cours du 18/02

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex

@@ -66,7 +66,7 @@ Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
 La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
 \end{rem}
 
-\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
+\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol]
 \[
   \begin{cases}
 \dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
@@ -81,18 +81,17 @@ Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numé
 
 %\img{0.3}{3/2.png}
 
-$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
+$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
+\[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]
 
-Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
+\end{exemple}
-$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon $
 
-\end{example}
+\begin{exemple}[Pendule sans frottement]
-
-\begin{example}[Pendule sans frottement]
 L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
 
-Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(0,s_0))|| < \epsilon$
+Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists \epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon
-\end{example}
+\]
+\end{exemple}
 
 \subsection{Stabilité uniforme}
 \begin{defin}
@@ -101,7 +100,7 @@ Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément st
 
 
 \begin{defin}
-On définit les classes suivantes :
+On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
 \begin{enumerate}
 \item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
 
@@ -115,14 +114,14 @@ Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \
 \end{enumerate}
 \end{defin}
 
-\begin{example}
+\begin{exemple}
-$\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
+$\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
 
-Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||\chi(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe)
+Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ \|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe)
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 \begin{prop}
-L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||\chi(t_0,x_0)||)\]
+L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\]
 \end{prop}
 
 \begin{proof}
@@ -132,32 +131,32 @@ Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ ex
 
 Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
 
-Si $||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
+Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
 
 Condition nécessaire.
 
-$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$
+$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$
 
 Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
 
 Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
 \begin{align*}
-||s_0|| \leq \delta & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon\\
+\|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\
-||s_0|| \leq \delta' & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
+\|s_0\| \leq \delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
 \end{align*}
 
-Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$ où $||s_0||=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(||s_0||)$
+Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$ où $\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(\|s_0\|)$
 
-Suivant Lyapunov, cela implique $||s|| \leq \epsilon \leq \alpha (||s_0||)$
+Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
 \end{proof}
 
 \section{Attractivité (convergence)}
 \begin{defin}
-$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$
+$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$
 
 %\img{0.5}{4/1.png}
 
-Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||\chi_t|| = 0$.
+Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \|\chi_t\| = 0$.
 
 On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
 \end{defin}
@@ -166,7 +165,7 @@ On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
 L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
 \begin{itemize}
 \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
-\item $||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \beta (||s_0||,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
+\item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta (\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
 \end{itemize}
 \end{prop}
 
@@ -174,7 +173,7 @@ L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
 L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
 \begin{itemize}
 \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
-\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \alpha ||s_0|| e^{-\lambda t}$
+\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda t}$
 \end{itemize}
 \end{prop}
 \begin{prop}[Stabilité locale et globale]
@@ -193,7 +192,7 @@ $V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
 \R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
 \end{cases}
 $ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
-\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{||x|| \rightarrow \infty} \infty$
+\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow \infty} \infty$
 \end{enumerate}
 \end{defin}
 
@@ -206,11 +205,11 @@ Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
 \end{thm}
 
 \begin{proof}
-Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$.
+Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.
 
-Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } ||x|| \leq r \}$
+Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } \|x\| \leq r \}$
 
-Soit $\alpha = \min_{||x|| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
+Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
 
 $0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
 
@@ -219,7 +218,7 @@ Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
 \Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
 \Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
 \Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
-\Rightarrow & ||x(t)|| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
+\Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
 \end{align*}
 
 (Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
@@ -227,14 +226,20 @@ Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
 $\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
 \end{proof}
 
-\begin{thm}[Stabilité asymptotique]
+\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov]
 Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
 \[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{ où } Q(x) \text{ est définie positive } \]
 
 Alors l'origine est asymptotiquement stable.
 \end{thm}
 
-\begin{example}
+
+\begin{rem}
+  $Q(x)$ dépend de toutes les variables d'état. Sinon la convergence asymptotique n'est vérifié que pour certaine direction.
+\end{rem}
+
+
+\begin{exemple}[Cas linéaire]
 
 $\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
 
@@ -247,30 +252,31 @@ On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
 & = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
 \end{align*}
 
-Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$.
+\emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$}.
 
 $\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
 
 On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.
 
-\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = [e^{A^Tt}Qe^{At}]_0^{\infty}\]
+\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = \left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]
 
-Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \rightarrow_{t\rightarrow \infty} 0$
+Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$
 
 \[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
 
 Pour le système linéaire
 \[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
 $\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
-\end{example}
+
+\end{exemple}
 
 \begin{thm}[Stabilité exponentielle]
 Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
 \begin{enumerate}
 \item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
-\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha ||x||^c \leq V(x) \leq \beta ||x||^c\]
+\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha \|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\]
 \item $\exists \gamma > 0$ tel que
-\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma ||x||^c \]
+\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
 \end{enumerate}
 Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
 \end{thm}
@@ -280,17 +286,26 @@ $\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$
 
 si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
 \begin{align*}
-V(x(0)) & \leq \beta ||x(0)||^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha ||x(t)||^c \\
+V(x(0)) & \leq \beta \|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
 V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
-\beta||x(0)||^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow ||x(t)|| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}||x(0)||e^{-\frac{\gamma}{c}t}
+\beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t}
 \end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{example}
+\begin{corol}
-
+  Le syst linéaire est aussi exponentiellement stable:
-Soit le système NL
+  \[
-
+    V = x^T P x \implies \alpha \|x\| \le V(x) \le \beta \|x\|^c
+  \]
+  Avec $\alpha$ plus petite valeur propre de $P$ et $\beta$ plus grande valeur propre de $P$.
+\end{corol}
+si on a la stabilité asymptotique
 \[
+  \dot{V}=x^T(A^TP+PA)x
+  x^T R x \le -\gamma V
+  x^T R x \le -\gamma \|x\|^2
+\]
+\begin{exemple}
   \begin{cases}
 \dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
 \end{cases}
@@ -306,16 +321,16 @@ L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
 
 Est-il exponentiellement stable ?
 
