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453-Traitement_Image/Cours/chap1.tex

@@ -2,10 +2,16 @@
 \begin{document}
 \section{Introduction}
 \subsection{Domaines d'applications}
-Refaire le graphe stylé en TikZ
+% Refaire le graphe stylé en TikZ
 
 % \begin{figure}[H]
 %   \centering
+%   \definecolor{phy}{RGB}{153,132,30}
+%   \definecolor{algo}{RGB}{143,139,72}
+%   \definecolor{appstat}{RGB}{128,0,0}
+%   \definecolor{opti}{RGB}{30,132,153}
+%   \definecolor{vrob}{RGB}{102,102,255}
+
 %   \begin{tikzpicture}
 %     \tikzset{every node/.append style={scale=0.5}}
 %     \path[mindmap,concept color=green!50!black, text=white,
@@ -13,7 +19,7 @@ Refaire le graphe stylé en TikZ
 %     level 2/.append style={level distance=1.5cm}]
 
 %     node[concept](TI) at (0,0){Traitement D'image}
-%       child[grow = 90, concept color = green!75!black]{
+%       child[grow = 90, concept color = green!75!red]{
 %       node[concept](ImMed){Imagerie Médicale}[clockwise from = -60]
 %           child{node[concept](seg) {Segmentation}}
 %           child{node[concept](therapie){Therapie}}
@@ -22,7 +28,7 @@ Refaire le graphe stylé en TikZ
 %           child{node[concept](Recal){Recalage}}
 %           child{node[concept](Rec3D){Reconstruction 3D}}
 %         }
-%       child[grow = 0,level distance=5cm,  concept color = violet]{
+%       child[grow = 0,level distance=5cm,  concept color=vrob]{
 %       node[concept](VRob){Vision Robotique}
 %           child[grow=90]{node[concept](Carto) {Cartographie}}
 %           child[grow=0]{node[concept](Ass){Assistance}}
@@ -39,39 +45,38 @@ Refaire le graphe stylé en TikZ
 %           child[grow=180]{node[concept](prev) {Prévisions}}
 %           child[grow=90]{node[concept](Surv){Surveillance}}
 %         };
-%     \path[mindmap,concept color=brown!80!white!60!green, text=white]
+%     \path[mindmap,concept color=phy, text=white]
-%     node[concept](Phy) at (-6,4){Physique};
+%     node[concept](Phy) at (-8,4){Physique};
-%     \path[mindmap,concept color=blue!80!white!60!green, text=white]
+%     \path[mindmap,concept color=algo, text=white]
-%     node[concept](Algo) at (-6,-4){Algorithmique};
+%     node[concept](Algo) at (-8,-4){Algorithmique};
-%     \path[mindmap,concept color=brown!80!black, text=white]
+%     \path[mindmap,concept color=appstat, text=white]
-%     node[concept](AppStat) at (6,-4){Apprentissage Statistique};
+%     node[concept](AppStat) at (8,-4){Apprentissage Statistique};
-%     \path[mindmap,concept color=blue!80!white!60!green, text=white]
+%     \path[mindmap,concept color=opti, text=white]
-%     node[concept](Opti) at (6,4){Optimisation};
+%     node[concept](Opti) at (8,4){Optimisation};
 
 %     \begin{pgfonlayer}{background}
-%       \draw (Phy) to[circle connection bar] (ImSat);
+% \draw (Phy)  to[circle connection bar switch color=from (algo) to (violet)] (ImSat);
-%       \draw (Algo) to[circle connection bar] (ImMed);
+% \draw (Algo) to[circle connection bar switch color=from (algo) to (green!75!red)] (ImMed);
-%       \draw (Algo) to[circle connection bar] (Index);
+% \draw (Algo) to[circle connection bar switch color=from (algo) to (orange)] (Index);
-%       \draw (Phy) to[circle connection bar] (ImMed);
+% \draw (Phy)  to[circle connection bar switch color=from (phy) to (green!75!red)] (ImMed);
-%       \draw (Opti) to[circle connection bar] (ImMed);
+% \draw (Opti) to[circle connection bar switch color=from (opti) to (green!75!red)] (ImMed);
-%       \draw (Opti) to[circle connection bar] (VRob);
+% \draw (Opti) to[circle connection bar switch color=from (opti) to (vrob)] (VRob);
-%       \draw (AppStat) to[circle connection bar] (VRob);
+% \draw (AppStat) to[circle connection bar switch color=from (appstat) to (vrob)] (VRob);
-%       \draw (AppStat) to[circle connection bar] (Index);
+% \draw (AppStat) to[circle connection bar switch color=from (appstat) to (orange)] (Index);
 
