431 init

431-Electronique_transmission/README.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+ TP et TD rédigé en 2014/2015
+
+Le cours est un polycopié donné par le prof.

431-Electronique_transmission/TD1/TD1.tex

@@ -0,0 +1,132 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+\newcommand{\nomTD}{TD1 : L'amplificateur opérationnel}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+
+\begin{document}
+
+\section*{\nomTD}
+
+\subsection*{Exercice 1}
+Le but de ce TD est de valider les hypothèse $\mu \neq \infty$ et $R_e \neq \infty$ et $R_0=0$.\\
+On considère le montage suivant :\\
+\medbreak
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale = 1]
+  \draw[color=black]
+(1,1) node[op amp] (opamp) {}
+(opamp.+) node[left] {}
+(opamp.-) node[left] {}
+(opamp.out) node[right] {}
+(2,-1) to[open,v_>=$V_s$] (2,1)
+(-1,1.5)--(opamp.-)--(-0.5,1.5)--(-0.5,2.5)to[R, l=$R_2$,i<=$i_2$](2,2.5)--(2,1)
+(-1,0.5)--(opamp.+)
+(-1,0.5)--(-1,-.2)to[V,v^<=$V_e$](-1,-1.75) node[ground]{}
+(-1,1.5) to[R,i=$i_1$,l^=$R_1$] (-3,1.5)--(-3.5,1.5) node[ground]{}
+;
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\medbreak
+On a un montage amplificateur non inverseur idéal. Donc $V_+=V_-=V_e$. Et comme $i_1=i_2$ on a $\frac{V_s}{V_e}=1+\frac{R_2}{R_1} = G_v$ gain du montage. Si $R_1=R_2$ alors $G_v = 2$
+
+\paragraph{Étude de l'AO non idéal tel que : }$R_e \neq \infty$ et $\mu \neq \infty$.\\
+Le montage devient alors :\\
+\medbreak
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale = 1]
+  \draw[color=black]
+  	(1,1) node[op amp] (opamp) {}
+  	(opamp.+) node[left] {}
+  	(opamp.-) node[left] {}
+  	(opamp.out) node[right] {}
+  	(opamp.out) -- (3.5,1)
+  	(1,-2) node[ground]{} to[V_=$\mu \epsilon$] (1,0)--(1,1)--(opamp.out)
+  	(-1,1.5)--(opamp.-)--(-0.5,1.5)--(-0.5,2.5)to[R, l=$R_2$,i<=$i_2$](2,2.5)--(2,1)
+  	(-1,-0.2)--(-0.2,-0.2)--(opamp.+)
+  	(-1,1.5) to[R, l=$R_e$,i^<=$i_{0d}$] (-1,0)--(-1,-.2)to[V,v^<=$V_e$](-1,-2)node[ground]{}
+  	(-1,1.5) to[R,i=$i_1$,l^=$R_1$] (-3,1.5)--(-3.5,1.5) node[ground]{}
+  	(3.5,-2)to[open,v_>=$V_s$](3.5,1)
+;
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\medbreak
+La loi des noeuds en A donne : $i_1=i_2+i_{ed}$. Ceci nous donne donc :
+\begin{align*}
+& \frac{V_e-\epsilon}{R_1} = \frac{V_s +\epsilon - V_e}{R_2} + \frac{\epsilon}{R_e}\\
+& V_e(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}) =\frac{V_s}{R_2}+\epsilon(\frac{1}{R_e}+\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})\\
+& \text{or, } \epsilon =\frac{V_s}{\mu}\text{, d'où :}\\
+& {G'}_v = \frac{V_s}{V_e} = \frac{\mu.R_e(R_1+R_2)}{R_e(R_1\mu+R_1+R_2) + R_1R_2}
+\end{align*}
+
+Si on prend $R_1=R_2=1K\Omega$, $R_e=1M\Omega$ et ${G'}_v=1.9999$.\\
+En conclusion, l'influence de $\mu \neq \infty$ et $R_e \neq \infty$ est négligeable.
+
+\paragraph{Influence de la dépendance du gain à la fréquence} $R_e \rightarrow \infty$ et $u(p)=\frac{A_0}{1+\frac{p}{\omega_c}}$ avec $Z_0 = 10^6$ et $\frac{\omega_c}{2\pi}$.\\
+
+On a d'après le calcul précédent et $R_e \rightarrow \infty$:\\
+\begin{align*}
+{G''}_v &= \frac{\mu(R_1+R_2)}{R_1\mu+R_1+R_2}\\
+&=\frac{1}{\frac{R_1}{R_1+R_2}+\frac{1}{\mu}}\\
+&= \frac{1}{\beta+\frac{1}{\mu}} \text{\indent avec }\beta=\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{1}{G_v}\\
+&=\frac{1}{\beta(1+\frac{1}{\mu\beta})}
+\end{align*}
+
+\noindent L'erreur relative est $\delta = \frac{v^{ideal}_s-v_s}{v_s}$.\\
+Or, $\frac{v_e}{\beta}=G_v.v_e=v^{ideal}_s$\\
+donc, $v_s(1+\frac{1}{\mu\beta})=v^{ideal}_s$\\
+d'où, $\delta=\frac{1}{\mu\beta}$\\
+
+Mais que vaut ${G''}_v$ en fonction de p?\\
+\[{G''}_v = \frac{1}{\beta\frac{\beta\mu}{\beta\mu+1}} = \frac{\frac{A_0}{1+\frac{p}{\omega_0}}}{\beta\frac{A_0}{1+\frac{p}{\omega_0}}+1} = \frac{A_0}{\beta A_0+1+\frac{p}{\omega_0}}\]
+or, $\beta A_0 >> 1$ donc 
+\[{G''}_v \approx \frac{A_0}{A_0\beta+\frac{p}{\omega_0}}=\frac{1}{\beta}\frac{1}{1+\frac{p}{A_0\beta\omega_0}} \]
+
+Le gain statique du montage quand $\omega \rightarrow 0$ est $\frac{1}{\beta}=1+\frac{R_2}{R_1}$.
+
+La fréquence de coupure a -3db du montage est $A_0\beta f_0$.
+
+Le produit gain bande est $\frac{1}{\beta}*A_0\beta f_0$, donc plus le gain est élevé et plus la bande passante est faible.
+\bigbreak
+\paragraph{Impédance de sortie non nulle}
+On considère le montage suivant avec l'impédance de sortie $R_0$ non nulle :\\
+\medbreak
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale = 1]
+  \draw[color=black]
+(1,1) node[op amp] (opamp) {}
+(opamp.+) node[left] {}
+(opamp.-) node[left] {}
+(opamp.out) node[right] {}
+
+(opamp.out) to  [R, l =$R_0$] (3.5,1)
+(1,-2) node[ground]{} to[V_=$\mu \epsilon$] (1,0)--(1,1)--(opamp.out)
+(-1,1.5)--(opamp.-)--(-0.5,1.5)--(-0.5,2.5)to[R, l=$R_2$,i<=$i_2$](3.5,2.5)--(3.5,1)
+(-1,-0.2)--(-0.2,-0.2)--(opamp.+)
+(-1,1.5) to[R, l=$R_e$,i^<=$i_{0d}$] (-1,0)--(-1,-.2)to[V,v^<=$V_e$](-1,-2) node[ground]{}
+(-1,1.5) to[R,i=$i_1$,l^=$R_1$] (-3,1.5)--(-3.5,1.5) node[ground]{}
+(3.5,-2) node[ground]{} to[R,l=$R_L$,v_>=$V_s$](3.5,1)
+(2,-2)to[open,v_>=$V_s'$](2,1)
+;
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\medbreak
+Expressions de ${G'''}_v = \frac{V_s}{V_e}$\\
+On applique la loi des nœuds en B
+
+\begin{align*}
+& \frac{v_A-v_S}{R_2}+\frac{{v'}_s-v_S}{R_0} = \frac{v_S}{R_L}\\
+& \frac{v_A-v_S}{R_2}+\frac{{v'}_s-v_S}{R_0} = v_P(\frac{1}{R_L}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_0})\\
+\end{align*}
+or, ${v'}_p=\mu\epsilon$, $v_A=v_e-\epsilon$, et $v_A=\frac{R_1}{R_1+R_2}v_S$\\
+
+\begin{align*}
+& {v'}_p=\mu(v_e-\frac{R_1}{R_1+R_2}V_S)\\
+& \frac{R_1}{R_2(R_1+R_2)}V_S +\frac{\mu}{R_0}(v_e-\frac{R_1}{R_1+R_2})=v_S(\frac{1}{R_L}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_0})\\
+& \frac{\mu}{R_0}v_e = v_S(\frac{1}{R_L}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_0} + \frac{\mu R_1R_2-R_1R_0}{R_0R_2(R_1+R_2)}) \text{\indent or }uR_2>>R_0\\
+& {G'''}_v = \frac{V_s}{V_e} = \mu \frac{1}{\frac{R_0}{R_2}+\frac{R_0}{R_L}+\mu\beta}
+\end{align*}
+Remarque : si $R_0$ = 0 on retrouve $G_v=\frac{1}{\beta}$.
+
+Pour minimiser l'influence de $R_0$ sur le gain, il faut minimiser $\frac{R_0}{R_2}+\frac{R_0}{R_l}$ donc avoir $R_2 >> R_0$ et $R_L >> R_0$.
+
+
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TD2/TD2.tex

