2}(F_N-1)
+  \]
+\end{thm}
+\paragraph{Remarque}
+On a tout intêret à placer un amplificateur faible bruit (LNA\footnote{Low Noise Amplifier}) pour minimiser le facteur de bruit total (cf TD11).
+
+\subsubsection{Facteur de bruit et RSB}
+{\Large
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$s_u(t)+n_u(t)$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (4,0) {$H$};
+    \node (s) at (8,0) {$s_v(t)+n_v(t)$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}}
+\begin{prop}
+  Dans le cas où $|H(f)|$ et les DSP \emph{sont indépendantes de $f$ dans la bande de fréquence} B considérée, alors :
+   \[
+     F = \frac{D_{n_v}}{|H|^2D_{n_u}} = \frac{S_{ueff^2}}{S_{veff^2}}\frac{D_{nv}}{D_{nu}} = \frac{(S/N)_{entree}}{(S/N)_{sortie}}
+   \]
+\end{prop}
+\subsection{Efficacité vis-à-vis du bruit en démodulation [WIP]}
+\subsubsection{Contexte}
+\begin{center}
+  \begin{circuitikz}
+\draw (0,0) to[tline] ++(2,0) to[twoport,t={\tiny capteur}] ++(2,0)to[twoport,t={\tiny preamp}] ++(2,0) to[amp] ++(2,0) to[twoport, t={\tiny Demod},-o]++(2,0) node[right]{$\alpha x(t)+n_s(t)$};
+  \end{circuitikz}
+\end{center}
+Modélisation du bruit (décomposition analytique transformée de hilbert)
+\[
+n_e  = \Re(n_I(t)+jn_Q(t)exp(2j2\pi f_0 t))
+\]
+But: calculer :
+\[
+  \eta =\frac{<\alpha^2x^2>/<n_s^2>}{<c^2><n_e^2>}
+\]
+\subsubsection{Cas de l'AM}
+\[
+  \eta = \frac{<n_e^2>}{(1/2)kA_1<x^2>} = 2
+\]
+efficacité faible mais garantie
+\paragraph{Autre Modulation AM}
+\begin{description}
+\item[BLU]  $\eta =1$
+\item[BL atténuée]  $\eta = \frac{2}{1+c^2}$ avec $0\le c \le 1$
+\item[Quadrature] $\eta =2$
+\item[DB+porteuse] $\eta= 2 \frac{2k^2<x^2>}{1+k^2<x^2>}$
+\end{description}
+
+\subsubsection{Démodulation angulaire}
+\paragraph{généralité}
+
+\paragraph{Démodulation PM}
+\[
+  \eta = 2 k_P^2 <x^2> \simeq 2\beta^2
+\]
+Peux devenir $\gg 1 $ mais il faut RSB grand et $B_u$ large.
+
+\paragraph{Démodulationn FM}
+\[
+  \eta = 6 \frac{k_f^2<x^2>}{F_M^2} \simeq 6 \beta^2
+\]
+
+
+\end{document}