-%       \draw (seg) to[circle connection bar] (ImSat);
+% \draw (seg)   to[circle connection bar switch color=from (green!75!red) to (violet)] (ImSat);
-%       \draw (Surv) to[circle connection bar] (VRob);
+% \draw (Surv)  to[circle connection bar switch color=from (violet) to (vrob)] (VRob);
-%       \draw (ImSat) to[circle connection bar] (Carto);
+% \draw (ImSat) to[circle connection bar switch color=from (violet) to (vrob)] (Carto);
-%       \draw (ImSat) to[circle connection bar] (reco);
+% \draw (ImSat) to[circle connection bar switch color=from (orange) to (violet)] (reco);
-%       \draw (reco) to[circle connection bar] (ImMed);
+% \draw (reco)  to[circle connection bar switch color=from (orange) to (green!75!red)] (ImMed);
-%       \draw (reco) to[circle connection bar] (ImSat);
+% \draw (reco)  to[circle connection bar switch color=from (orange) to (violet)] (ImSat);
 
 %     \end{pgfonlayer}
 %   \end{tikzpicture}
 %   \caption{Domaines et interface du Traitement d'image}
 % \end{figure}
-
+% \newpage
 \subsection{Définion}
-
 \begin{defin}
   \begin{itemize}
   \item   Une \emph{image} est une répresentaiton continue d'une fonction $f(x,y)$ qui relie $f$ à l'intensité lumineuse du point $(x,y)$.
@@ -85,12 +90,12 @@ Refaire le graphe stylé en TikZ
   \includegraphics[width=0.7\textwidth]{img/mona_lisa_echantillon.png}
   \caption{Echantillonage spatial}
 \end{figure}
+\newpage
 \begin{figure}[H]
   \centering
   \includegraphics[width=0.7\textwidth]{img/mona_lisa_quantif.png}
   \caption{Quantification}
 \end{figure}
-
 \subsection{Notation et structure}
 
 Pour accéder aux pixel d'une image:
@@ -666,13 +671,13 @@ la méthode d'Otsu est utilisée pour effectuer un seuillage automatique à part
 \begin{prop}
   On cherche le seuil $t$ tel que :
   \[
-    \arg\max \omega_1(t)\omega_2(t)[\mu_1(t)-\mu_2(t)]^2
+     t = \arg\max_{t} \omega_1(t)\omega_2(t)[\mu_1(t)-\mu_2(t)]^2
   \]
   Avec:
   \begin{itemize}
-  \item $\omega_1(t) = \sum_{i=0}^{t}H_n(i)$
+  \item $\omega_1(t) = \sum_{i=0}^{t}H_n(i)$ et $\omega_2(t)= \sum_{i=t+1}^{N-1}H_n(i)$
-  \item $\mu_1(t) = \frac{1}{\omega_1(t)}\sum_{i=0}^{t} i \cdot H_n(i)$.
+  \item $\mu_1(t) = \frac{1}{\omega_1(t)}\sum_{i=0}^{t} i \cdot H_n(i)$. et $\mu_2 =  \frac{1}{\omega_2(t)}\sum_{i=t+1}^{N-1} i \cdot H_n(i)$
-  \item idem pour $\omega_2$ et $\mu_2$.
+  \item .
   \end{itemize}
 \end{prop}
 \section{Estimation}
@@ -775,7 +780,6 @@ retourne meilleur_modèle, meilleur_ensemble_points, meilleure_erreur
 
 La segmentation consiste à regrouper les différents pixels de l'image en un nombre (donné) de région (peut aussi consister a une taille de région maximale, les deux, etc...). En pratique on réalise une partition de l'image
 
-
 \subsection{Segmentation par découpage}
 \begin{defin}
   L'idée des algorithmes de type « Split \& Merge » est de produire
@@ -789,6 +793,149 @@ La segmentation consiste à regrouper les différents pixels de l'image en un no
 \end{itemize}
 \end{defin}
 