@@ -0,0 +1,146 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+\newcommand{\nomTD}{TD2 : Filtres actifs : synthèse et réalisation}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+
+\begin{document}
+
+\section*{\nomTD}
+
+
+\subsection*{Synthèse et réalisation d'un filtre passe-haut}
+
+\subsubsection*{Synthèse}
+On désire synthétiser un filtre passe-haut dont le gabarit est le suivant :
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=1]
+\draw [>=latex,->] (0,0) node[left]{0} -- (8,0) node[right]{$f$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,-3) -- (0,1) node[left]{$G_{dB}$};
+
+\draw [dashed] (0,-1) node[left]{$a=-3dB$} -- (6,-1) -- (6,0) node[above]{$f_p=10 kHz$};
+\draw (0,-2) node[left]{$b=-18dB$} -- (3,-2) -- (3,0) node[above]{$f_a = 4kHz$};
+\draw (8,-1) -- (6,-1) -- (6,-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Le gabarit du filtre passe-bas normalisé équivalent est le suivant, avec $f_{ref} = f_a$ et $k=f_a/f_p$* :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=1]
+\draw [>=latex,->] (0,0) node[left]{0} -- (8,0) node[right]{$f/f_{ref}$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,-3) -- (0,1) node[left]{$G_{dB}$};
+
+\draw [dashed] (0,-2) node[left]{$b=-18dB$} -- (3,-2) -- (3,0) node[above]{1};
+\draw [dashed] (3,-2) -- (6,-2);
+\draw (0,-1) node[left]{$a=-3dB$} -- (3,-1) -- (3,-3);
+\draw (6,0) node[above]{$1/k=2.5$} -- (6,-2) -- (8,-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\[\boxed{H^2(j\omega') = \frac{1}{1+\epsilon^2\omega'^{2n}}}\]
+\begin{itemize}
+\item Calcul de l'ordre $n$ du filtre
+\begin{multicols}{2}
+\begin{align*}
+a_{dB} & = 20 \log(H(j\omega'))|_{\omega'=1} \\
+& = 10 \log \frac{1}{1+\epsilon^2} \\
+10^{-\frac{a_{dB}}{10}} & = 1 + \epsilon^2 \\
+\epsilon & = \sqrt{10^{-\frac{a_{dB}}{10}}-1} \\
+\epsilon & = 1 \text{ pour } a_{dB} = -3 dB
+\end{align*}
+\begin{align*}
+b_{dB} & = 20 \log(H(j\omega'))|_{\omega'=1/k} \\
+& = 10 \log (\frac{1}{1+\epsilon^2k^{-2n}})\\
+10^{-\frac{b_{dB}}{10}} & = 1 + \epsilon^2 k^{-2n} \\
+k^{-2n} & = \frac{10^{-\frac{b_{dB}}{10}}-1}{\epsilon^2} \\
+n & = \frac{\ln (\frac{10^{-\frac{b_{dB}}{10}}-1}{\epsilon^2})}{2\ln(\frac{1}{k})} \\
+n & \approx 2.25 \text{ pour } b_{dB} = -18dB, k = 0.4
+\end{align*}
+\end{multicols}
+On choisit donc l'ordre du filtre : 
+\[ n=3 \]
+
+\item Calcul de la fonction de transfert normalisée $H_{PB}(s)$ du filtre passe-bas prototype, où $s = p/\omega_{ref}$.
+
+\begin{align*}
+H_{PB}(s) & = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2(-1)^ns^{2n}}} \\
+H_{PB}^2(s) & = \frac{1}{1-s^6} \text{ avec } n=3
+\end{align*}
+On détermine $H_{PB}$ à partir des racines du dénominateur de $H_{PB}^2$ dont on ne garde que celles à partie réelle strictement négative.
+
+\[1-s^6 = 0 \Leftrightarrow s = e^{j\frac{2k\pi}{6}} = e^{j\frac{k\pi}{3}}, k=0,..5 \]
+Les racines à partie réelle strictement négative sont $e^{j\frac{2\pi}{3}}, e^{j\pi}, e^{-j\frac{2\pi}{3}}$.
+
+\begin{align*}
+H_{PB}(s) & = \frac{1}{(s-e^{j\frac{2\pi}{3}})(s-e^{j\pi})(s-e^{-j\frac{2\pi}{3}})} \\
+& = \frac{1}{(s^2-s(e^{j\frac{2\pi}{3}}+e^{-j\frac{2\pi}{3}})+1)(s+1)} \\
+& = \frac{1}{(s^2-2s\cos(\frac{2\pi}{3})+1)(s+1)} \\
+H_{PB}(s) & = \frac{1}{(s^2+s+1)(s+1)}
+\end{align*}
+
+\item Pour retrouver la fonction de transfert normalisée $H(s)$ du filtre passe-haut, on applique la transformation $s \rightarrow \frac{1}{s}$ :
+\begin{align*}
+H(s) & = \frac{1}{(\frac{1}{s^2} + \frac{1}{s} +1)(\frac{1}{s}+1)} \\
+& = \frac{s^3}{(s^2 + s + 1)(s+1)} \\
+H(p) & = \frac{\frac{p}{2\pi f_a}}{1+\frac{p}{2\pi f_a}} \frac{(\frac{p}{2\pi f_a})^2}{(\frac{p}{2\pi f_a})^2+(\frac{p}{2\pi f_a})+1} \text{ avec } s = p/\omega_{ref} = \frac{p}{2\pi f_a}
+\end{align*}
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Réalisation}
+
+\begin{itemize}
+\item D'après la forme de $H(p)$ que l'on vient de déterminer, on va cascader un passe-haut d'ordre 1 avec un passe-haut d'ordre 2.
+
+\paragraph{Passe-haut d'ordre 1} On utilise un montage à amplificateur opérationnel (supposé parfait) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale = 1]
+  \draw[color=black]
+(1,1) node[op amp] (opamp) {}
+(opamp.+) node[left] {}
+(opamp.-) node[left] {}
+(opamp.out) node[right] {}
+(2,-1) to[open,v_>=$V_s$] (2,1)
+(-1,1.5)--(opamp.-)--(-0.5,1.5)--(-0.5,2.5)to[R, l=$R$](2,2.5)--(2,1)
+(-1,-1) node[ground]{} -- (-1,0.5) --(opamp.+)
+(-1,1.5) to[R,l^=$r$] (-3,1.5) to[C,l^=$C$] (-5,1.5)
+(-5,-1) to[open,v_>=$V_e$] (-5,1.5);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+L'AO étant supposé parfait, on a $V_+ = V_- = 0$ donc $\frac{V_e}{Z_{rC}} + \frac{V_S}{R} = 0$, d'où 
+\[ H_1(p) = -\frac{R}{Z_{rC}} = \frac{-R}{r+\frac{1}{Cp}} = -\frac{R}{r} \frac{rCp}{1+rCp} \]
+Il faut imposer $\frac{R}{r}=1$ et $\frac{1}{rC} = \omega_a$.
+
+Avec $C=1nF, f_1 = 4kHz$, on obtient $R = 39.8k\Omega = r$.
+
+\paragraph{Passe-haut d'ordre 2} On utilise un filtre de Sallen-Key dont la structure a été vue au TD1.
+
+\[ H_2(p) = A \frac{(\frac{p}{\omega_0})^2}{1+2m(\frac{p}{\omega_0})+(\frac{p}{\omega_0})^2} \text{ avec } \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} \text{ et } m = \frac{R_1(C_1+C_2) + R_1 C_2(1-K)}{2\sqrt{R_1R_2C_1C_2}} \]
+
+Il faut imposer $\omega_0 = \omega_a$ et $m=1/2$. On fixe $ C = C_1 = C_2 = 1nF$ et $R_1 = 30k\Omega$.
+
+\begin{align*}
+\omega_0 = \omega_a & \Rightarrow \frac{1}{C\sqrt{R_1R_2}} = 2\pi f_a\\
+& \Rightarrow R_2 = \frac{1}{4\pi^2f_a^2C^2R_1} \\
+& \Rightarrow R_2 = 52,7 k\Omega \\
+m = \frac{1}{2} & \Rightarrow  \frac{R_12C) + R_1 C(1-K)}{2}\omega_0 = \frac{1}{2} \\
+& \Rightarrow R_1(3C-KC)\omega_a = \frac{1}{2} \\
+& \Rightarrow K = 3 - \frac{1}{\omega_aR_1C} \\
+& \Rightarrow K = 1,67 
+\end{align*}
+
+Remarque : le réglage de $K$ peut se faire par exemple à l'aide d'une résistance $r_2$ variable.
+
+\item Les filtres actifs ont une grande impédance d'entrée et une faible impédance de sortie, ce qui permet de les cascader sans qu'ils aient d'influence les uns sur les autres. La fonction de transfert est alors le produit des fonctions de chacun des filtres.
+En revanche, ces filtres nécessitent d'être alimentés pour fonctionner.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Sensibilité}
+On calcule la sensibilité de $\omega_1$ par rapport au paramètre $C$ :
+\[S_C^{\omega_1} = \frac{\frac{d\omega_1}{\omega_1}}{\frac{dC}{C}} = \frac{d\omega_1}{dC}\frac{C}{\omega_1} = -\frac{1}{rC^2}\frac{C}{\omega_ 1} \]
+\[ S_C^{\omega_1}= - 1 \]
+
+De même pour le paramètre $r$ :
+\[ S_r^{\omega_1} = -1 \]
+
+Si $C$ (ou $r$) est connue avec une incertitude de $5\%$, alors l'incertitude engendrée sur $\omega_1$ sera de $5\%$. La précision de la valeur de ces composants est donc primordiale pour obtenir la fréquence $f_a$ désirée.
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TD3/TD3.tex

@@ -0,0 +1,194 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+\newcommand{\nomTD}{TD3 : Stabilité des systèmes linéaires}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+
+\begin{document}
+
+\section*{\nomTD}
+
+
+On considère un système d'entrée $e(t)$ et de sortie $s(t)$ régi par l'équation différentielle suivante :
+\[ \tau^2\frac{d^2s(t)}{dt^2} + \tau\frac{ds(t)}{dt} = -e(t), \text{ avec }
+\left\{
+\begin{array}{rl}
+s(0^+) = & 0 \\
+\frac{ds(t)}{dt} |_{0^+} = & 0 \\
+\tau > & 0
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+\subsection*{Généralités}
+\begin{itemize}
+\item Tout système défini par une équation différentielle à coefficients constants est linéaire.
+\item La relation entrée sortie est définie par \[ s(t) = (h*e)(t) \] où $h(t)$ est la réponse impulsionnelle du système, obtenue pour une entrée impulsionnelle $\delta(t)$.
+\item Pour $e(t) = \delta(t)$, on a donc :
+\[ \tau^2 \frac{d^2h}{dt^2} + \tau \frac{dh}{dt} = -\delta(t) \]
+\item \textit{Déf :} Un système est stable s'il retourne spontanément vers son état d'équilibre s'il en est écarté.
+Autrement dit, un système est stable si : 
+\begin{itemize}
+\item $\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)| dt$ converge
+\item $\lim_{t\rightarrow\infty} h(t) = 0$
+\end{itemize}
+\end{itemize}
+
+Le problème est qu'il n'est pas évident de savoir si le système est stable à partir de l'équation différentielle. C'est pour cela que l'on passe dans le domaine de Laplace, et non \textit{Attention, humour !} parce qu'il y a la place d'y passer.
+
+
+\subsection*{Stabilité}
+\begin{itemize}
+\item Dans le cas de signaux causaux, la définition de la transformée de Laplace unilatérale $X(p)$ d'un signal $x(t)$ est :
+\[ X(p) = \int_0^{\infty} x(t) e^{-pt} dt \]
+
+\item On cherche à exprimer $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$. Pour cela, on passe l'équation différentielle définissant le système dans le domaine de Laplace.
+\begin{align*}
+\tau^2 \frac{d^2h}{dt^2} + \tau \frac{dh}{dt} & = -et) \\
+\tau^2 (p^2 S(p) - \frac{ds(t)}{dt} |_{0^+}) + \tau (S(p)-s(0^+)) & = - E(p) \\
+\tau^2 p^2 S(p) + \tau S(p) & = - E(p)
+\end{align*}
+donc \[ H(p) = -\frac{1}{\tau p (\tau p +1)} \]
+
+\item Décomposition en éléments simples de $H(p)$
+\[ H(p = - \frac{1}{\tau p (\tau p +1)} = \frac{A}{\tau p} + \frac{B}{\tau p + 1} \]
+En multipliant par $\tau p$ et en évaluant en $p = 0$, on obtient $A = -1$.
+En multipliant pat $\tau p +1$ et en évaluant en $p=-1\tau$, on obtient $B = 1$.
+
+Ainsi, \[ H(p) = -\frac{1}{\tau p} + \frac{1}{\tau p + 1} \]
+\[ h(t) = (-\frac{1}{\tau} + \frac{1}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}})u(t) \]
+
+Le système n'est pas stable car $\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)|dt$ diverge. Après une excitation impulsionnelle, le système tend vers une position d'équilibre qui n'est pas la position de repos.
+
+\textit{Généralisation :} Le système est stable si tous les pôles de $H(p)$ sont à parties réelles strictement négatives. (Ici, les pôles sont $p_1 = 0$ et $p_2 = - \frac{1}{\tau}$. C'est $p_1$ qui est responsable de l'instabilité.)
+
+Pour expliciter cette condition, prenons par exemple $H(p) = \frac{N(p)}{D(p)}$ avec $D(p)$ un polynôme de degré 2. On note $\Delta$ son discriminant.
+Si $\Delta < 0$, alors les racines de $D(p)$ sont complexes conjuguées et on peut écrire \[\frac{1}{D(p)} = \frac{A_i}{p-(a \pm jb)}\]
+Or, $\frac{A_i}{p-p_i} = TL[A_i e^{p_it}]$ donc $TL^{-1}[\frac{1}{D(p)}] = A_ie^{at}e^{\pm jb}$.
+
+Le système est stable si $e^{at} \rightarrow_{t\rightarrow \infty} 0$, c'est-à-dire si $a < 0$, soit $Re(p_i) < 0$.
+\end{itemize}
+
+\subsection*{Effet du bouclage sur la stabilité}
+On envisage le bouclage du système linéaire défini précédemment par un gain $k$ réel.
+
+\begin{itemize}
+\item On a immédiatement la fonction de transfert en boucle fermée (formule de Black) :
+\begin{align*}
+G(p) & = \frac{H(p)}{1+kH(p)} \text{ avec } H(p) = -\frac{1}{\tau p (\tau p +1)} \\
+G(p) & = \frac{-1}{\tau p (\tau p + 1) - k} \\
+G(p) & = \frac{-1/\tau^2}{p^2 + p/\tau - k/\tau^2}
+\end{align*}
+
+\item Détermination des pôles de $G(p)$.
+\[D(p) = p^2 + p/\tau - k/\tau^2 \quad \text{donc} \quad \Delta = \frac{1+4k}{\tau^2}\]
+\begin{itemize}
+\item Cas $\Delta > 0$ i.e. $k>-\frac{1}{4}$ : les racines de $D(p)$ sont alors $p_{1,2} = \frac{-1/\tau \pm 1/\tau \sqrt{1+4k}}{2}$
+Si $1+4k \geq 1$ i.e. $k\geq0$, il existe une racine positive et une racine négative : le système est instable.
+Si $0 \leq 1+4k < 1$ i.e. $-\frac{1}{4} \leq k < 0$, alors les deux racines sont strictement négatives : le système est stable.
+\item Cas $\Delta < 0$ i.e. $k < -\frac{1}{4}$ : les racines de $D(p)$ sont $p_{1,2} = \frac{-1/\tau \pm 1/\tau j \sqrt{-(4k+1)}}{2}$.
+Les racines sont à partie réelle strictement négative donc le système est stable.
+\end{itemize}
+En conclusion,
+\begin{align*}
+k \geq 0 & \rightarrow \text{ instable} \\
+k < -\frac{1}{4} & \rightarrow \text{ stable}
+\end{align*} 
+
+Dans cet exemple, on rend le système stable par bouclage avec un gain $k<0$.
+\end{itemize}
+
+\medskip
+
+\noindent De manière générale, le bouclage peut avoir soit un effet stabilisant, soit un effet déstabilisant sur un système.
+
+\subsection*{Étude de la stabilité à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte}
+
+On considère toujours le même système bouclé. On étudie sa stabilité à partir du critère de Nyquist, lequel repose sur une étude géométrique de $T(p)$, fonction de transfert en boucle ouverte du système.
+
+On ne considèrera ici que le cas $k>0$.
+
+\[T(p) = \frac{-k}{\tau p(1+\tau p)}\]
+
+\textit{Rappel du critère de Nyquist}
+
+Il est basé sur la relation $\boxed{N=P-Z}$ où 
+\begin{itemize}
+\item $N$ : nombre de tours algébriques autour du point (-1,0) faits par le lieu de Nyquist de $T(p)$
+\item $P$ : nombre de pôles à $Re >0$ de $T(p)$
+\item $Z$ : nombre de zéros à $Re >0$ de $1+T(p)$
+\end{itemize}
+
+Un système est stable en boucle fermée si $Z=0$.\\
+
+\textit{Étapes de la démonstration}
+\begin{enumerate}
+\item On trace le Bode de $T(p)$ : $|T(p)| et Arg(T(p))$
+\item On trace le Nyquist (représentation de $T(p)$ dans le plan complexe)
+\item On compte $N$
+\item On détermine les pôles de $T(p)$ et on compte $P$ le nombre de pôles à $Re>0$ (compris dans le contour de Bromwich)
+\item On en déduit $Z=P-N$ et on conclut sur la stabilité. 
+\end{enumerate}
+
+\textit{Diagramme de Bode}\\
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (0,3) node[left]{$\phi(^o)$} ;
+\draw [>=latex,->] (-1,1) -- (6,1) node[right]{$\omega$};
+
+\draw [red] (0,2) node[left]{$90$} -- (3,2) -- (3,1) -- (6,1);
+
+\draw [>=latex,->] (0,4) -- (0,7) node[left]{$G_{dB}$} ;
+\draw [>=latex,->] (-1,5) -- (6,5) node[right]{$\omega$};
+
+\draw [red] (0,6.5) -- (3,5.5) -- (6,3.5);
+\draw [red,dashed] (3,5.5) -- (3,1) node[below]{$\frac{1}{\tau}$};
+\end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+\textit{Lieu de Nyquist}\\
+D'après le diagramme de Bode :
+\begin{itemize}
+\item quand $\omega \rightarrow 0^+$, $|T(j\omega)| \rightarrow \infty$ et $\phi \rightarrow \pi/2$
+\item $0^+ < \omega < \infty$, $|T(j\omega)| \searrow$ et $\phi \searrow \pi/2$
+\item quand $\omega \rightarrow \infty$, $|T(j\omega)| \rightarrow 0$ et $\phi \rightarrow 0$
+\end{itemize}
+
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw 
+(0,-4) -- (0,4)
+(-2,0) -- (4,0)
+;
+\draw [red]
+(0,0.5) node[left]{$A$} arc (90:-90:0.5) node[left]{$D$}
+(0,3)node[left]{$B$} arc(90:-90:3) node[left]{$C$}
+;
+
+\draw
+(5,0) -- (13,0)
+(9,-4) -- (9,4)
+;
+\draw [dashed,red] 
+(9,-3) node[left]{$D$} arc (-90:-270:3) node[left]{$A$}
+;
+\draw [red]
+(9,3) arc (90:-90:1.5) node[left]{$C=B$} arc (90:-90:1.5)
+;
+\end{tikzpicture}
+\caption{Tracé du diagramme de Nyquist avec un contour de Bromwich d'exclusion}
+\end{figure}
+
+\textit{D'après le Nyquist} \\
+Si on parcourt le graphe de $\omega = -\infty$ à $\omega = +\infty$, on fait 1 tour dans le sens horaire de (-1,0) : $N=-1$
+
+\textit{Calcul de P}\\
+Nombre de pôles de $T(p)$ à $Re<0$
+\[T(p) = \frac{-k}{\tau p (1+\tau p)}\quad p_1=0, \quad p_2=-\frac{1}{\tau}\]
+Avec un contour d'exclusion, on a $P=0$
+
+\textit{Calcul de N}\\
+On a $Z=P-N=1$. Le système est instable.
+
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TD6/TD6.tex

