Finalisation du cours de 424
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@ -511,8 +511,30 @@ Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique.
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\end{itemize}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.9\textwidth]{6/1.png}
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\caption{ }
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\begin{tikzpicture}
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\sbEntree{Yc}
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\sbComp{C}{Yc}
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\sbRelier[$y_c$]{Yc}{C}
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\sbBlocL{P}{
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\begin{tabular}{c}
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Commande \\ pour la \\ poursuite
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\end{tabular}
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}{C}
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\sbBlocL[4]{I1}{$\displaystyle\int$}{P}
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\sbBlocL{I2}{$\displaystyle\int$}{I1}
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\node[above] at (P-I1) {$u^{(m-r)}$};
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\node[above] at (I1-I2) {...};
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\sbBlocL{NL}{
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\begin{tabular}{c}
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Système \\ N.L
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\end{tabular}
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}{I2}
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\sbSortie{Y}{NL}
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\sbRelier[$y$]{NL}{Y}
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\sbRenvoi{NL}{P}{}
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\sbRenvoi[6]{NL-Y}{C}{}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Commande par bouclage linéarisant}
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\label{fig:label}
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\end{figure}
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La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL
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@ -572,10 +594,7 @@ Le système est plat où $q\in\R^n$ sont les sorties plates.\\
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La planification de trajectoire est réalisée sur les $q$, puis $u=K^{-1}(q,\dot{q})(M(q)\dot{q} + B(q,\dot{q}))$\\
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Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
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%\imgt{7/1}
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On a la commande en cascade:
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\[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \]
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\end{exemple}
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\end{document}
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@ -584,56 +603,3 @@ Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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% A refaire complètement avant entree-état
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% \subsubsection{Modèle linéaire :}
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% \[
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% \begin{cases}
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% \dot{z} & = Az + Bv \\
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% y & = Cz
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% \end{cases}
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% \text{ avec }
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% A = \left[
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% \begin{array}{ccccc}
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% 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
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||||
% \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
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||||
% \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
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||||
% 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
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||||
% -a_0 & \dots & \dots & \dots & -a_{n-1}
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% \end{array} \right],
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% \quad B = \vect{ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 }
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% \text{ et } C = [1 \quad 0 \dots 0 ]
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% \]
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% Synthèse du correcteur linéaire :
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% % \img{0.5}{5/3}
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% \begin{figure}[H]
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% \centering
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% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/3.png}
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% \caption{}
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% \end{figure}
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% Planification de trajectoire :
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% \[ y^{(n)} = v = y_c^{(n)} + a_1 (y_v^{n-1)} - y^{(n-1)})+ \dots + a_{n-1}(\dot{y_c} - \dot{y}) + a_n(y_c-y) \]
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% Les $a_i$ sont choisis en imposant la dynamique de $\epsilon=y-y_c$ :
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% \[ \epsilon^{(n)} + a_1 \epsilon^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}\dot{\epsilon} + a_n\epsilon = 0 \]
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% Matrice d'évolution de la boucle fermée :
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% \[ A_{BF} = \left[ \begin{array}{ccccc}
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||||
% 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
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||||
% \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
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||||
% \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
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||||
% 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
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||||
% -a_n & -a_{n-1} & \dots & \dots & -a_1
|
||||
% \end{array} \right] \quad \text{Forme canonique}
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% \]
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% \begin{rem}
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||||
% Cette méthode est assez simple. Cependant, il faut accéder aux dérivées successives de la sortie. Si on a des capteurs, alors OK, mais calculer une dérivée numérique n'est pas génial.
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% \end{rem}
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@ -17,7 +17,7 @@ On suppose que $0 < \epsilon \ll 1$. et on pose $\tau = \epsilon t$, alors $\ta
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\dd{x_1}{\tau} & = f_1(x_1,x_2,u) ~~\text{ Dynamique lente et d'ordre 0 en } 1/\epsilon \\
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||||
\dd{x_2}{\tau} & = \frac{1}{\epsilon} f_2(x_1,x_2,u) \text{ Dynamique rapide et d'ordre 1 en }1/\epsilon
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
\begin{prop}
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||||
Ainsi, dans le cas d'un point d'équilibre stable, $x_2$ converge plus rapidement vers $\Sigma_0$ que $x_1$ vers $\Sigma_\epsilon$ avec :
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\[
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||||
\begin{cases}
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||||
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@ -25,8 +25,9 @@ Ainsi, dans le cas d'un point d'équilibre stable, $x_2$ converge plus rapidemen
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|||
\Sigma_\epsilon = \{(x_1,x_2,u) ~~|~~ f_1(x_1,x_2,u)=0 \text{ et }f_2(x_1,x_2,u)=0 \} \subset \Sigma_0
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
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||||
\begin{rem}
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||||
La variété $\Sigma_\epsilon$ dégènre en $\Sigma_0$ pour $\epsilon \to 0$.
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||||
La variété\footnote{Une variété est un objet mathématique, courbes :variété de dimension 1, surface :variété de dimension 3} $\Sigma_\epsilon$ dégènre en $\Sigma_0$ pour $\epsilon \to 0$.
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||||
\end{rem}
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\section{Détermination du voisinage}
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@ -89,24 +90,25 @@ $C_r = -\frac{\dot{u}J}{k}$ est utilisée pour estimer $C_r$ en modulant $\dot{u
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\section{Synthèse de commande hiérarchisante}
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\subsection{Hiérarchisation par commande à grand gain}
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\begin{defin}
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Soit le système (1), où la commande n'intervient que sur $x_2$ linéairement :
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||||
\[
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||||
\begin{cases}
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||||
\dot{x_1} & = f_3(x_1,x_2) \\
|
||||
\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + u \end{cases} , \quad x_1 \in \R^{n_1}, x_2 \in \R^{n_2}, u \in\R^{n_2}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Ce système est de \emph{forme triangulaire}.
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||||
\end{defin}
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||||
Soit $x_2^*$ la trajectoire consigne à imposer à $x_2$. Avec comme hypothèse $f_2(x_1,x_2)$ bornée, nous appliquons la commande à grand gain
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\[ u = -\frac{K}{\epsilon}(x_2-x_2^*)\]
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||||
où $\epsilon<< 1$ et $K$ matrice diagonale définie positive.
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||||
Ainsi, suivant la nouvelle échelle de temps $\tau = \frac{t}{\epsilon}$
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||||
\[
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||||
\begin{cases}
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||||
\dd{x_1}{\tau} & = \epsilon f_1(x_1,x_2) \quad \text{dynamique lente}\\
|
||||
\dd{x_2}{\tau} & = \epsilon f_2(x_1,x_2) - k(x_2-x_2^*) \quad \text{perturbation et dynamique de convergence rapide}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\left\{ \begin{array}{rll}
|
||||
\dd{x_1}{\tau} & = \epsilon f_1(x_1,x_2) &\quad \text{dynamique lente}\\
|
||||
\dd{x_2}{\tau} & = \epsilon f_2(x_1,x_2) - k(x_2-x_2^*) &\quad \text{perturbation et dynamique de convergence rapide}
|
||||
\end{array}\right.
|
||||
\]
|
||||
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||||
$\Sigma_0$ est la variété $x_2 = x_2^*$.
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@ -133,7 +135,6 @@ La dynamique lente est $\dd{x_1}{\tau} = \epsilon f_1(x_1,x_2^*)$. Par conséque
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\end{itemize}
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\end{rem}
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\subsection{Commande par backstepping}
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Soit un système sous forme triangulaire (apparition successive des différentes commandes) :
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\begin{align*}
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\dot{x_1} & = f_1(x_1) + x_2 \\
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||||
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@ -142,6 +143,9 @@ Soit un système sous forme triangulaire (apparition successive des différentes
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\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots x_n) + u
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||||
\end{align*}
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On veut triuver $u$ pour imposer une poursuite asymptotique de $x_1$ vers $x_1^*$, pour cela on utilise une commande réalisée via la condition de Lyapunov. La méthode du backstepping synthétise la commande $u$ en plusieurs étapes avec une séparation dynamique pour simplifier le choix de $V(x)$.