-\[ \alpha ||x(t)||^c \leq V(x(t)) \leq \beta ||x(t)||^c \]
+\[ \alpha \|x(t)\|^c \leq V(x(t)) \leq \beta \|x(t)\|^c \]
 
 $\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
 
 \[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]
 
-Pour $\D = \{ ||x|| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
+Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
 
 Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
 
@@ -325,21 +340,21 @@ Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, diff
 \[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
  alors l'origine est instable.
 \end{thm}
-
+Le système accumule de l'énergie et deviens instable
 \begin{proof}
-Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $||x_0|| \leq \delta$ et $||x|| \geq \epsilon$\\
+Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $\|x_0\| \leq \delta$ et $\|x\| \geq \epsilon$\\
 
 $\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
-$B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ ||x|| \leq r \}$ est compact.\\
+$B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ \|x\| \leq r \}$ est compact.\\
 On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
 $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
 \begin{align*}
 \Rightarrow & V(x) > \alpha\\
 \Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
 \Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
-\Rightarrow & ||x||> r
+\Rightarrow & \|x\|> r
 \end{align*}
-Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $||x|| \geq \epsilon > r$
+Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
 \end{proof}
 
 \begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
@@ -349,7 +364,7 @@ Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.
 Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
 \end{thm}
 
-\begin{example}
+\begin{exemple}
 Soit le système :
 \[
   \begin{cases}
@@ -371,7 +386,7 @@ S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
 \Rightarrow & S = \{0\}\\
 \Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
 \end{align*}
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 \begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
 Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.
@@ -380,7 +395,7 @@ Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \long
 \end{thm}
 
 
-\begin{example}[Barbashin]
+\begin{exemple}[Barbashin]
 Soit le système \[
   \begin{cases}
 \dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
@@ -415,9 +430,9 @@ $\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$
 $\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$
 
 Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
-\end{example}
+\end{exemple}
 
-\begin{example}[Invariance de La Salle]
+\begin{exemple}[Invariance de La Salle]
 Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.
 
 $u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
@@ -442,7 +457,7 @@ $V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
 $E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur
 
 Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 \section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
 
@@ -450,7 +465,7 @@ Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc
 Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
 
 L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
-\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } || S(t_0,x_0) || \leq \delta \Rightarrow || S(t,S(t_0,x_0)) || \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
+\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
 \end{defin}
 
 \begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
@@ -472,8 +487,8 @@ Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\
 
 Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
 \begin{itemize}
-\item $\alpha ||x||^c \leq V(t,x) \leq \beta ||x||^c$
+\item $\alpha \|x\|^c \leq V(t,x) \leq \beta \|x\|^c$
-\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma ||x||^c$
+\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma \|x\|^c$
 \end{itemize}
 
 Alors l'origine est exponentiellement stable.
@@ -485,7 +500,7 @@ Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
 
 Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
 
-\begin{example}[Système linéaire non stationnaire]
+\begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire]
 $\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
 
 Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$ où $P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
@@ -502,17 +517,17 @@ Stabilité asymptotique :
 \[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
 Équation de Lyapunov dynamique
 
-\[ \lambda_{min}(P(t)) ||x||^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) ||x||^{1=c} \]
+\[ \lambda_{min}(P(t)) \|x\|^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) \|x\|^{1=c} \]
 
 $\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
-\[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))||x|| \] stabilité exponentielle
+\[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))\|x\| \] stabilité exponentielle
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 \begin{rem}
 Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
 \end{rem}
 
-\begin{example}
+\begin{exemple}
 Soit le système non-linéaire
 \begin{align*}
 \dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
@@ -528,7 +543,7 @@ V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
 & = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
 & \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
 \end{align*}
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 \section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}
 
@@ -546,20 +561,20 @@ Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on an
 \begin{defin}
 Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :
 
-\[ ||x(t,x_0)|| \leq \alpha(||x_0||,t) + \gamma(||u||_{\infty})\]
+\[ \|x(t,x_0)\| \leq \alpha(\|x_0\|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty})\]
 
-où $||u||_{\infty} = \sup_{t\geq0}||u(t)|| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
+où $\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
 
 \end{defin}
 
 \begin{rem}
-\[ \lim_{t \to \infty} ||x(t,x_0)|| \leq \gamma (||u||_{\infty}) \]
+\[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]
 
 $\gamma$ gain asymptotique du système
 \end{rem}
 
 
-\begin{example}
+\begin{exemple}
 Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
 
 A Hurwitz implique que l'origine est stable.
@@ -568,12 +583,12 @@ Le système est-il SEE ?
 \[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]
 
 \begin{align*}
-||x(t,x_0)|| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}||x_0|| + \frac{1}{k} ||B||.||u||_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(||u||_{\infty}) \text{ où } k = -\lambda_{max}(A)
+\|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{ où } k = -\lambda_{max}(A)
 \end{align*}
 
-$||B|| = \sup_{||v||=1} ||Bv||$
+$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$
 SEE
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 
 \section{Attracteur}

433-Electronique_transmission_numerique/cours/chap2.tex

@@ -154,3 +154,8 @@ En fait,
 Le gabarit de filtre n'est pas forcement très satisfaisant. Pour faire mieux, on utilise des filtres numériques avec une conception de filtres par rapport à un cahier des charges donné et des calculs réalisés sur circuit numériques CMOS.
 
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End: