cours du 18/03 455
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@ -4,7 +4,7 @@
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L'idée du codage prédictif est d'utiliser les corrélations (ressemblances) temporelles ou spatiales du signal à compresser.
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\section{Rappels sur la corrélation}
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\paragraph{Rappels sur la corrélation}
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On considère une source $X$ qui émet un signal constitué de $x_1,\dots,x_N$ considérés comme une réalisation d'une suite de variables aléatoires $X_1,\dots,X_N$ de moyenne nulle.
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@ -17,17 +17,28 @@ Pour un signal stationnaire (dont les caractéristiques statistiques n'évoluent
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\[ \gamma_x(n,k) = \gamma_x(k) = E(X_nX_{n+k}), \forall n\]
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En pratique, on estime la corrélation à partir des échantillons du signal à compresser.
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\begin{itemize}
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\item Estimateur biaisé :
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\[ \hat{\gamma_x^{B}}(k) =
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\begin{cases}
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\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N-k} x_i x_{i+k}, \forall k \geq 0 \\[2em]
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\displaystyle\frac{1}{N} \sum_{i=-k}^N x_i x_{i+k}, \forall k \leq 0
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\end{cases}
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\]
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\item Estimateur non biaisé
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\[
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\hat{\gamma_x^{NB}}(k) =\frac{1}{N-|k|} \sum_{i=1}^{N-k} x_i x_{i+k} \forall k \geq 0
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\]
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Estimateur biaisé :
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\[ \hat{\gamma_x}(k) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N-k} x_i x_{i+k}, \forall k \geq 0 \]
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\[ \gamma_x(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=-k}^N x_i x_{i+k}, \forall k \leq 0 \]
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\end{itemize}
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\begin{rem}
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On préfère l'estimateur biaisé car il est plus stable numériquement.
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\end{rem}
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Avec Matlab, on l'obtient avec :
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% \begin{lstlisting}
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% [c,k] = xcorr(x,'biased');
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% plot(k,c); grid;
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% \end{lstlisting}
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\begin{minted}{matlab}
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[c,k] = xcorr(x,'biased');
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plot(k,c); grid;
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\end{minted}
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$\gamma_x(k)$ est maximale en 0 et est égale à l'énergie $\sigma^2$ du signal.
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\section{Codage prédictif en boucle ouverte}
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@ -37,7 +48,8 @@ Schéma en boucle ouverte:
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\sbEntree{E}
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\node[above] at (E) {$x_n$};
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\node[above left] (X) at (E) {$x_n$};
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\draw (E.east) -- ++(-2em,0) (E.south) -- ++(0,4pt) ;
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\sbDecaleNoeudy[5]{E}{mem}
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\sbBloc{mem2}{Mémoire}{mem}
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\sbBlocL{pred}{Prédiction}{mem2}
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@ -109,9 +121,7 @@ $\hat{e}$ est l'énergie de la partie qui n'a pas pu être prédite de $x_1,\dot
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Lorsque le signal est fortement corrélé, $\gamma_x(1)\simeq \gamma_x(0)$ et $\hat{a_1}\simeq 1$.
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Le résidu de prédiction a une variance plus faible. Si on le quantifie, il permettra de reconstituer le signal initial avec une distorsion plus faible.
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\newpage
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\section{Prédiction à $p$ pas}
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\subsection{Prédiction à $p$ pas}
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On cherche à prédire $\vec{X_n}$ à partir des échantillons précédents $X_{n-1},\dots,X_{n-p}$.
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@ -161,34 +171,30 @@ Pour cette valeur de $\hat{\ap}$, on a
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Ce prédicteur à $p$ pas est en général plus efficace que le prédicteur à 1 pas mais il est plus complexe.