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\paragraph{Procédure de synthèse}
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\paragraph{Étape 1} Afin d'imposer la consigne $x_1^*$, on utilise la fonction de Lyapunov
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@ -150,12 +154,11 @@ Pour assurer la stabilité, il faut que $\dot{V_1}(x_1)$ soit définie négative
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\begin{align*}
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||||
\dot{V_1}(x_1) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) \\
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||||
& = (x_1 - x_1^*)(f_1(x_1) + x_2 - \dot{x_1^*})
|
||||
\intertext{On cherche donc $x_2$ pour que}
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||||
\intertext{On cherche donc $x_2^*$ pour que}
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||||
\dot{V_1}(x_1) & = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 \quad \text{ avec } \alpha_1 < 0 \\
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||||
x_2^* & = \alpha_1(x_1-x_2^*) - f_1(x_1) + \dot{x_1^*}
|
||||
\end{align*}
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||||
Cela assure la convergence asymptotique de $x_1$ vers $x_1^*$.
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$x_2^*$ est une ``consigne fictive''. On doit faire tendre $x_2$ vers $x_2^*$ asymptotiquement et plus rapidement que $x_1$ vers $x_1^*$.
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\paragraph{Étape 2} Faire converger $x_2$ vers $x_2^*$. On utilise la nouvelle fonction de Lyapunov
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\[ V_2(x_1,x_2) = \frac{1}{2}(x_1-x_1^*)^2 + \frac{1}{2}(x_2-x_2^*)^2 \]
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@ -168,10 +171,16 @@ On veut $\dot{V_2}(x_1,x_2)$ définie négative :
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|||
(x_2-x_2^*)(f_2(x_1,x_2) + x_3 - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
|
||||
x_3^* & = \alpha_2(x_2-x_2^*) - f_2(x_1,x_2) + \dot{x_2^*}
|
||||
\end{align*}
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||||
La démarche est la même à l'étape $n$ :
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\paragraph{Étape n}
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Meme démarche:
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\[ u = \dot{x_n^*} - f_n(x_1,\dots,x_n) + \alpha_n(x_n-x_n^*) \]
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avec $\alpha_n < \alpha_{n-1} < \dots < \alpha_2 < \alpha_1$
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||||
si $\alpha_n \ll \alpha_{n-1} \ll ... \ll \alpha_1$ alors:
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||||
$\dot{V}$ est obtneu par $f_n(x_1,...,x_n)+u-x_n^* = \alpha_n(x_n-x_n^*)$
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||||
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||||
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||||
\begin{rem}
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||||
Cette méthode est généralisable à des systèmes sans forme :
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||||
\begin{align*}
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||||
|
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@ -182,7 +191,7 @@ Cette méthode est généralisable à des systèmes sans forme :
|
|||
\end{align*}
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||||
sur $\mathcal{D} = \{x_1,\dots,x_n \text{ tq } g_1 \neq 0,\dots,g_n\neq 0 \}$
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||||
\end{rem}
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||||
Mais les méthodes sont alors peu robuste.
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\section{Rejet de perturbation}
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On suppose que le modèle st soumis à des perturbations.
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@ -195,7 +204,6 @@ Même principe que pour la linéarisation par bouclage, on dérive la sortie par
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On réalise le rejet de perturbations sur la relation entre le degré relatif associé à $u$ et $\sigma$ degré relatif associé à $w$.
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\paragraph{Cas 1} $L_ph(x) \neq 0$\\
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Si $L_gh(x) \neq 0$ et la perturbation $w$ est mesurable (rarement), alors le rejet de la perturbation est obtenu par
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\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x) - L_ph(x)w) \quad \text{avec trivialement } v = \dot{y}\]
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190
424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap9.tex
Normal file
190
424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap9.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,190 @@
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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||||
On suppose que le modèle est soumis à des pertubations:
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||||
\[
|
||||
\begin{cases}
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||||
\dot{x} = f(x) +g(x)u+p(x)w\\
|
||||
y = h(x)
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\begin{rem}
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||||
Si $w$ modélise des incertitudes de modèle, alors on suppose que les erreurs de modélisation n'implique pas d'instabilité, $w$ ne dépend pas de $x$.
|
||||
\end{rem}
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||||
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||||
On applique au modèle le principe du bouclage linéarisant:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
y=h(x)=z_1\implies z_2\dot{z_1} = \dot{y} =h(x)
|
||||
\]
|
||||
Ainsi l'analyse sur le rejet de pertubation et réalisé sur la relation entre $r$ le degré relatif associé à $u$ et $\sigma$ le degré relatif associé à $w$.