+\paragraph{Phase de découpage}
+
+Lors de la phase de découpage on forme le quadtree et le graphe d'adjacence:
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{scope}
+      \draw (0,0) rectangle ++ (4,4);
+      \draw (2,0) --  ++ (0,4) (0,2) -- ++(4,0);
+      \draw (3,0) -- ++(0,2) (2,1) -- ++ (2,0);
+      \draw (1,1) node{$R_3$}
+      (1,3) node{$R_1$}
+      (3,3) node{$R_2$}
+      (2.5,1.5) node{$R_{41}$}
+      (3.5,1.5) node{$R_{42}$}
+      (2.5,0.5) node{$R_{43}$}
+      (3.5,0.5) node{$R_{44}$};
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[shift={(8,4)},
+      every node/.style = {shape=circle, draw}]
+      \node{$R_0$}
+      child{ node {$R_1$}}
+      child{ node {$R_2$}}
+      child{ node {$R_3$}}
+      child{ node {$R_4$}
+        child{ node {$R_{41}$}}
+        child{ node {$R_{42}$}}
+        child{ node {$R_{43}$}}
+        child{ node {$R_{44}$}}};
+    \end{scope}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Quadtree et graphe d'adjacence}
+\end{figure}
+\begin{rem}
+  L'algorithme de découpage est implantable très facilement de manière récursive
+\end{rem}
+
+
+\subsection{Segmentation par optimisation}
+\begin{prop}
+Cette fois ci on cherche à déterminier la fonction $f$ bidimensionnelle, constante par morceaux (une valeur , une région) proche
+de l’image I , avec une partition simple du point de vue géométrique. Pour cela on utilise la fonctionnelle de cout :
+\[
+  K = \sum_{i}^{} \iint_{R_i}(I(x,y)-f_i)\d x \d y + \mu \sum_{j}^{}\int_{\Gamma_j}^{}dl
+\]
+où $\Gamma_j$ sont les portions de contour entourant la région de la région
+\end{prop}
+
+\begin{rem}
+  Il n'existe pas de solution directe au problème de minimisation. Il y a deux techniques pour approcher la solution:
+  \begin{itemize}
+  \item méthodes variationnelles sur des courbes fermées
+  \item méthodes markoviennes par itération à partir d’une segmentation initiale
+  \end{itemize}
+\end{rem}
+\paragraph{méthode variationnelles}
+On utilise une fonction de cout $E = E_i+E_e$ tel que
+\begin{itemize}
+\item $  E_i = \int_{0}^{1}\alpha (C'(s))^2ds$ pénalise la longueur du contour (``snake'')
+\item $E_e = \int_{0}^{1}-\nabla I(x(s),y(s))ds$ favorise l'alignement sur les forts gradients.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Technique markoviennes}
+
+On teste les changements de pixel/sous-région  d'une région à une autre, et on prend le meilleur (ie qui minimise la fonctionnelle). Pour cela on part souvent d'une sur-segmentation.
+
+
+\section{La classification}
+\paragraph{Objectif}:
+\begin{itemize}
+\item Obtenir une représentation simplifiée mais pertinente des données originales
+\item Mettre en évidence les similiratité entre les objets.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Problématique de la visualisation des données}
+
+Il est difficile de se représenter la classification de manière ``brute'' au dela de 5 paramètres on peux utiliser l'analyse en composante principale (par réduction de la dimension) ou l'analyse linéaire discriminante.
+
+
+\subsection{Analyse en composantes principales}
+\begin{itemize}
+\item indispensable quand le nombre de variables est très grand
+\item analyse de la variabilité / dispersion des données
+\item objectif : décrire à partir de q < d dimensions cette variabilité
+\item réduction des données a q nouveaux descripteurs
+\item visualisation si q = 2 ou q = 3
+\item interprétation des données : liaisons inter-variables
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Algorithme}
+
+\begin{enumerate}
+\item recentrage des données $\vec{X} = (\vec{x}-\mu)^T$.
+\item Calcul de la matrice de covariance $\Sigma$.
+\item diagonalisation de $\Sigma$ et classement par valeur propres croissantes.
+\item sélection des $q$ premiers vecteurs propres $C_k$
+\item Calcul des valeur réduites $a_i$ qui remplacent $x_i$ par $a_{ik}= <x_i,C_k>$
+\end{enumerate}
+
+\begin{rem}
+  Le PCA ne prend pas en compte la notion de classe. on peux aussi utiliser l'analyse linéaire discriminante.
+\end{rem}
+\subsection{Analyse linéaire discriminante}
+
+\paragraph{Algorithme}
+\begin{enumerate}
+\item recentrage des données $\vec{X}=(\vec{x}-\mu)^T$
+\item Calcul de la matrice de covariance $\Sigma$.
+\item Calcul de la matrice de covariance interclasse $\vec{B}$.
+  \[
+    \vec{B} = \sum_{k=1}^{c}n_k\frac{(\mu_k-\mu)(\mu_k-\mu\rangle)^T}{n}
+  \]
+  où $k$ représente la classe
+\item diagonalisation de $\Sigma^{-1}\vec{B}$ et classement par valeur propres croissantes
+\item sélection des $q$ premiers vecteurs propres $C_k$.
+\item Calcul des valeurs réduites $\vec{a_i}$ qui remplacent $x_i$ par $a_{ik}=<x_i,C_k>$
+\item classification d'une nouvelle observation par la distatnce au centroïde le plus proche.
+\item classification linéaire : médiane entre les centroïdes.
+\end{enumerate}
+
+
+\subsection{Intégration de la connaissance}
+\subsection{Classification non supervisée - K-means}
+
+on cherche à déterminer des ``clusters''  dans les observations. En minimisant
+\[
+ \min_{\mu_1....\mu_k} \sum_{i=1}^{k}\sum_{x_j\in C_i}^{} (x_j-\mu_i)^2
+\]
+
+\paragraph{Fonctionnement}
+\begin{verbatim}
+choose mu_i , i in [1 k] // initialisation
+while (any mu_i changes){
+  assign all x_j to closest mu
+  update mu_i , i in [1 k]
+}
+\end{verbatim}
+À chaque itération la fonction objectif diminue. c'est rapide et parallèlisable.
+
+
+
+
 
 \end{document}