diff --git a/421-Controle_processus/Cours/Cours.dvi b/421-Controle_processus/Cours/Cours.dvi
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index 4675eb1..0000000
Binary files a/421-Controle_processus/Cours/Cours.dvi and /dev/null differ
diff --git a/421-Controle_processus/Cours/Cours.pdf b/421-Controle_processus/Cours/Cours.pdf
index 1def390..41701ce 100644
Binary files a/421-Controle_processus/Cours/Cours.pdf and b/421-Controle_processus/Cours/Cours.pdf differ
diff --git a/421-Controle_processus/TP2/TP2.bbl b/421-Controle_processus/TP2/TP2.bbl
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--- a/421-Controle_processus/TP2/TP2.blg
+++ /dev/null
@@ -1,48 +0,0 @@
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-> -- 0
-< -- 0
-+ -- 0
-- -- 0
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-
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-
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-
diff --git a/451-Signal_Image/Cours/estimateur.pdf b/451-Signal_Image/Cours/estimateur.pdf
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index 0000000..d9de67b
Binary files /dev/null and b/451-Signal_Image/Cours/estimateur.pdf differ
diff --git a/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex b/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex
new file mode 100644
index 0000000..43a9704
--- /dev/null
+++ b/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex
@@ -0,0 +1,507 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+
+\newcommand\gauss[2]{1/(#2*sqrt(2*pi))*exp(-((x-#1)^2)/(2*#2^2))} % Gauss function, parameters mu and sigma
+\begin{document}
+\section{Introduction}
+\paragraph{Objectif}: Présenter quelques élements  de la théorue de l'estimation statistique.
+\subsection{Problématique}
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+  \node[draw, ellipse] (P) at (0,0) {
+    \begin{tabular}{c}
+paramètres \\$\theta = \vect{\theta_1\\ \vdots\\\theta_n}$
+    \end{tabular}};
+  \node[draw, ellipse] (O) at (5,4) {
+    \begin{tabular}{c}
+      Observation \\
+      Y=$g(\theta)$
+    \end{tabular}};
+  \node[draw, ellipse] (E) at (10,0){
+    \begin{tabular}{c}
+      Estimée\\
+      $\hat{\theta} = h(y)$
+    \end{tabular}};
+  \draw[->,>=latex] (P) to[out=90, in = 180] (O);
+  \draw[->,>=latex] (O) to[out=0, in=90] node[near end,left]{
+    \begin{tabular}{c}
+      Information à priori\\
+      + Critère
+    \end{tabular}}
+      (E);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Méthode d'estimation classique}
+\end{figure}
+
+Le raisonnement se transpose alors sur la figure suivante:
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \draw[->,>=latex] (0,2) node{$\bullet$}node[right](theta){$\theta$} -- node[midway,left]{$\tilde{\theta}$}(-0.5,0) node{$\bullet$}node[right](hat){$\hat{\theta}$} ;
+    \node[draw,ellipse,fit= (theta) (hat)](par) {};
+    \node[below=5em] at (par) {\emph{Espace des paramètres}};
+    \node (y) at (5,2) {$\bullet$~$y$};
+    \node[draw,ellipse,minimum height=4cm,minimum width=2cm] (obs) at (5,1){};
+    \node[below=5em] at (obs){\emph{Espace des observations}};
+    \draw[->,>=latex] (theta) to[out=60, in=120] node[midway,above]{\emph{observation}} (y);
+    \draw[->,>=latex] (y) to[out=-120,in=30,bend left] node[midway,below=0.5em]{\emph{estimation}}(hat);
+
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Raisonnement en espace algébrique}
+\end{figure}
+
+
+On défini les index suivants:
+\begin{description}
+\item[m] nombre d'expérience réalisée (taille de $y$)
+\item[n] nombre de paramètres (taille de $\theta$)
+\end{description}
+\paragraph{Estimateurs statistiques}
+On observe une réalisation $y= g(\theta)$ où $\theta$ est une VA. et on détermine $\hat{\theta} = h(Y)$ estimée.