@@ -0,0 +1,83 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+\newcommand{\nomTD}{TD6 : Introduction aux systèmes de transmission}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+
+
+\begin{document}
+
+\section*{\nomTD}
+
+\subsection*{A. Système linéaire}
+
+\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{10mm}
+\item Définition de la transformée de Fourier :
+\[X(f) = TF\{x(t)\} = \int_{\R} x(t) e^{-j2\pi ft} dt \]
+\[x(t) = TF^{-1}\{X(f)\} = \int_{\R} X(f) e^{j2\pi ft} df \]
+
+Pour $x(t) = A_x\cos(2\pi f_0 t)$, $x(t) = A_x\sin(2\pi f_0 t)$ ou $x(t) = A_x\cos(2\pi f_0 t + \phi)$, on a 
+\[|X(f)| = \frac{A_x}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))\]
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw [>=latex,->] (-2,0) -- (2,0) node[right]{$f$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (0,2) node[left]{$|X(f)|$};
+\draw [red] (1,0)node[below]{$f_0$} -- (1,1);
+\draw [red] (-1,0)node[below]{$-f_0$} -- (-1,1);
+\draw [dotted] (-2,1) node[left]{$\frac{A_x}{2}$} -- (2,1);
+
+\draw [>=latex,->] (4,0) -- (8,0) node[right]{$f$} ;
+\draw [>=latex,->] (4,0) -- (4,2) node[left]{$|X(f)|$};
+\draw [red] (5,0)node[below]{$f_0$} -- (5,1);
+\draw [dotted] (4,1) node[left]{$\frac{A_x}{2}$} -- (8,1);
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Représentations bilatérale et monolatérale}
+\end{figure}
+
+\textbf{Remarque :} les expressions de $X(f)$ sont en revanche différentes
+\begin{align*}
+x(t) = A_x\cos(2\pi f_0 t) & \rightarrow X(f) = \frac{A_x}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)) \\
+x(t) = A_x\sin(2\pi f_0 t) & \rightarrow X(f) = -\frac{A_x}{2}j(\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)) \\
+x(t) = A_x\cos(2\pi f_0 t + \phi) & \rightarrow X(f) = \frac{A_x}{2}(e^{j\phi}\delta(f-f_0)+e^{-j\phi}\delta(f+f_0))
+\end{align*}
+
+On ne peut pas représenter facilement ces expressions de $X(f)$, c'est pour cela qu'on utilise $|X(f)|$ ou $|X(f)|^2$ (densité spectrale de puissance).
+
+\item $y(t) = (h*x)(t)$ et $Y(f) = H(f) X(f)$.
+\end{enumerate}
+
+\subsection*{B. Système non linéaire}
+
+\begin{enumerate}
+\item On considère deux cas : $u=A$ et $u=-A$.
+
+\textbf{1er cas : } $u = A$
+
+On a $V_A = \frac{A}{2}$ et $V_B = - \frac{A}{2}$. Les diodes $D_1$ et $D_2$ sont donc bloquées et on a $0V$ au point D.
+
+On a alors $v(t) = -2e(t)$.\\
+
+\textbf{2e cas : } $u = - A$ 
+
+Les diodes $D_1$ et $D_3$ sont bloquées.
+
+On a alors $v(t) = 2e(t)$.\\
+
+On peut donc écrire $v(t) = -\frac{2}{A} u(t)e(t) $
+
+Or, on peut décomposer le signal carré $u(t)$ :
+\[u(t) = \skzi \frac{4}{(2k+1)\pi} A \sin ((2k+1)2\pi f_0t)\]
+
+Donc on a le spectre de $u(t)$ :
+\[V(f) = \skzi \frac{4}{(2k+1)\pi} A \frac{1}{2j}(\delta(f-(2k+1)f_0-\delta(f+(2k+1)f_0))\]
+
+Comme $V(f) = -\frac{2}{A}(U*E)(f)$,
+\[V(f) = - \skzi \frac{4}{(2k+1)j\pi} (E(f-(2k+1)f_0-E(f+(2k+1)f_0))\]
+
+On recopie le spectre centré de $|E(f)|$ à $f_0$, $3f_0$, $5f_0$, ...
+
+\item On choisit le filtre passe bande qui sélectionne une bande qui ne contient que le spectre autour de $f_0$. Ainsi, on a transposé l'information autour de $f_0$.
+
+\end{enumerate}
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TD7/TD 7.tex

@@ -0,0 +1,93 @@
+\documentclass{article}
+\input{../../preambule/preambule}
+
+\newcommand{\nom}{TD7 : Émission et réception stéréo}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nom}
+
+\begin{document}
+
+\titre{\nom}
+
+ Pour transmettre une émission radio en stéréophonie, on code les signaux issus de deux microphones g(t) et d(t) sous la forme :
+ \[x_1(t) = (g(t) - d(t)) + \alpha(g(t) - d(t))cos(4\pi f_0t) + A_0cos(2\pi f_0t)\]
+ 
+ Les signaux g(t) et d(t) couvrent une bande de fréquences délimitée par $F_m = 30 Hz$,$F_M = 15kHz$ et $f_0 = 19 kHz$.\\
+ 
+	\noindent 1- $x_1(t)$ peut être réaliser selon le schéma bloc suivant :\\
+	\begin{center}
+ 	\includegraphics[scale=0.5]{TD7-1.png}
+	\end{center}  
+ 
+ 	\noindent 2- L'allure du spectre de $x_1$ est la suivante :
+ 	
+ 	Il n'y a pas de recouvrement de spectre, $f_0$ étant supérieur à $F_M$.
+ 	
+ 	\noindent 3- La bande passante du signal est $B = [F_m ; 2f_0+F_M]$\\
+ 	
+ 	\noindent 4- Le but du montage recevant $x_1(t)$ est de restituer $g(t)$ et $d(t)$ sur des voies séparées(stéréo).\\ On considère le montage suivant :
+ 	
+ 	\begin{center}
+ 	\includegraphics[scale=0.33]{TD7-2.png}
+	\end{center}
+ 	
+ 	Chaque élément a un rôle propre :\\
+ 	\begin{itemize}
+ 	\item M : doubleur(de fréquence)
+ 	\item G :ampli de gain G
+ 	\item $F_1$ : filtre passe-bande centré sur $2f_0$
+ 	\item $F_2$ : filtre passe-bande centré sur $f_0$
+ 	\item $F_3$ : filtre passe-bas de fréquence de coupure supérieur à $F_m$
+ 	\item $F_4$ : filtre passe-bas de fréquence de coupure supérieur à $F_m$
+ 	\end{itemize}
+\bigbreak 	
+ 	
+ 	Les signaux intérmédiaires sont :\\
+ 	\begin{itemize}
+ 	\item $s_1(t) = \alpha (g-d)cos(2\omega_0t)$
+ 	\item $s_2(t) = A_0 cos(\omega_0t)$
+ 	\item $s_3(t) = g + d$
+ 	\item $s_4(t) = k.A_0^2(\frac{1}{2}\alpha (g-d) + \frac{1}{2}\alpha (g-d) cos(4\omega_0t))$
+ 	\item $s_5(t) = k.A_0^2 \alpha (g-d)$
+ 	\end{itemize}
+\bigbreak 	
+ 	
+ 	Déterminons maintenant les sorties :\\
+ 	\begin{itemize}
+ 	\item $a = s_5 + G s_3 = k.A_0^2 \alpha.g$ si $G =  \frac{1}{2}k.A_0^2 \alpha$
+ 	\item $b = G s_3 - s_5 = k.A_0^2 \alpha.d$ si $G =  \frac{1}{2}k.A_0^2 \alpha$
+ 	\item $c = g+d$
+ 	\end{itemize}
+ 	\bigbreak
+ 	
+ 	\noindent 5- Réception hétérodyne : on reçoit sur trois canaux centrés respectivement sur $f_{p1}$, $f_{p2}$ et $f_{p3}$ :
+ 	\[s_n(t) = A_ncos(2\pi f_{pn}t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t}x_n(t) d\tau)\]
+ 	
+ 	Les spectres des signaux en sortie w du multiplieur sont représentés sur la photo suivante :
+ 	\begin{center}
+% 	\includegraphics[scale=0.2]{TD7-3.png}
+	\end{center}
+	
+	Et le zoom pour faire plaisir à l'autre génie :\\
+	\begin{center}
+ 	\includegraphics[scale=0.3]{TD7-4.png}
+	\end{center}
+	
+ 	
+ 	\noindent 6- $F_5$ a une bande passante $B_0$ et une fréquence centrale $f_{OL} - f_{p1}$, de sorte que : $Q = \frac{f_{OL} - f_{p1}}{B_0} = \frac{f_{F1}}{B_0} = 26.75$\\
+ 	Une autre altérnative est de prendre une bande passante $B_0$ et une fréquence centrale $f_{OL} + f_{p1}$ et donc Q = 519 (mais Q est alors trop élevé, et difficile à réaliser).\\
+ 	
+ 	\noindent 7- On a $y(t) = A_y cos(2\pi f_{FL}t + 2\pi k_f \int_{-\infty}^{t}x_1(t) d\tau)$ donc le signal FM est constitué de la porteuse de fréquence $f_{F1}$ et l'info est $x_1$\\
+ 	
+ 	\noindent 8- En l'absence de multiplieur et d'OL le canal à sélectionner aurait été centré sur $f_{p_1}$. Il aurait fallut un filtre $F_5$ centré sur $f_{p1}$ (très élevé) donc $Q = \frac{f_p}{B_0} >> \frac{f_{FI}}{B}$ et qui plus est accordable(fréquence centrale réglable) donc plus compliqué (WHOOOTT?!!??)\\
+ 	
+ 	\noindent 9- On suppose que $f_{FI}$ = 1MHz et qu'on reçoit en plus un signal de porteuse : $f_i = f_{OL} + f_{FI} = f_{p1} + 2f_{FI} = 105.5MHz$\\
+ 	Dans le récepteur hétérodyne $f_i$ se retrouve multiplié par $f_{OL}$.\\
+ 	
+ 	Par conséquent, en sortie de $F_5$ (centrée sur $f_{FI}$) on récupère le transport du signal $f_i$.\\
+ 	Le problème est que l'on brouille la réception du canal à $f_{p1}$ lui aussi transposé à $f_{FI}$\\
+ 	
+ 	$f_i$ est la fréquence image de $f_{P1}$.\\
+ 	
+ 	\noindent 10- si $f_{FI} = 10.7MHz$ alors $f_i = f_pi + 2f_{FI} = 114.2MHz$. Donc ce signal est filtré par la bande passante de l'ampli de réception limité a 108MHz. Il n'y a plus de problème.
+
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TD8/TD 8.tex