|
||||
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\begin{itemize}
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||||
\item $r < \sigma$ : \\
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||||
Alors le bouclage linéraisant a rendu la pertubation non commandable
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||||
\item $r \ge \sigma$:\\
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Soit on peux mesurer $w$ pour atténuer son effet
|
||||
\item Soit on modélise la pertubation, généralement sous forme canonique (ie $w^{(\alpha)}= 0$ , ou $\alpha$ est l'ordre). Pour avoir le cas $r<\sigma$ on réalise une observateur de pertubation et atténuer son effet.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
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||||
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||||
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||||
\section{Rejet de pertubation via la commande par mode glissant}
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||||
\subsection{Exemple et Définitions}
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Dans la commande par mode glissant on a $U = u_{eq}+u_y$ avec:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $u_{eq}$ commande sans pertubation pour une poursuite asymptotique
|
||||
\item $u_y$ commande à structure variable pour faire converger $x$ vers $x^*$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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||||
\begin{exemple}
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||||
Onduleur de tension commandé en courant
|
||||
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||||
|
||||
\newsavebox{\genericfilt}
|
||||
\savebox{\genericfilt}{%
|
||||
\begin{tikzpicture}[font=\small,>=stealth,scale=0.5]
|
||||
\draw[->] (-1,0)-- (1,0);
|
||||
\draw[->] (0,-1)--(0,1);
|
||||
\draw[thick] (-1,-0.7) -- (0.5,-0.7);
|
||||
\draw[thick] (1,0.7) -- (-0.5,0.7);
|
||||
\draw[thick] (0.5,-0.7) -- (0.5,0.7);
|
||||
\draw[thick] (-0.5,-0.7) --(-0.5,0.7);
|
||||
\end{tikzpicture}%
|
||||
}
|
||||
\begin{figure}[H]\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{scope}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines= middle,
|
||||
xmin= 0,xmax= 8,
|
||||
ymin =-2,ymax=2,domain=0:8,
|
||||
]
|
||||
\addplot[no marks,blue,samples=200]{sin(deg(x))+0.1*sin(100*deg(x+1))};
|
||||
\addplot[no marks,red]{sin(deg(x))};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{scope}
|
||||
\begin{scope}[shift={(7,3)}]
|
||||
\sbEntree{I}
|
||||
\sbComp{Comp}{I}
|
||||
\sbRelier[$i_{ref}$]{I}{Comp}
|
||||
\sbBlocL{N}{\usebox{\genericfilt}}{Comp}
|
||||
\sbSortie{Y}{N}
|
||||
\sbRelier[$y$]{N}{Y}
|
||||
\sbDecaleNoeudy[4]{Comp}{i}
|
||||
\sbRelier[$i$]{i}{Comp}
|
||||
\end{scope}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{Exemple de l'onduleur de tension}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Si la fréquence est infinie on a un mode glissant
|
||||
\end{exemple}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Un système est à structure variable si la commande commute entre 2 valeurs suivant une logique $\sigma(x)$.
|
||||
\end{defin}
|
||||
\begin{prop}
|
||||
$\sigma(x)$ permet de glisser sur $S(x,t)$ surface de glissement si la fréquence de commutation est infinie. On a :
|
||||
\[
|
||||
V(x) = \frac{1}{2}S(x,t)^2
|
||||
\]
|
||||
Soit :
|
||||
\[
|
||||
\dot{V}(x)= S(x,t)\dot{S}(x,t) <0 : \sigma(x)
|
||||
\]
|
||||
\end{prop}
|
||||
Dans un régime glissant on est dans un voisinage de $S(x,t)=0$ et pour maintenir le glissement la logique de commutation $\sigma(x)$ vérifie :
|
||||
\[
|
||||
\lim_{S\to0^-} \dot{S} >0 \text{ et }\lim_{S\to0^+} \dot{S}>0
|
||||
\]
|
||||
\subsection{Application à la commande par mode glissant}
|
||||
|
||||
On utilise la méthode suivante
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Choisir $S(x,t)$:
|
||||
Généralement $S(x,t)$ est obtneu par la porusuite asymptotique de $y$ (sortie du système) vers $y_c$, en choisissant une dynamique de poursuite linéaire. Alors on pose :$\epsilon(t)= y_c(t) -y(t)$ erreur de poursuite. et on a:
|
||||
\[
|
||||
S(x,t) = \epsilon^{(m)}(t)+\beta_{m-1}\epsilon^{(m-1)}(t)+ ... +\beta_1 \epsilon^{(1)}(t)+\beta_0 \epsilon(t)
|
||||
\]
|
||||
Avec $\beta_i$ tel que $p^m+\beta_{m_1}p^{m-1}+ ... \beta_0$ est un polynome d'hurwitz\footnote{Racine à partie Réelle négatives}.