+
+\paragraph{Exemple}
+\subparagraph{Exemple 1}$\Theta$ tension constante.\\
+$y(t) = \theta +b(t)$. soit $y_i = \theta + b_i$\\
+On défini donc $Y$ et $\Theta$ VA  et on a $Y = A\Theta + B$ -> régression linéaire.
+\subparagraph{Exemple 2} filtre $RC$ $y(t) = (1-e^{-t/\tau})u(t)+b(t)$ , $\Theta=\tau$. modèle non linéaire, traité en TD.
+
+\subsection{Performance-Qualité d'une estimation}
+\begin{prop}[Grandeurs utiles]
+  \begin{itemize}
+  \item erreur d'estimation
+    \[
+      \tilde{\theta} = \hat{\theta}-\theta
+    \]
+  \item moment d'ordre 1:
+\[
+E_{Y|\Theta}[\tilde{\theta}]= E_{Y|\Theta}[\hat{\theta}]-\theta
+\]
+\item Biais moyen :
+  \[
+    E[\tilde{\theta}] = E_{Y\Theta}[\tilde{\theta}] = E[\hat{\theta}]-\theta
+  \]
+\item moment d'ordre 2:
+  \begin{itemize}
+  \item covariance de l'erreur d'estimation
+    \[
+      C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[(\tilde{\theta}-m_{\tilde{\theta}})(.)^T]
+    \]
+  \item Corrélation de l'erreur d'estimation
+    \[
+      \Gamma_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T]
+    \]
+  \item Puissance :(Estimateur Quadratique moyen)
+    \[
+      P_{\tilde{\theta}} = E[\| \tilde{\theta}\|^2] = tr(\Gamma_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}})
+    \]
+  \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+\subsection{Caractérisation des estimateurs}
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item Borne de Cramer Rao:
+    borne minimale du biais de variance (qui dépend de l'estimateur choisi)
+  \item Estimateur non biaisé: $E[\tilde{\theta}] = 0$
+  \item Estimateur efficace: Borne de Cramer-Rao atteinte.
+  \item Estimateur consistent: $E[\tilde{\theta}]\xrightarrow[N_{obs}\to\infty]{}0$ et $V[\tilde{\theta}]\xrightarrow[N_{obs}\to\infty]{}0$
+  \item Estimateur robuste:\\ Les performances de l'estimateur ne sont pas trop dégradé si on s'écarte un peu des hypothèses sous laquelle l'estimateur a été établi.
+  \item Complexité de l'estimateur:\\
+    sur l'o btention des connaissances et mise en oeuvre de l'estimateur.
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+\section{Théorie classique de l'estimation}
+\subsection{Estimateur des moindres carrés}
+\begin{defin}
+  Pour $Y$ une VA de moyenne $m_y =m_{Y|\theta}$ on défini le critère :
+  \[
+    J_{MC} = (Y-m_y)^TM(Y-m_y)
+  \]
+  Avec $M$ matrice symétrique définie positive
+  et alors:
+   \[
+\hat{\theta}_{MC} = \arg\min_{\theta} J_{MC}(Y,\theta)
+   \]
+\end{defin}
+
+\subsubsection{Condition nécessaire d'existance}
+
+Si  $J_{MC}(y,\theta)$ est dérivable et pas de contrainte sur $\theta$.
+\[
+  \left.\nabla_J(\theta)\right|_{\hat{\theta}_{MC}} = \derivp[J_{MC}]{\theta} = 0 \quad \text{ Gradien}
+\]
+
+Il faut ensuite vérifié que c'est un minimum absolu:
+
+\[
+ \nabla^2_{J}(\theta) = \derivp[{}^2J_{MC}]{\theta\partial\theta^T} > 0 \quad \text{Hessien}
+\]
+
+
+\paragraph{Application}  $Y = A\theta{} + B$, avec $B$ une VA.
+le critère des moindres carrés est alors :
+\[
+J_{MC} = (Y-A\theta-m_B)^TM (Y-A\theta-m_B)
+\]
+On a une forme quadratique  positive  car $A^TMA \geq0 $. (dans le cas $>0$  on a une CNS sur ce qui suit)
+\subparagraph{Méthode 1}
+\[
+  \left.\nabla_J(\theta)\right|_{\hat{\theta}_{MC}} = 0  = -2 A^TM(Y-A\theta-m_B)
+\]
+Donc
+\[
+A^TMA \theta = A^TM(Y-m_B)
+\]
+Soit \[
+  \boxed{\hat{\theta}_{MC} = \underbrace{(A^TMA)^{-1}AM}_{D}(Y-m_B)}
+\]
+On remarque que $DA = I_n$.
+\subparagraph{Méthode 2} Pour $A^TMA>0$.
+
+\[
+J_{MC} = \underbracket{(D(Y-m_B)-\Theta)^TA^TMA(D(Y-m_B)-\theta)}_ {J_1(Y,\theta)} + \underbracket{(Y-m_B)^T(M-D^TA^TMAD)(Y-m_B)}_{J_2(Y)}
+\]
+Alors $\nabla J_{MC} = 0  \implies J_1 = 0 \implies D(Y-m_B) = \hat{\theta}_{MC}$
+
+
+\subsubsection{Caractéristique de l'estimateur}
+\begin{itemize}
+\item Estimateur non biaisé
+
+  \begin{align*}
+    \tilde{\theta}_{MC} &=\hat{\Theta}-\theta\\
+                   &= D(Y-m_B)-\theta \\
+                   &= D(B-m_B)
+  \end{align*}
+Donc $E[\hat{\theta_{MC}}] = 0 $
+\item moment d'ordre 2 :
+  \[
+      C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[(\tilde{\theta}-m_{\tilde{\theta}})(.)^T] = D E[(B-m_B)(B-m_B)^T]D^T = D C_{BB}D^T
+    \]
+    \begin{itemize}
+    \item Cas MC ordinaire ($M=I_n$)
+      \[
+              C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = (A^TA)^{-1}A^TC_{BB}A(A^TA)^{-1}
+      \]
+    \item Cas MC pondéré ($M = C_{BB}^{-1}$)
+      \[
+        C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = (A^TC_{BB}^{-1}A)^{-1}
+      \]
+    \end{itemize}
+  \item Cas $\theta$ scalaire $Y_i = \theta +B_i$ donc :
+     \[
+       C_{BB} =
+       \begin{bmatrix}
+         \sigma_1^2 &  &0 \\
+         & \ddots &  \\
+         0 & & \sigma_m^2
+       \end{bmatrix} \text{ et }A = \vect{1\\ \vdots \\ 1}
+     \]
+     \begin{itemize}
+     \item Cas MCO : $A^TA = m $
+       \[
+         \hat{\theta_{MC}} =\frac{\Sigma(y_i-m_{bi})}{m} \quad \text{ et } \quad \sigma_{\tilde{\theta}}^2 = \frac{\Sigma\sigma_i^2}{m^2}
+       \]
+     \item cas MCP pour $M = C_{BB}^{-1} = diag(\sigma_1^{-2}, \dots, \sigma_m^{-2})$
+\[
+  A^TC_{BB}A  = \sum_{i=1}^m \frac{1}{\sigma_i^2} \quad \text{ donc } \quad \hat{\theta}_{MCP} = \frac{1}{\sum \frac{1}{\sigma_i^2}}\sum_{}^{}\frac{Y_i-mB_i}{\sigma_i^2}
+\]
+\begin{itemize}
+\item $\hat{\theta_{MCP}}$ défini un barycentre
+\item Pour $\sigma_i = \sigma$ on a $M=\sigma I \implies MCO =MCP $
+\end{itemize}
+
+\end{itemize}
+\item Comparaison MCO et MCP (avec $M = C_{BB}$)
+  \begin{align*}
+    \sigma_{MCO}^2 &\leq \sigma_{MCP}^2\\
+    \frac{1}{\sum\sigma_i^{-2}} & \leq \frac{1}{m^2}\sum\sigma_i^2\\
+    m ^2 &\leq \frac{1}{\sum\sigma_i^{-2}} \sum\sigma_i^2
+  \end{align*}
+
+\end{itemize}
+
+\subsection{Estimateur du maximum de vraisemblance}
+\begin{defin}
+On considère $f_{Y}(y)$ ddp de $y$ paramétrée par $\theta$. On a $f_{Y|\theta}(y) = V(Y,\theta)$. on pose également $L(Y,\theta) = \ln(V(Y,\theta))$.
+
+on défini alors:
+\[
+\hat{\theta}_{MV} = \arg\min f_{Y|\theta}(y) = \arg\min L(Y,\theta)
+\]
+\end{defin}
+
+GRAPHE
+
+\paragraph{Exemple} Modèle avec bruit additif gaussien.
+
+
+\begin{prop}
+  Dans le cas d'un brui Gaussien et pour $M = C_{BB}^{-1}$
+  \[
+    \hat{\theta}_{MCP}=\hat{\theta}_{MV}
+  \]
+
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque}
+L'estimateur de MV n'est pas nécessairement efficace mais si un estimateur sans biais existe et est efficace c'est celui-ci.
+
+Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des grands nombres)
+\section{Théorie générale de l'estimation}
+\subsection{Estimateur linéaire en moyenne quadratique (ELMQ)}
+
+\begin{defin}
+  Un ELMQ fourni une estimée de la forme
+  \[
+   \hat{\theta} = HY +C
+ \]
+  à partir de l'erreur quadratique moyenne $E[\|\tilde{\theta}\|^2] = E[\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T] =P_{\tilde{\theta}}$
+\end{defin}
+\paragraph{Concept} $H$ et $C$ tel que $P_{\tilde{\theta}}$ minimal.
+\[
+(1) \quad  \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{H} = 0 \quad\text{ et }\quad (2)\quad \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{C} = 0
+\]
+\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
+\item
+
+  \begin{prop}
+  \[
+    \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{H} =2E[HY+C-\theta] = 2E[\tilde{\theta}] = 0
+  \]
+    L'ELMQ est un estimateur non biaisé.
+  \end{prop}
+  et donc :
+  \begin{align*}
+    C &= -Hm_Y+m_\theta\\
+    \hat{\theta} &= H(Y-m_y)+m_\theta \\
+    \tilde{\theta} &= H(Y-m_y) - (\theta-m_\theta)
+  \end{align*}
+
+\item
+  \begin{prop}
+      \[
+    \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{C} =2E[(HY+C-\theta)Y^T] = 2E[\tilde{\theta}Y^T] = 0
+  \]
+  $\tilde{\theta} \perp Y $ quand la puissance est minimale, $\tilde{\theta}$ et $Y$ sont décorrélées, on a extrait toute l'information commune.
+  \end{prop}
+
+  De plus :
+  \begin{align*}
+    E[\tilde{\theta}Y^T]& =E[\tilde{\theta}(Y-m_Y)^T] \\
+                   &= E[(H(Y-m_Y)-\theta-m_\theta)(Y-m_y)^T]\\
+                   &= HC_{yy}-C_{\theta Y} = 0 \implies H = C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}
+  \end{align*}
+
+  on a donc
+  \[
+    \boxed{\hat{\theta}=C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}(Y-m_Y)+m_\theta}
+  \]
+
+  \paragraph{Remarque} L'ELMQ nécessite des connaissances du premier et du second ordre sur $\theta$ et $Y$.
+
+  \begin{prop}
+   \[
+     C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = C_{\theta\theta}-C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}C_{Y\theta}
+   \]
+   La corrélation entre $\theta$ et $Y$ permet de diminuer l'ELMQ.
+ \end{prop}
+\end{enumerate}
+
+
+\subsection{Estimateur Bayésiens}
+\subsubsection{Fonction coût/pénalité}
+\begin{defin}
+  On appelle fonction de coût ou fonction de pénalité une fonction qui mesure l'erreur entrainée par la prise de la valeur $\hat{\theta}$ pour $\theta$.
+  \[
+    C(\hat{\theta},\theta) \geq 0 \quad \text{ ou encore }\quad C(\tilde{\theta}) \ge 0
+  \]
+  On prendra le plus souvent une \og bonne \fg{} fonction (continue, paire , croissante ...)
+\end{defin}
+
+\paragraph{Exemple de coût}
+\begin{itemize}
+\item quadratique
+\item Valeur absolue
+\item uniforme
+\end{itemize}
+% Insert graphique
+
+\begin{defin}
+  On appelle estimateur bayésiens l'estimateur qui minimise le coût moyen :
+  \begin{align*}
+    E_{\theta,Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= \int_{\R^{m+n}}C(\hat{\theta},\theta)f_{\theta Y}(\theta,y)d\theta dy\\ &=\int_{\R^m}\left(\underbrace{\int_{\R^n}C(\hat{\theta},\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta}_{E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]}\right) f_{Y}(y)dy
+  \end{align*}
+On minimise donc $ E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]$ à coût conditionnel donné
+  \[
+    \hat{\theta}_{B} = \arg\min_{\hat{\theta}}E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]
+  \]
+\end{defin}
+
+\subsubsection{Estimateur du maximum a posteriori (MAP)}
+
+On considère un cout uniforme.
+\begin{defin}
+  En prenant:
+  \begin{align*}
+    E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= \int_{\R^m}(1-\Pi_{\Delta}(\tilde{\theta}))f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+    &= 1 - \int_{\hat{\theta}-\Delta/2}^{{\hat{\theta}+\Delta/2}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+      &\simeq 1- \Delta^nf_{\theta|Y=y}(\hat{\theta})
+  \end{align*}
+  Soit \[
+    \hat{\theta}_{MAP}=\arg\max_{\theta} f_{\theta|Y=y}(\theta)
+  \]
+\end{defin}
+
+\paragraph{Lien MAP-MV}
+
+on a  $f_{\theta|Y=y}(\theta) f_{Y}(y) = f_{\theta Y}(\theta,y)$. Avec $f_\theta(\theta) = C^{ste}$ quand $f_{\theta Y}(\theta,y)$ à une valeur significative (ie $C_{\theta\theta}$ grand / $\sigma_\theta$  grand ) alors :
+ \[
+\arg\max f_{\theta|Y=y}(\theta) \simeq \arg\max f_{Y|\Theta=\theta}(y)
+ \]
+
+ On considère alors que $\theta$ est un paramètre  aléatoire mais très mal connu. (ddp uniforme sur un interval tres grand, peu d'infos sur $\theta$).
+
+\emph{cf. TD \og file d'attente\fg{}}
+
+\paragraph{Exemple et Application}
+
+On considère $\theta$ scalaire aléatoire avec: $Y_i = \theta +B_i$ Avec :
+
+$
+\begin{cases}
+B \hookrightarrow  \mathcal{N}(0,C_{BB})\\
+\Theta \hookrightarrow\mathcal{N}(m_\theta,\sigma_\theta^2) \\
+B \perp \Theta
+\end{cases}$
+
+\subparagraph{Rappel} MC=MV avec:
+$\begin{cases}
+m_B=0\\
+\hat{\theta}_{MV} =\hat{\theta}_{MC} = \frac{\sum_{i=1}^{m}Y_i}{m}\\
+
+E[\hat{\theta}_{MV}] = E[\theta]=m_\theta \text{ et } \sigma_{\tilde{\theta}_{MV}}=\frac{\sigma_B}{m}\\
+\end{cases}$
+
+On a donc:
+\[
+  f_{Y|\theta}(y)=f_{B}(Y-A\theta) = \prod_{i=1}^{m}f_{B_i}(Y_i-\theta) = C_1 \exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\sum(Y_i-\theta)^2}{\sigma_B^2}\right)
+\]
+Or
+\[
+  f_{\theta|Y=y}(\theta) = \frac{f_{Y|\theta}(y)f_\theta(\theta)}{f_Y(y)} = C_2 \exp\left(-\frac{1}{2}\underbrace{\left[\frac{\sum(Y_i-\theta)^2}{\sigma_B^2}+\frac{(\theta-m_\theta)^2}{\sigma_\theta^2}\right]}_{J_{MAP}}\right)
+\]
+Le critère est ici une forme quadratique, donc :
+
+\[
+  \hat{\theta}_{MAP} = \arg\max f_{\theta|Y=y}(\theta)  = \arg\min J_{MAP}(\theta,Y)
+\]
+Alors on a la CNS :
+\[
+\deriv[J_{MAP}]{\theta} = 0 = 2 \left[ -\sum_{i=1}^{m}\frac{Y_i-\theta}{\sigma_b^2}+\frac{(\theta-m_\theta)^2}{\sigma_\theta^2}\right]
+\]
+Soit une expression barycentrique :
+\[
+  \hat{\theta}_{MAP} = \frac{\frac{m}{\sigma_B^2}\sum_{}^{}\frac{Y_i}{m}+\frac{m_\theta}{\sigma_\theta^2}}{\frac{m}{\sigma_B^2}+\frac{1}{\sigma_\theta^2}}
+\]
+Donc :
+\begin{prop}
+\[
+E[\hat{\theta}_{MAP}]  = m_\theta
+\]
+L'estimateur est non biaisé. De plus :
+\[
+  \sigma_{\tilde{\theta}_{MAP}}^2= \frac{1}{\frac{1}{\sigma_{MV}}+\frac{1}{\sigma_\theta^2}} <
+  \begin{cases}
+    \sigma_\theta^2 \\
+    \sigma_{MV}^2
+  \end{cases}
+\]
+On a fait mieux en prenant en compte toutes les sources d'informations.
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque}
+\begin{itemize}
+\item Si $\sigma_\theta>>\sigma_{MV}$ alors $\hat{\theta}_{MAP}\simeq \hat{\theta}_{MV}$ (ce qui arrive pour $\sigma_B$ ou $m$ grand)
+\item Si $\sigma_\theta<<\sigma_{MV}$ et $\hat{\theta}_{MAP} \simeq m_\theta$ (l'obersavation apporte peu d'info)
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Estimateur en moyenne quadratique (EQM)}
+
+\begin{defin}
+  On le cout moyen de l'EQM:
+  \[
+    C(\hat{\theta},\theta) = (\hat{\theta}-\theta)^T M (\hat{\theta}-\theta)
+  \]
+  Avec $M>0$.
+  On cherche a minimiser le cout moyen mais sans contrainte de linéarité avec une matrice de pondération qui peux prendre en compte des facteurs d'echelles ou des unités différentes.
+\end{defin}
+
+
+\paragraph{Etude de l'estimateur} On veut minimiser $E_{\Theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]$
+\begin{align*}
+  \nabla_{\hat{\theta}}E_{\Theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= 0 \\
+  E_{\theta|Y}[2M(\hat{\theta}-\theta)] &= 0 \\
+  2M E_{\theta|Y}[\underbracket{\hat{\theta}}_{h(y)}]-E_{\theta|Y}[\theta]&=0 \\
+  2M(\hat{\theta}-E_{\theta|Y}[\theta]) &= 0 \\
+  \Aboxed{ \hat{\theta}_{MQ} &=E_{\theta|Y}[\theta]} \\
+                          &= \int_{\R^n}\theta f_{\theta|y}(\theta)d\theta = h(Y=y)
+\end{align*}
+
+Par conséquent: $E[\hat{\theta}_{MQ}]=E[\theta]$. on a un estimateur non biaisé.
+\paragraph{Remarque}
+Si $f_{\theta|Y}$ possède un axe de symétrie (ex: gaussienne) :
+
+
+FIGURE . ($\hat{\theta}_{MQ}=\hat{\theta}_{MAP}$ dans le cas gaussien. Différent avec deux bosses.)
+
+
+Dans le cas général la contrainte de linéarité pour l'ELMQ conduit à une valeur plus grande qu'avec l'EQM. Dans le cas gaussien: $\hat{\theta}_{ELMQ}=\hat{\theta}_{MQ}$, mais $\hat{\theta}_{MQ}$ nécessite plus de connaissance (ddp).
+
+\subsubsection{Estimateur en valeur absolu}
+
+\begin{defin}
+  on s'interesse au cas $n=1$ (un paramètre)
+  On choisit le cout moyen :
+  \[
+    C(\hat{\theta},\theta) = |\hat{\theta}-\theta|
+  \]
+  Alors :
+  \[
+    E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] = \int_{-\infty}^{\hat{\theta}}(\hat{\theta}-\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta-\int_{\hat{\theta}}^{+\infty}(\hat{\theta}-\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+  \]
+\end{defin}
+
+Donc :
+\begin{align*}
+  0 =&  \nabla_{\hat{\theta}}E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] \\
+     =& \dots \\
+     =&\int_{-\infty}^{\hat{\theta}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta-\int_{\hat{\theta}}^{+\infty}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+\end{align*}
+
+\begin{prop}
+  L'estimée est alors $\hat{\theta}_{VA}$ tel que :
+  \[
+    \int_{-\infty}^{\hat{\theta}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta = \int_{\hat{\theta}}^{+\infty}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+  \]
+  On parle de médiane a posteriori. Le résultat se généralise pour tout $n$.
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque} Dans le cas où $f_{\theta|Y=y}(\theta)$ possède un axe de symétrie (ex gaussienne) on a :
+\[
+  \hat{\theta}_{VA} =\hat{\theta}_{MV} \equals^{\stackrel{\max}{\downarrow}} \hat{\theta}_{MAP}
+\]
+
+\paragraph{Exemple} Localisation d'un véhicule / Ellipsoïde de confiance (cf poly).
+\section{Conclusion}
+\begin{itemize}
+\item L'estimateur statistique dépend des connaissances a priori, de la complexité des calculs et de la robustesse attendue.
+\item Dans certains cas particuliers/ limites on retrouve des estimateurs intuitifs /empirique.
+\item La loi normale joue un rôle important (hypothèses qui se justifie par la loi des grands nombres): les calculs sont simplifiés et conduisent au même résultat.
+
+\end{itemize}
+
+
+
+\end{document}
diff --git a/451-Signal_Image/Cours/filtrage.pdf b/451-Signal_Image/Cours/filtrage.pdf
new file mode 100644
index 0000000..08dab8d
Binary files /dev/null and b/451-Signal_Image/Cours/filtrage.pdf differ
diff --git a/451-Signal_Image/Cours/filtrage.tex b/451-Signal_Image/Cours/filtrage.tex
new file mode 100644
index 0000000..692707c
--- /dev/null
+++ b/451-Signal_Image/Cours/filtrage.tex
@@ -0,0 +1,166 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+
+\begin{document}
+
+\section{Formule des moments et des interférences}
+On considère les filtres:
+{\huge
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$e$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{FL}$};
+    \node (s) at (4,0) {$s$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}}
+
+On s'interesse aux filtre linéaires:
+
+\begin{defin}
+    \begin{itemize}
+    \item Un fltre linéaire conservent la linéarité des systèmes auxquels il est appliqué.
+    \item  Il est temps-invariant.
+    \item et stationnaire.
+    \end{itemize}
+    On peux caractériser un filtre linéaire par:
+    \begin{itemize}
+    \item sa réponse impulsionnelle $h$
+    \item sa réponse fréquentielle $H= TF[h]$
+    \item sa fonction de transfert $H_{II}$.
+    \end{itemize}
+\end{defin}
+
+\begin{prop}[Moyenne]
+  \[
+m_s = H(0) m_e
+  \]
+\end{prop}
+
+Pour deux filtres on a :
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$e_1$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_1$};
+    \node (s) at (4,0) {$s_1$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}\\[1.5em]
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$e_2$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_2$};
+    \node (s) at (4,0) {$s_2$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{prop}[Formule des interférences]
+
+  \[
+\Gamma_{s_1,s_2}(f)=H_1(f)\cdot H_2(f)^*\cdot \Gamma_{e_1,e_2}(f)
+  \]
+\end{prop}
+\section{Application}
+\subsection{Blanchiement d'un signal}
+
+Pour générer un bruit blanc $s(t)$ on veux  :
+\[
+  \Gamma_0 = |H(f)|^2\Gamma_{ee}(f)\implies |H(f)|^2 = \frac{\Gamma_0}{\Gamma_{ee}(f)}
+\]
+
+
+\subsection{Identification d'un filtre linéaire}
+
+On applique en entrée un bruit blanc tel que $\Gamma_{ee}(f)=\Gamma_0$.
+Alors:
+\[
+  \Gamma_{se}=H(f)\Gamma_e(f) \implies H(f)=\frac{\Gamma_{se}(f)}{\Gamma_0} \propto \text{intercorrélation entrée sortie}
+\]
+
+
+\subsection{Signaux ARMA}
+
+On peux utilise un Filtre Linéaire (FL) pour définir un Signal Aléatoire.