@@ -0,0 +1,102 @@
+\documentclass{article}
+\input{../../preambule/preambule}
+
+\newcommand{\nom}{TD8 : Modulation avec récupération de porteuse}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nom}
+
+\begin{document}
+
+\titre{\nom}
+
+\noindent A-1) Le spectre des signaux modulant et modulé bilatéral sont :\\
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.2]{TD8-1}
+\end{center}
+\noindent 2) Quel est le type de modulation?\\
+\begin{align*}
+s(t) &= kx(t)*p(t)+p(t)\\
+&= p(t)[1+kx(t)]
+\intertext{Or,}
+m &= |kx(t)| = |kA_x| = \left | \frac{A_x}{V_0} \right | \geq 1
+\end{align*}
+On est donc en modulation d'amplitude à porteuse conservée avec surmodulation pour faciliter la récupération de la porteuse en réception.
+
+\noindent B-Démolulation et réception
+\noindent 1) On fait l'hypothèse que $\Phi_e(t) = 2\pi f_0t+\phi(t)$\\
+Donc on a :
+\[e(t) = A_eCos(\Phi_e(t)) = A_e cos(2\pi f_0t+\phi(t))\]
+e(t) étant la sortie du VCO avec $f_i(t) =f_0 +a v(t)$ avec v(t) l'entrée du VCO\\
+
+Exprimons $\phi(t)$ en fonction de $v(t)$ :\\
+\begin{align*}
+f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\Phi_e(t) & \Rightarrow d\Phi_e(t) = 2\pi f_i(t)dt\\
+& \Rightarrow \Phi_e(t) = 2\pi \int_0^t f_i(\tau) d\tau\\
+& \Rightarrow \Phi_e(t) = 2\pi f_0 t + 2\pi a \int_0^t v(\tau) d\tau\\
+& \Rightarrow \phi(t) = 2\pi a\int_0^tv(\tau)d\tau
+\end{align*}
+\bigbreak
+\bigbreak
+
+\noindent 2) Calculons u(t) en fonction de x(t),$f_0$ et $\phi(t)$ :
+\begin{align*}
+u(t) &= ks_r(t)e(t)\\
+&= k A[1+kx(t)]cos(2\pi f_0t)A_e cos(2\pi f_0t + \phi(t))\\
+&= kAA_e[1+kx(t)][\frac{1}{2}cos(4\pi f_0t + \phi(t))+\frac{cos(\phi(t))}{2}]
+\end{align*}
+
+\noindent 3) On veut seulement conserver $v(t) = kAA_e[1+kx(t)]\frac{cos(\phi(t)}{2}$ donc il faut :
+\[F_n \leq f_{c1} << 2f_0\]
+
+\noindent 4) Déterminons l'équation différentielle sur $\phi(t)$ où apparait x(t) :
+\begin{align*}
+\left \{ \begin{matrix}
+f_i(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\Phi_e(t)\\
+f_i(t) = f_0 + av(t)
+\end{matrix} \right. &\Rightarrow  f_0 + av(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\Phi_e(t)\\
+&\Rightarrow f_0 + av(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}(2\pi f_0t + \phi(t))\\
+&\Rightarrow f_0 + av(t)= f_0 + \frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt}\\
+&\Rightarrow \frac{1}{2\pi}\frac{d\phi(t)}{dt} = av(t) = akAA_e[1+kx(t)]\frac{cos(\phi(t))}{2}
+\end{align*}
+
+\noindent 5) Résolons l'équation différentielle en faisant apparaitre $\int x(t)dt$\\
+Indication : $\int \frac{df}{cos(f)}=ln|tan(\frac{1}{2}+ \frac{\pi}{4})|$
+D'après l'équation précédente on a :
+\begin{align*}
+\frac{df}{cos(f)} &= \pi akAA_e[1+kx(t)]dt
+\intertext{d'où :}
+ln|tan(\frac{\phi}{2}+ \frac{\pi}{4})| = \pi akAA_et + \pi a k^2AA_e\int_0^tx(\tau) d\tau + cst
+\end{align*}
+
+\noindent 6) Quelle est la valeur de $\phi_{\infty}$ ($\phi$ quand $t \rightarrow \infty$) si $x(t) = A_xcos(2\pi Ft)$ avec, $F_m<F<F_n$ ?\\
+
+On prend l'exponentielle des deux membres de l'aquation précédente et il vient :
+\[ |tan(\frac{\phi}{2}+ \frac{\pi}{4})| = e^{\pi akAA_et + \frac{\pi a k^2AA_eA_x}{2F}sin(2\pi Ft) + cst}\]
+Or, l'exponentielle tend vers l'infini quand $t\rightarrow \infty$ donc la tangente tend vers l'infini ce qui correspond à :
+\begin{align*}
+\frac{\phi}{2}+ \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{2} + 2n\pi \text{	 avec $n\in\mathbb{N}$} &\Rightarrow \phi_{infty} = \pm \pi -\frac{\pi}{2} + 4n\pi\\
+&\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}
+\phi_{infty} = \frac{\pi}{2}+4n\pi\\
+\phi_{infty} = -\frac{3\pi}{2}+4n\pi
+\end{matrix} \right. \\
+&\Leftrightarrow \phi_{infty} = \frac{\pi}{2} + 4n\pi
+\end{align*}
+\bigbreak
+\bigbreak
+
+\noindent 7) Le terme qui permet de connaitre $f_{\infty}$ est dû à la conservation de la porteuse (à l'émission).\\
+En effet, il est responsable du terme $e^{\pi a k A A_e t}$ qui tend vers l'infini.
+Le résultat $\phi_{\infty} = \frac{\pi}{2}$ serait le même quelque soit x(t).\\
+
+\noindent 8) 
+\begin{align*}
+y(t) &= ks_r(t)*e(t)*\Phi(t)\\
+&= Acos(2\pi f_0t)[1+kx(t)]cos(2\pi f_0t + \phi_{\infty} + \Phi)\\
+&= \frac{A}{2}(cos(\phi_{\infty}+\Phi)+cos(4\pi f_0t) + \phi_{\infty}+\Phi))[1+kx(t)]
+\end{align*}
+\bigbreak
+\bigbreak
+
+\noindent 9) $F_m < 2 f_{c2} << 2f_0$ et $x(t) = \frac{kAA_e}{2}[1+kx(t)]$
+
+\noindent 10) $\Phi_{opt}$ tel que $|cos(\phi_{\infty} - \Phi)| + \frac{Pi}{2}$
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TD9/TD 9.tex

@@ -0,0 +1,125 @@
+\documentclass{article}
+\input{../../preambule/preambule}
+
+\newcommand{\nom}{TD8 : Modulation et démodulation FM pour la vidéo}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nom}
+
+\begin{document}
+
+\titre{\nom}
+
+On effectue les hypothèses suivantes : 
+\begin{itemize}
+\item Les deux signaux $\left \{\begin{matrix}d_r(t) \text{	transmis en FM à $f_r$ avec } \Delta f_r = 280kHz\\d_b(t) \text{	transmis en FM à $f_b$ avec } \Delta f_b = 230kHz\end{matrix} \right.$\\
+\item Modulante FM de constante caractéristique $k_f$ ($Hz.V^{-1}$)
+\item $\left \{\begin{matrix}d_r(t)\\d_b(t)\end{matrix} \right.$ de spectre inclut dans $[0;B_0 = 2MHz]$
+\end{itemize}
+\bigbreak
+
+\begin{enumerate}
+\item \begin{align*}
+s_r(t) &= A_2 cos(2\pi f_rt + \phi_r(t))
+\text{ avec }\left \{ \begin{matrix}
+\Phi_r(t) = 2 \pi f_r t + \phi_r(t)\\
+\phi_r(t) = \text{dérivation en phase}
+\end{matrix} \right.
+\intertext{La fréquence instantanée est :}
+f_i(t) &= \frac{1}{2\pi}\frac{d \Phi(t)}{dt}\\
+&= f_r + \frac{1}{2\pi} \frac{df_r(t)}{dt}
+\intertext{La dérivation de phase instantanée est donc :}
+\Delta f(t) &= \frac{1}{2\pi}\frac{df_r(t)}{dt}
+\intertext{De plus, on a $\Delta f(t) = k_f d_r(t)$, d'où :}
+s_r(t) &= A_2 cos(2\pi f_rt + 2\pi k_f \int_0^td_r(u)du)
+\end{align*}
+
+L'excursion en fréquence est alors $|\Delta f|_{max} = \Delta f_r$
+
+\item Déterminons l'indice de modulation $\beta_r$ :
+\begin{align*}
+\beta &= \frac{\text{excursion en fréquence}}{\text{frequence max du modulant}}
+\beta_r &= \frac{\Delta f_r}{B_0}
+\end{align*}
+
+\begin{center}
+\includegraphics[scale=0.5]{TD9-1.png}
+\end{center}
+
+\item Determinons l'encombrement en frequence $B_{ur}$ :
+\paragraph{Règle de Carson }:\\
+L'encombrement utile en fréquence d'une modulation FM est :
+\[B_{ur} = 2B_0(1+\beta) = 2(B_0 + \Delta f_r) = 4.56MHz\]
+
+\item Quand la PLL est accrochée, les fréquences instantanées des signaux d'entrée et de sortie de la PLL sont égales donc :
+\[f_e(t) = f_r + k_rd_r(t)\]
+
+\item Où retrouve-t-on le signal modulant?
+ on a :
+ \begin{align*}
+ f_e(t) &= f_r + k_{VCO} v_m(t)
+ \intertext{or,}
+ f_e(t) &= f_r + k_rd_r(t)
+ \intertext{d'où,}
+ v_m(t) &= \frac{k_rd_r(t)}{k_{VCO}}
+ \end{align*}
+ On retrouve le signal modulant en entrée du VCO.
+ 
+ \item Il faut que la caractéristiqu $f_e(t) = f_r + k_{VCO} v_m$ soit linéaire sur l'intervalle $[f_r-\Delta f_r ; f_r + \Delta f_r]$\\
+ 
+ \item Le schéma bloc associé est :
+ 
+ \begin{center}
+% \includegraphics[scale=0.5]{TD9-2.png}
+ \end{center}
+
+\item 
+On commence par exprimer avec la formule de Black : $\frac{V_m(p)}{\Phi_{sr}(p)} = \frac{K_{\Phi}F(p)}{1 + K_{\Phi}F(p)K_{VCO}\frac{2\pi}{p}}$\\
+$\Phi_{sr}(t)$ est tel que $f_{sr}(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi_{sr}(t)}{dt}$\\
+Après transformée de Laplace, on a :
+\begin{align*}
+F_{sr}(p) &= \frac{1}{2\pi}p\Phi_{sr}(p) \Rightarrow \Phi_{sr}(p) = \frac{2\pi}{p}F_{sr}(p)
+\intertext{d'où :}
+\frac{V_m(p)}{F_{sr}(p)} &= \frac{K_{\Phi} F(p) \frac{2\pi}{p}}{1 + K_{\Phi}F(p)K_{VCO}\frac{2\pi}{p}}
+\end{align*}
+
+On fait l'hypothèse que les deux filtre passses bas sont envisagées avec :\\
+cas 1 : $T_{01}(p) = \frac{2\pi K_{\Phi} K_{VCO}}{p(1+RCp}$\\
+cas 2 : $T_{02}(p) = 2\pi K_{\Phi} K_{VCO} \frac{1+RCp}{R_2Cp^2}$
+
+\item Ammortissement $\xi$ et bande passante $f_BF$ de la PLL\\
+
+Exprimons la FTBF pour le filtre F1
+\begin{align*}
+\frac{V_m(p)}{F_r(p)} &= \frac{1}{K_{VCO}} \frac{1}{1+\frac{1}{2\pi K_{\Phi} K_{VCO}}p + \frac{RC}{2\pi K_{\Phi} K_{VCO}}p^2}
+\intertext{On identifie :}
+f_{BF} &= \sqrt{\frac{K_{\Phi} K_{VCO}}{2\pi RC}}\\
+\xi &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi K_{\Phi} K_{VCO} RC}}
+\end{align*}
+Exprimons la FTBF pour le filtre $F_2$ :
+\begin{align*}
+\frac{V_m(p)}{F_r(p)} &=\frac{K_{\Phi}(\frac{1+R_1Cp}{R_2Cp})\frac{2\pi}{p}}{1+K_{\Phi}\frac{1+R_1Cp}{R_2Cp}K_{VCO}\frac{2\pi}{p}}\\
+&= \frac{\frac{(1+R_1Cp)}{K_{VCO}}}{1+R_1Cp + \frac{R_2Cp^2}{2\pi K_{\Phi}K_{VCO}}}\\
+f_{BF} &= \sqrt{\frac{K_{\Phi} K_{VCO}}{2\pi R_2C}}\\
+\xi &= \frac{R_1C}{2} \sqrt{\frac{2\pi K_{\Phi} K_{VCO} RC}{R_2C}}
+\end{align*}
+Conclusion : Il est plus facile de régler la PLL avec $F_2$, car on peut régler indépendemment $f_{BF}$ et $\xi$ via $R_2$ et $R_1$
+
+\item 10 Réglage de $f_{BF}$
+Il faut $f_{BF} > B_0$ pour que le signal informatif soit correctement restitué.\\
+
+\item Erreurs de phase\\
+\begin{align*}
+\Phi_{\epsilon}(p) =& \Phi_{sr}(p)-\Phi_e(p)\\ 
+& \vdots\\
+=& \Phi_{sr}(p)\frac{1}{1+K_{\Phi}K_{VCO}F(p) \frac{2\pi}{p}}
+\end{align*}
+Si une rampe de phase (ie, un échelon de fréquence) est appliqué en entrée de la PLL, on a : $ \Phi_{sr}(p) = \frac{\Phi_0}{p^2}$\\
+Pour le filtre $F_1$ on a,
+\[\Phi_{\infty} = \frac{\Phi_0}{2\pi K_{\Phi} K_{VCO}}\]
+Pour le filtre $F_2$ on a,
+\[\Phi_{\infty} = 0\]
+
+\item Conclusion : $F_2$ est plus intéressant et permet d'annuler l'erreur de phase.
+
+
+\end{enumerate}
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TP1/.#TP1.tex

@@ -0,0 +1 @@
+pierre-antoine@HP-PA.2316:1539153031

431-Electronique_transmission/TP1/TP1.tex

@@ -0,0 +1,398 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+
+\newcommand{\nomTD}{TP1 : Synthèse et réalisation de filtres actifs}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+\renewcommand{\auteur}{Aymeric Arnould, Tom Colinot}
+
+\title{\nomTD}
+\author{\auteur}
+
+\renewcommand{\thesubsection}{\Roman{subsection}.}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section*{Préparation}
+
+\subsection{Mesure automatique du diagramme de Bode}
+\begin{itemize}
+\item On donne une fréquence maximale $f_{max}$, une fréquence minimale $f_{min}$ et un nombre de points $N$ et on désire générer une répartition logarithmique de ces points.
+
+Ainsi, on a pour le $n$-ème point :
+\begin{align*}
+\log(f_n) & = \log(f_{min}) + \frac{\log(f_{max})-\log(f_{min})}{N} \\
+f_n & = f_{min}(\frac{f_{max}}{f_{min}})^{n/N}
+\end{align*}
+
+\item Pour obtenir un fonctionnement correct des filtres à amplificateurs opérationnels, il faut veiller à ce que $2\pi f A_s < SR$, où $A_s$ est l'amplitude de sortie de l'AO.
+
+\item Pour effectuer le tracé du diagramme de Bode point par point, on génère une tension sinusoïdale d'amplitude $V_e$ pour chacune des fréquences $f_n$ réparties logarithmiquement sur l'intervalle choisi $[f_{min},f_{max}]$ choisi.
+On mesure pour chacune de ces  fréquences l'amplitude $V_s$ du signal de sortie, et on trace le gain $G=20\log(V_s/V_e)$ en fonction de $f_n$. On ne mesure pas le déphasage car le cahier des charges n'impose pas de contrainte sur la phase.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Synthèse d'un filtre passe-bas de Butterworth}
+
+\paragraph{Gabarit} On désire réaliser un filtre passe-bas de Butterworth admettant :
+\begin{itemize}
+\item une bande passante $f_p = 4,5kHz$ avec un gain $a=-3dB$
+\item un gain maximal $b=-35dB$ pour des fréquences supérieures à $f_a = 13kHz$
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}[scale=1]
+\draw [>=latex,->] (0,0) node[left]{0} -- (8,0) node[right]{$f$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,-3) -- (0,1) node[left]{$G_{dB}$};
+
+\draw [dashed] (0,-2) node[left]{$b=-35dB$} -- (3,-2) -- (3,0) node[above]{$f_p=4,5kHz$};
+\draw [dashed] (3,-2) -- (6,-2);
+\draw (0,-1) node[left]{$a=-3dB$} -- (3,-1) -- (3,-3);
+\draw (6,0) node[above]{$f_a=13kHz$} -- (6,-2) -- (8,-2);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Gabarit du filtre passe bas}
+\end{figure}
+
+\paragraph{Sélectivité} La sélectivité du filtre correspond à $k= \frac{f_p}{f_a} =  0,35$.
+
+\paragraph{Fonction d'approximation d'un filtre de Butterworth}
+\[H^2(j\Omega) = \frac{1}{1+\epsilon^2\Omega^{2n}} \avec \Omega = \frac{f}{f_p}\]
+
+
+\begin{align*}
+\intertext{Déterminons l'expression de $\epsilon$ en fonction de $a$.}
+\text{Par définition } a & = 20 \log(H(j\Omega))|_{\Omega=1} \\
+& = 10 \log \frac{1}{1+\epsilon^2} \\
+10^{-\frac{a}{10}} & = 1 + \epsilon^2 \\
+\text{donc } & \boxed{\epsilon = \sqrt{10^{-\frac{a}{10}}-1}} \\
+\text{On a donc } & \epsilon = 1 \text{ pour } a = -3 dB
+\intertext{Déterminons ensuite l'expression de l'ordre minimal $n_{min}$ du filtre passe-bas normalisé.}
+\text{Par définition } b & = 20 \log(H(j\Omega))|_{\Omega=\Omega_a=1/k} \\
+& = 10 \log (\frac{1}{1+\epsilon^2k^{-2n}})\\
+10^{-\frac{b}{10}} & = 1 + \epsilon^2 k^{-2n} \\
+k^{-2n} & = \frac{10^{-\frac{b}{10}}-1}{\epsilon^2} \\
+\text{donc } & \boxed{n = \frac{\ln (\frac{10^{-\frac{b}{10}}-1}{\epsilon^2})}{2\ln(\frac{1}{k})}} \\
+& n \approx 3,84 \text{ pour } b = -35dB, k = 0,35\\
+\text{On a donc } & n_{min} = 4
+\end{align*}
+
+\paragraph{Calcul de la fonction de transfert normalisée $H(s)$ du filtre passe-bas prototype}
+
+\begin{align*}
+H(s) & = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2(-1)^ns^{2n}}} \avec s = p/\omega_p\\
+H^2(s) & = \frac{1}{1+s^8} \text{ avec } n=4
+\end{align*}
+
+On détermine $H$ à partir des racines du dénominateur de $H^2$ dont on ne garde que celles à partie réelle strictement négative.
+
+\[1+s^8 = 0 \Leftrightarrow s = e^{j\frac{2k+1}{8}\pi} k=0,..7 \]
+
+Les racines à partie réelle strictement négative sont $e^{j\frac{5\pi}{8}},e^{j\frac{7\pi}{8}},e^{-j\frac{5\pi}{8}},e^{-j\frac{7\pi}{8}}$
+
+\begin{align*}
+H(s) & = \frac{1}{(s-e^{j\frac{5\pi}{8}})(s-e^{j\frac{7\pi}{8}})(s-e^{-j\frac{5\pi}{8}})(s-e^{-j\frac{7\pi}{8}})} \\
+& = \frac{1}{(s^2-s(e^{j\frac{5\pi}{8}}+e^{-j\frac{5\pi}{8}})+1)(s^2-s(e^{j\frac{7\pi}{8}}+e^{-j\frac{7\pi}{8}})+1)} \\
+& = \frac{1}{(s^2-2s\cos(\frac{5\pi}{8})+1)(s^2-2s\cos(\frac{7\pi}{8})+1)} \\
+\text{donc } & \boxed{H(s) = \frac{1}{(s^2+0,7654s+1)(s^2+1,8478s+1)}} \\
+\end{align*}
+
+On retrouve bien ce résultat dans le tableau B1 pour un filtre passe-bas d'ordre 4.
+
+
+\subsection{Synthèse d'un filtre passe-bas de Tchebychev}
+
+Un filtre passe-bas de Tchébychev est caractérisé par la fonction d'approximation suivante :
+
+\[ F(\Omega) = \frac{1}{1+\epsilon^2T_a^2(\Omega)} \avec \begin{array}{ll}
+Ta(\Omega) = \cos[n.\arccos(\Omega)] & \Omega \leq 1 \\
+Ta(\Omega) = \cosh[n.\argch(\Omega)] & \Omega < 1
+\end{array}
+\et \Omega = \frac{f}{f_p}
+\]
+
+Déterminons l'expression de $\epsilon$ en fonction de $a$.
+\begin{align*}
+\text{Par définition } a & = 20 \log(F(\Omega))|_{\Omega=1}  \\
+\text{Comme précédemmment, } \epsilon & = \sqrt{10^{-\frac{a}{10}}-1}
+\end{align*}
+
+Pour déterminer l'ordre minimal du filtre $n_{min}$, on utilise le point de coordonnées $(\Omega_a=\frac{1}{k},b)$ :
+\begin{align*}
+\text{Par définition, } b & = 10\log(\frac{1}{1+\epsilon^2T_n^2(\Omega_a)}) \\
+10^{-\frac{b}{10}} & = 1 + \epsilon^2T_n^2(\Omega_a) \\
+T_n^2(\Omega_a) & = \frac{10^{-\frac{b}{10}}-1}{\epsilon^2}
+\intertext{Comme $\Omega_a=1/k \approx 2.857 >1$, alors }
+T_n^2(\Omega_a)& = \cosh(n\argch(\Omega_a)) \\
+n & = \frac{\argch(\frac{\sqrt{10^{-\frac{b}{10}}-1}}{\epsilon^2})}{\argch(\Omega_a)}
+\end{align*}
+Avec $\epsilon = 1$, $b=-35dB$, et $\Omega_a = \frac{1}{0,35}=2,857$, on obtient
+\[ n = 2,76 \text{ donc } n_{min} = 3\]
+
+\paragraph{Fonction de transfert}
+On souhaite réaliser un filtre avec les mêmes caractéristiques que précédemment mais avec une ondulation dans la bande passante limitée à $a=-1dB$. Il faudra donc augmenter l'ordre par rapport au filtre déterminé ci-dessus.
+
+Pour un filtre d'ordre 4, on aura la fonction de transmission suivante :
+\[ \boxed{ H(s) = \frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)(3,5791s^2 + 2,4113s+1)} \avec s = \frac{p}{\omega_p} }\]
+
+
+\subsection{Réalisation des filtres passe-bas}
+
+\subsubsection{La structure de Sallen-Key}
+
+Pour réaliser les filtres passe-bas cascadables, il est intéressant d'utiliser des amplificateurs opérationnels qui fournissent des filtres à grande impédance d'entrée et faible impédance de sortie. On utilise ici la structure de Sallen-Key.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.6]{sk.png}
+\caption{Structure de Sallen-Key}
+\end{figure}
+
+On note $u_K$ la tension en entrée de l'amplificateur de tension, on a alors $s = Ku_K$.
+
+L'application du théorème de Millman au point A situé entre $Y_1$, $Y_2$ et $Y_4$ donne :
+
+\[V_A = \frac{Y_1e + Y_2u_K + Y_4s}{Y_1+Y_2+Y_4} = \frac{Y_1e + Y_2\frac{s}{K} + Y_4s}{Y_1+Y_2+Y_4}\]
+
+En entrée de l'amplificateur de tension, supposé idéal, le courant est quasi-nul donc on a un diviseur de tension :
+\[u_K = \frac{Y_2}{Y_2 + Y_3} V_A =\frac{s}{K}\]
+
+Ainsi, on en déduit :
+\begin{align*}
+\frac{Y_1}{Y_1+Y_2+Y_4}e & = (-\frac{\frac{Y_2}{K}+Y_4}{Y_1+Y_2+Y_4} + \frac{Y_2+Y_3}{Y_2K})s \\
+e & = (-\frac{\frac{Y_2}{K}+Y_4}{Y_1} + \frac{(Y_2+Y_3)(Y_1+Y_2+Y_4)}{Y_1Y_2K})s \\
+e & = (\frac{(Y_2+Y_3)(Y_1+Y_4)}{KY_2} + \frac{Y_2+Y_3}{K}-\frac{Y_2}{K}-Y_4)\frac{s}{Y_1} \\
+\frac{s}{e} & = \frac{KY_1Y_2}{(Y_2+Y_3)(Y_1+Y_4)+Y_2(Y_3-KY_4)}
+\end{align*}
+
+Pour réaliser l'amplificateur de tension parfait de gain K, on réalise le montage suivant :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}{scale=0.5}
+\draw
+(4,1.5) node[op amp] (opamp) {}
+(0,0) node[ground]{} -- (0,2)   to[R,l=$r_1$] (2,2) -- (opamp.-)
+(2,2) -- (2,3) to [R,l=$r_2$] (5,3) -- (5,1.5)
+(opamp.+) node[left]{$u_K$}
+(opamp.out) -- (6,1.5) node[right]{$s$}
+;
+\end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+On a $V_-=V_+$ et $V_- = \frac{r_1}{r_1+r_2} s$, d'où $u_K=\frac{r_1}{r_1+r_2}s $ donc le gain $K$ est défini par $K=1+\frac{r_2}{r_1}$
+
+On pose alors $Y_1 = \frac{1}{R_1}$, $Y_2=\frac{1}{R_2}$, $Y_3 = C_3p$ et $Y_4=C_4p$.
+
+\[ H_{SK}(p) = \frac{K}{R_1C_3R_2C_4p^2 + (R_1(C_3+(1-K)C_4)+R_2C_3)p+1} \]
+
+On a donc
+\begin{eqnarray*}
+H_{SK}(p) = \frac{K}{(\frac{p}{\omega_0})^2 + 2m\frac{p}{\omega_0}+1} \quad \avec \quad & \omega_0^2 & = \frac{1}{R_1C_3R_2C_4} \\
+& m & = \frac{(R_1(C_3+(1-K)C_4)+R_2C_3)}{2\sqrt{R_1C_3R_2C_4}}
+\end{eqnarray*}
+
+\noindent Comme $K$ intervient dans l'expression de $m$ et non dans celle de $\omega_0$, on peut régler indépendamment ces deux paramètres. Pour régler $m$ uniquement, on peut utiliser une résistance variable ($r_1$ ou $r_2$) pour faire varier $K$.
+
+\subsubsection{Réalisation du filtre passe-bas de Butterworth}
+
+On pose $R_1=R_2=R$ et $C_3=C_4=C$, on a :
+\[ H_{SK}(p) = \frac{K}{R^2C^2p^2 + RC(3-K)p+1} \]
+\[ H_{SK}(s) = \frac{K}{R^2C^2\omega_p^2s^2 + RC(3-K)\omega_ps+1} \]
+
+Or, on doit synthétiser :
+\[H(s) = \frac{1}{(s^2+0,7654s+1)(s^2+1,8478s+1)}\]
+
+Circuit 1 :\\
+\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R^2C^2\omega_p^2s^2 + RC(3-K)\omega_ps+1} = \frac{1}{(s^2+0,7654s+1)}\]
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R^2C^2\omega_p^2 & = 1\\
+RC(3-K)\omega_p & = 0,7654 \\
+C & = 4,7nF
+\end{array}
+\right.
+\rightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R & = 7525 \Omega\\
+K & = 2,2346 \\
+C & = 4,7nF
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+Circuit 2 :\\
+\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R^2C^2\omega_p^2s^2 + RC(3-K)\omega_ps+1} = \frac{1}{(s^2+1,8478s+1)}\]
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R^2C^2\omega_p^2 & = 1\\
+RC(3-K)\omega_p & = 1,8478  \\
+C & = 4,7nF
+\end{array}
+\right.
+\rightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R & = 7525 \Omega\\
+K & = 1,1522 \\
+C & = 4,7nF
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+Par choix des valeurs de $K$ dans chacun des circuits, la valeur du gain global ne sera pas unitaire. Si on veut un gain unitaire, il faudra rajouter un étage amplificateur ou atténuateur.
+
+\subsubsection{Réalisation du filtre passe-bas de Tchebychev}
+
+Si $K=2$ et $C_3=C_3=C$, alors on a
+\[H_{SK}(p) = \frac{K}{R_1R_2C^2p^2 + R_2Cp+1}\]
+
+La valeur de $K=2$ permet donc de simplifier les équations conduisant aux valeurs des paramètres.
+On voulait synthétiser :
+\[H(s) = \frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)(3,5791s^2 + 2,4113s+1)} \avec s = \frac{p}{\omega_p}\]
+
+Circuit 1:\\
+\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_p^2s^2+R_2C\omega_ps+1}
+=\frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)}\]
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 1,0136 \\
+R_2C\omega_p & = 0.2828 \\
+C & = 4,7 nF
+\end{array}
+\right.
+\rightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1 & = 26,98k\Omega \\
+R_2 & = 2,13 k\Omega \\
+C & = 4,7 nF
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+Circuit 2:\\
+\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_p^2s^2+R_2C\omega_ps+1}
+=\frac{1}{(3,5791s^2 + 2,4113s +1)}\]
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 3,5791 \\
+R_2C\omega_p & = 2,4113 \\
+C & = 4,7 nF
+\end{array}
+\right.
+\rightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1 & = 11,17k\Omega \\
+R_2 & = 18,15k\Omega \\
+C & = 4,7 nF
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+On avait \[m = \frac{(R_1(C_3+(1-K)C_4)+R_2C_3)}{2\sqrt{R_1C_3R_2C_4}} = \frac{(R_1(2-K) + R_2)C}{2\sqrt{R_1R_2C^2}}\]
+
+La valeur de $K_{lim}$ conduisant à un coefficient d'amortissement $m$ négatif est $K_{lim} = 2+ \frac{R_2}{R_1}$.\\
+
+Pour le circuit 1, $K_{lim} = 2 + \frac{2,13}{26,98} = 2,08$.
+
+Pour le circuit 2, $K_{lim} = 2 + \frac{18,15}{11,15} = 3,62$.\\
+
+Comme on a choisi $K=2$, on a $K\approx K_{lim}$ pour le circuit 1.
+
+Il faut déterminer un autre jeu de valeurs avec $C_3=C_4=C$ et $R_1=6,8k\Omega$.
+
+\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_ps^2+(R_1(2-K)+R_2)C\omega_ps + 1} = \frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)}\]
+On a donc finalement pour le circuit 1 :
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 1,0136 \\
+(R_1(2-K)+R_2)C\omega_p & = 0.2828 \\
+C & = 4,7 nF \\
+R_1 & = 6,8k\Omega
+\end{array}
+\right.
+\rightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1 & = 6,8k\Omega \\
+R_2 & = 8,4k\Omega \\
+C & = 4,7 nF\\
+K & = 2,9
+\end{array}
+\right.
+\]
+et pour le circuit 2 :
+\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_p^2s^2+R_2C\omega_ps+1}
+=\frac{1}{(3,5791s^2 + 2,4113s +1)}\]
+\[
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 3,5791 \\
+R_2C\omega_p & = 2,4113 \\
+C & = 4,7 nF
+\end{array}
+\right.
+\rightarrow
+\left\{
+\begin{array}{ll}
+R_1 & = 11,17k\Omega \\
+R_2 & = 18,15k\Omega \\
+C & = 4,7 nF
+\end{array}
+\right.
+\]
+
+\section*{Expérimentation}
+\setcounter{subsection}{0}
+
+\subsection{Étude des filtres en simulation}
+
+\begin{enumerate}
+
+\item Les diagrammes de Bode des filtres de Butterworth et de Tchébychev simulés avec le logiciel sont donnés respectivement en annexes 1 et 2.
+
+Avec les valeurs des composants choisis, on retrouve les caractéristiques attendues : fréquence de coupure à -3dB de 4,5kHz, gain de -35dB à 13kHz.
+
+Les deux filtres respectent les gabarits imposés.
+
+\item Dans les deux cas, le gain à basse fréquence n'est pas unitaire (à cause de la synthèse des filtres), mais on peut toujours rajouter un filtre atténuateur pour diminuer le gain.
+
+Les deux filtres ont globalement même comportement, mais le filtre de Tchébychev comporte une légère ondulation du gain avant la coupure à -3dB.
+
+\item Dans le cas du filtre de Tchébychev,  la dispersion des composants, et notamment de la valeur de $K$, est plus importante que pour un filtre de Butterworth. L'augmentation de la valeur de $K$ crée une ondulation plus importante en basse fréquence, surtout si on se rapproche de valeur limite d'instabilité $K_{lim}$.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Filtre passe-bas de Butterworth}
+
+\begin{enumerate}
+\item Pour régler le gain de chaque circuit, on se place à très basse fréquence $f=1Hz$. En visualisant l'entrée et la sortie d'un seul circuit, on peut ajuster le gain : on règle $R_2$, qui est un potentiomètre alors que $R_1$ est fixée, jusqu'à atteindre le gain voulu.
+\item Le diagramme de Bode a été relevé dans la partie suivante à l'aide du programme \textit{ScopeWithScopeGen}.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Étude des filtres à l'aide du logiciel de programmation graphique}
+
+La partie programmation graphique via l'environnement VEE Pro n'a pas été traitée pendant le TP. Les diagrammes de Bode ont été relevés via \textit{ScopeWithScopeGen}.
+
+\subsubsection{Diagrammes de Bode}
+Les diagrammes de Bode sont donnés en annexes 3 et 4.\\
+
+\textit{Filtre de Butterworth :}\\
+À basse fréquence, le gain est d'environ 8dB. Lorsque la fréquence augmente, le gain diminue et la limite à -3dB de la bande-passante est atteinte pour une fréquence de 4,5kHz. Le gabarit est bien respecté car on atteint -35dB pour une fréquence de 13kHz.
+
+L'ordre dans lequel sont cascadés les circuits peut avoir une influence. En effet, le circuit 2 présente une résonance. Si on le met en premier, selon l'amplitude du signal d'entrée, la sortie de ce circuit peut saturer l'entrée du circuit suivant : les performances ne seront pas celles attendues. \\
+
+\textit{Filtre de Tchebychev :}\\
+À basse fréquence, le gain est d'environ 15dB. Le filtre présente une résonance avant la limite de la bande passante. À 13kHZ, la différence de gain par rapport à la limite basse fréquence est légèrement inférieure au -35dB attendu. Cela est sûrement dû au réglage des gains, car nous avons eu du mal à ajuster les potentiomètres.
+
+\subsubsection{Comparaison des deux filtres passe-bas réalisés}
+Les deux filtres ont globalement la même réponse. Cependant, le filtre de Tchebychev présente une résonance à la limite de la bande passante, contrairement au filtre de Butterworth. La pente au-delà de la bande passante du filtre de Tchebychev est plus importante que celle de Butterworth.\\
+
+Les deux filtres ont donc des performances similaires, mais présentent des légères différences qui peuvent justifier l'utilisation de l'un ou de l'autre, selon le cahier des charges imposé.
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TP1/auto/TP1.el