|
||||
Généralement on prend :
|
||||
\[
|
||||
\left(
|
||||
\deriv[]{t}+\lambda
|
||||
\right)^m \epsilon(t)= 0 ,\lambda > 0
|
||||
\]
|
||||
\item Trouver $u_g$ qui réalise la logique $\sigma(x)$ tel que $u_g = W signe(S)$, avec $W> 0$. Ainsi on a :
|
||||
|
||||
\[
|
||||
u = u_{eq}+u_g \text{ avec } \dot{S} = 0 \text{ pour } u_{eq}
|
||||
\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection{Application au bouclage linéarisant}
|
||||
On pose $m= r-1$ (où $r$ est le degré relatif) Alors on a :
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
z_1 &= y = h(x) \\
|
||||
\dot{z_1} &= z_2 \\
|
||||
\dot{z_2} &= z_3 \\
|
||||
& \vdots \\
|
||||
\dot{z_r} &= v \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Avec
|
||||
\[
|
||||
u \frac{1}{L_gL_f^{r-1}}\left(
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||||
-L_f^r h(x)+\underbrace{y_c^{(r)}+\dot{S}+W.sgn(S)}_{v}
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\right)
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\]
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Soit
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\[
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v = y^{(r)}+\dot{S} + W sgn(S)
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\]
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À cette forme on rajoute une perturbation ( du au erreur du modèle):
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\begin{align*}
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z_1 &= y = h(x) \\
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\dot{z_1} &= z_2 \\
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\dot{z_2} &= z_3 \\
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& \vdots \\
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\dot{z_r} &= y^{(r)} = v + \Delta \\
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\end{align*}
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Avec $|\Delta| < K $. Pour assurer la poursuite de trajectoire on veux $ y^{(r)}=y_c^{(r)}$ Ainsi: $\dot{S} = - W sgn(S) -\Delta$. On pose $W = K \alpha$.
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\begin{itemize}
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\item Si $S > 0 \implies \dot{S} < -K (\alpha-1) < 0 \implies S\dot{S} <0 $ avec $\alpha >1$.
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\item Si $S<0 \implies \dot{S} = W - \Delta > K(\alpha-1) >0 \implies S\dot{S} > 0 $
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\end{itemize}
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On a le mode de glissement avec $u_g = W sgn(S) $. C'est pour cette raison qu'on prend $W_{sat} =
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\begin{cases}
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+U_{max}\\
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-U_{max}
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\end{cases}
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$
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\subsection{Commande par mode glissant - Récapitulatif}
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On fabrique la commande suivante pour rejeter les pertubations:
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\[
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u = u_{eq} + u_g
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\]
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où :
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\begin{itemize}
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\item $u_{eq}$ est la commande sans pertubation ni incertitude sur le modèle.
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\item $u_g = W sgn(S)$ la fréquence de variation de $u_g$ doit être très grande devant la dynamique de la poursuite.
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\end{itemize}
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Le problème de la discontinuité de $u$ dans les excitation des dynamiques du système. La solution est de réalisée la loi de commande sur $w= \dot{u}$, $u$ devient une variable d'état d'un\emph{ modèle augmenté}.
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Sur le nouveau modèle on applique le mode glissant sur $w = w_{eq}+ w_g$
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\end{document}
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%%%Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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@ -40,6 +40,9 @@
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\subfile{chap7.tex}
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\chapter{Commande hiérarchisée}
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\subfile{chap8.tex}
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\chapter{Rejet de pertubation et commande Robuste}
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\subfile{chap9.tex}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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