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\newpage
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\section{Mise en oeuvre du prédicteur}
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On considère le codeur prédictif de structure suivante à l'émetteur :
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%\img{0.4}{3/2/1}
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et de structure suivante au décodeur de récepteur:
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%\img{0.4}{3/2/2}
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On met en œuvre un dispositif de prédiction exploitant les échantillons disponibles au récepteur, de manière à éviter l'accumulation des erreurs de quantification. Il n'y a pas d'accumulation d'erreur de prédiction car le prédicteur est le même à l'émetteur et au récepteur.\\
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\subsection{Mise en oeuvre du prédicteur}
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Il faut que le récepteur disposent également des coefficients de prédiction optimal. Il peuvent :
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\begin{itemize}
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\item être transmis mais cela coute du débit
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\item Etre réestimés au récepteur mais cela rend le récepteur plus complexe.
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\end{itemize}
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Pour le réglage du prédicteur, on distingue plusieurs méthodes :
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\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{5mm}
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\item On calcule $\hat{\gamma_x}$ sur tout le signal et on transmet $\vec{\hat{a}}_{opt}$.
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\subsubsection{Fenêtres fixes}
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Avantage :
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On découpe le signal en blocs de $M$ échantillons et on recalcule le prédicteur sur chaque bloc.
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Les échantillons de la $m$-ième fenêtres (pour$(m-1)M+1$ à $mM$):
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\begin{itemize}
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\item sa simplicité de mise ne œuvre
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\end{itemize}
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Inconvénients :
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\begin{itemize}
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\item il ne permet pas de tenir compte des non stationnarités
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\item on règle le prédicteur à partir de $x_n$ et non de $\hat{x_n}$.
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\item servent à extimer $\hat{\gamma}_x(k)$ et les coefficients de prédiction utilisé pour la $m+1$-ème fenêtre.
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\item sont comprimés en utilisant le prédicteur optimal calculé das la fenêtre $m-1$.
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\item Le recepteur fait les mêmes opérations.
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\end{itemize}
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\begin{rem}
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Pour la première fenêtre on utilise le prédicteur à 1 pas.
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\item On découpe le signal en blocs et on recalcule le prédicteur sur chaque bloc.
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Cette méthode ne fonctionne que pour des compressions sans pertes ou a débit élevé.
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\end{rem}
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Avantages :
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\begin{itemize}
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\item sa simplicité de mise ne œuvre
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@ -199,9 +205,19 @@ Inconvénient :
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\item débit nécessaire à la transmission des $\vec{\hat{a}}_{opt}$.
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\end{itemize}
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\item Mettre en place un prédicteur adaptatif. On travaille sur une fenêtre glissante contenant les N échantillons décalés : $\vec{\hat{X}}_n = (\hat{x}_{n-1}, ..., \hat{x}_{n-N})^T$.
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\subsubsection{Fenêtres glissantes}
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On calcule $\vec{\hat{a}}_{opt}$ à partir de $\vec{\hat{X}}_n$ (au codeur et au décodeur). On applique $\vec{\hat{a}}_{opt}$ pour coder et décoder $x_n$ en $\hat{x}_n$. À l'itération suivante, on calcule $\vec{\hat{a}}_{opt}$ à partir de $\vec{\hat{X}}_{n+1} = (\hat{x}_{n}, ..., \hat{x}_{n-N+1})^T$.
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On travaille sur une fenêtre glissante contenant les N échantillons décalés : $\vec{\hat{X}}_n = (\hat{x}_{n-1}, ..., \hat{x}_{n-N})^T$.
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\begin{itemize}
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\item On estime $\gamma_x(k)$ à partir des échantillons.
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\item On en déduit le prédicteur à $p$ pas.
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\item On prédi $x_n$ et on compresse le résidu.
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\item Au récepteur dans le cas c'un codage sans pertes on dispose également de $x_{n-N} ... x_{n-1}$. et on va pouvoir faire les mêmes opérations pour obtenir $\hat{x_n}$ auquel il rajoutera le résidu du codeur.
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\end{itemize}
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\begin{rem}
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Pour les $N$ premiers échantillons on peux utiliser un prédicteur à 1 pas avec $a=0$ ou $a=0$
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\end{rem}
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Avantages :
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\begin{itemize}
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@ -213,11 +229,6 @@ Inconvénient :
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\begin{itemize}
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\item et bien... c'est pas simple.
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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