+(SA).
+Le SA sera la sortie d'un filtre dynamique (Fonction de transfert rationnel ,stable ,causal) excité par un bruit blanc.
+
+
+\subsubsection{AR : autoregressif}
+
+
+\[
+  \boxed{
+    H_{II}(z) = \frac{1}{D(z)}=\frac{1}{1-\sum_{i=1}^qa_iz^{-i}}
+  }
+\]
+Alors on aura en sortie du filtre:
+\[
+  s_k= e_k + \sum_{i=1}^qa_is_{k-i}
+\]
+
+on parle aussi de filtre \og tout pôle\fg{}
+
+\subsubsection{MA : Moyenne ajustée}
+
+\[
+  \boxed{
+    H_{II}(z) = N(z)= 1+\sum_{i=1}^qb_iz^{-i}
+  }
+\]
+
+Alors on aura en sortie du filtre:
+\[
+  s_k= e_k + \sum_{i=1}^qb_ie_{k-i}
+\]
+
+
+\subsubsection{ARMA}
+
+\[
+H_{II}(z) = \frac{N(z)}{D(z)}
+\]
+
+On connait alors $\Gamma_{ss}$ et le modèle AR. (Équation de Yule WAlker, cf TP2)
+\subsection{Signaux AR : illustration}
+
+
+pour une entrée en bruit blanc , les poles proches du cercle unités sont dominant
+(approche géométrique , joli dessin)
+
+
+
+\subsection{Filtre Adapté (FA)}
+
+\paragraph{Contexte} Problème de transmission numérique (tout ou rien) d'un signal déterministe, connu avec bruit additif.
+\paragraph{Objectif} déterminer le meilleur traitement linéaire pour décider de la présence ou  non d'un signal.
+
+Exemple en TD
+\paragraph{Méthode} :Maximiser le RSB à l'instant de décision : avec $|s_{n_0}^f|^2$ puissance instantanée à l'instant de décision.
+\[
+  \boxed{
+    \frac{|s_{n_0}^f|^2}{E[|b_n^f|^2]}
+  }
+\]
+\begin{prop}[Application au bruit blanc]
+  \begin{align*}
+    E[|b_n^f|^2] &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2\Gamma_{bb}(f)df = \Gamma_0\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \\
+|S_{n_0}^f|^2 &=  \left| \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2 S(f) e^{j2\pi n_0f}df\right| \leq \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |S(f)|^2df
+  \end{align*}
+
+  On a égalité si $H(f)\propto S^{*}(f)e^{-j2\pi n_0f} \iff h_n \propto s_{n_0-n}^f$
+
+LA RI du filtre est donc
+  \begin{itemize}
+  \item un retour temporel
+  \item translaté autour de l'instant de décision (attention a la causalité)
+  \item conjugué.
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+
+
+\paragraph{Remarque}
+\begin{itemize}
+\item Le FA peut être non causal, la RI est alors tronqué et le filtre
+  sous-optimal.
+\item Le FA est un corrélateur (d'énergie), l'objectif n'est pas de restituer le signal utile mais d'avoir le meilleur RSB à l'instant de décision.
+\end{itemize}
+
+\end{document}
diff --git a/451-Signal_Image/Cours/main.pdf b/451-Signal_Image/Cours/main.pdf
new file mode 100644
index 0000000..1b2c8cf
Binary files /dev/null and b/451-Signal_Image/Cours/main.pdf differ
diff --git a/451-Signal_Image/Cours/main.tex b/451-Signal_Image/Cours/main.tex
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/451-Signal_Image/Cours/main.tex
@@ -0,0 +1,52 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,french]{book}
+% Packages
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+	colorlinks = true,
+	linkcolor=.,
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+% Mise en page
+\title{451 - Signal et Image}
+\setcounter{secnumdepth}{3}
+\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+\chapter{Chapitre 1}
+\chapter{Chapitre 2}
+\chapter{Filtrage des Signaux Aléatoires}
+\subfile{filtrage.tex}
+
+\chapter{Estimation}
+
+\subfile{estimateur.tex}
+
+
+
+\end{document}