@@ -0,0 +1,13 @@
+(TeX-add-style-hook
+ "TP1"
+ (lambda ()
+   (TeX-add-to-alist 'LaTeX-provided-class-options
+                     '(("subfiles" "../../Cours_M1.tex")))
+   (TeX-run-style-hooks
+    "latex2e"
+    "subfiles"
+    "subfiles10")
+   (TeX-add-symbols
+    "nomTD"))
+ :latex)
+

431-Electronique_transmission/TP2/TP2.tex

@@ -0,0 +1,570 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+
+\newcommand{\nomTD}{TP2 : Réalisation d'une PLL à éléments discrets}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+\renewcommand{\auteur}{Aymeric Arnould, Tom Colinot}
+
+\title{\nomTD}
+\author{\auteur}
+
+\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{center}
+\textbf{A. Préparation}
+\end{center}
+
+\section{Étude de la boucle à verrouillage de phase}
+
+\subsection{Mise sous forme de schéma blocs}
+
+On donne le schéma de principe d'une PLL \footnote{Phase Locked Loop : Boucle à verrouillage de phase} :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\sbEntree{E}
+
+\sbBloc[4]{comp}{Comparateur de phase}{E}
+\sbRelier[$v_e(t)$]{E}{comp}
+
+\sbBloc[4]{pb}{Filtre passe-bas}{comp}
+\sbRelier[$v_1(t)$]{comp}{pb}
+
+\sbBloc[4]{sys}{VCO}{pb}
+\sbRelier[$v_2(t)$]{pb}{sys}
+
+\sbSortie[4]{S}{sys}
+\sbRelier[$v_s(t)$]{sys}{S}
+
+\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Schéma de principe d'une PLL}
+\end{figure}
+
+On s'intéresse aux phases $\phi_e(t)$ et $\phi_s(t)$ comme grandeurs d'entrée et de sortie.
+\[\omega_s(t) = \frac{d\phi_s(t)}{dt} \]
+
+On a donc dans l'espace de Laplace :
+\[ \Omega_s(p) = p\Phi_s(p) \]
+
+Le comparateur de phase est linéaire de gain $K_1$ :
+\[ v_1(t) = K_1[\phi_e(t)-\phi_s(t)] \]
+\[V_1(p) = K_1[\Phi_e(t)-\Phi_s(t)] \]
+
+On utilise un VCO \footnote{Oscillateur contrôlé en tension} centré sur une fréquence nulle :
+\[f_s(t) = K_3v_2(t) \]
+\[\Phi_s(p) = \frac{2\pi}{p} f_s(t) = \frac{2\pi}{p}K_3 v_2(t)\]
+
+On a donc le schéma-blocs suivant :
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\sbEntree{E}
+\sbComp{comp}{E}
+\sbRelier[$\Phi_e(p)$]{E}{comp}
+
+\sbBloc[4]{phcomp}{$K_1$}{comp}
+\sbRelier{comp}{phcomp}
+
+\sbBloc[4]{H}{$H(p)$}{phcomp}
+\sbRelier[$V_1(p)$]{phcomp}{H}
+
+\sbBloc[4]{sys}{$\frac{2\pi K_3}{p}$}{H}
+\sbRelier[$V_2(p)$]{H}{sys}
+
+\sbSortie[4]{S}{sys}
+\sbRelier[$\Phi_s(p)$]{sys}{S}
+\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
+\end{tikzpicture}
+\caption{Schéma blocs}
+\end{figure}
+
+En utilisant les fréquences comme grandeurs d'entrée et de sortie, on garde une structure telle que le comparateur soit toujours relatif au phases et non aux fréquences :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\sbEntree{E}
+
+\sbBloc[4]{int}{$\frac{2\pi}{p}$}{E}
+\sbRelier[$F_e(p)$]{E}{int}
+
+\sbComp{comp}{int}
+\sbRelier[$\Phi_e(p)$]{int}{comp}
+
+\sbBloc[4]{phcomp}{$K_1$}{comp}
+\sbRelier{comp}{phcomp}
+
+\sbBloc[4]{H}{$H(p)$}{phcomp}
+\sbRelier[$V_1(p)$]{phcomp}{H}
+
+\sbBloc[4]{sys}{$K_3$}{H}
+\sbRelier[$V_2(p)$]{H}{sys}
+
+\sbSortie[4]{S}{sys}
+\sbRelier[$F_s(p)$]{sys}{S}
+
+\sbDecaleNoeudy[4]{S}{R}
+\sbBlocr[12]{intr}{$\frac{2\pi}{p}$}{R}
+\sbRelieryx{sys-S}{intr}
+\sbRelierxy[$\Phi_s(p)$]{intr}{comp}
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Schéma blocs}
+\end{figure}
+
+\subsection{Etude complète de la boucle à verrouillage de phase}
+
+On suppose que le filtre est un passe-bas d'ordre 1 :
+\[H(p) = \frac{1}{1+\tau p} \]
+
+\subsubsection*{I.2.1 Etude de la stabilité}
+
+La fonction de transfert en boucle ouverte de la PLL en phase est :
+\[T(p) = \frac{2\pi K_1 K_3}{p(1+\tau p)} \]
+
+On a donc en boucle fermée en phase :
+\[F_{BF}(p) = \frac{T(p)}{1+T(p)} = \frac{1}{\frac{\tau}{K_1K_32\pi}p^2+\frac{1}{K_1K_32\pi}p+1}\]
+
+\subsubsection*{I.2.2 Etude du régime établi}
+
+\begin{multicols}{2}
+Vis-à-vis de la phase,
+\[ \epsilon_{\Phi}(p) = \frac{1}{1+\frac{2\pi K_1 K_3}{p(1+\tau p)}} \Phi(p) \]
+
+Pour une entrée en phase de type rampe :
+\begin{align*}
+\lim_{t\rightarrow\infty} \epsilon(t) & = \lim_{p\rightarrow 0} pE(p) \\
+& = \lim_{p\rightarrow 0} p \frac{\Phi_0}{p^2} \frac{1}{1+\frac{2\pi K_1 K_3}{p(1+\tau p)}} \\
+& = \lim_{p\rightarrow 0} \Phi_0 \frac{1}{p+\frac{2\pi K_1 K_3}{1+\tau p}} \\
+\lim_{t\rightarrow\infty} \epsilon(t) & = \frac{\Phi_0}{2\pi K_1 K_3}
+\end{align*}
+
+
+Vis-à-vis de la fréquence :
+\[ \epsilon_F(p) = \frac{\frac{2\pi}{p}}{1+\frac{2\pi K_1 K_3}{p(1+\tau p)}} F(p) \]
+
+Pour une entrée en fréquence en échelon :
+\begin{align*}
+\lim_{t\rightarrow\infty} \epsilon(t) & = \lim_{p\rightarrow 0} pE(p) \\
+& = \lim_{p\rightarrow 0} p \frac{F_0}{p} \frac{\frac{2\pi}{p}}{1+\frac{2\pi K_1 K_3}{p(1+\tau p)}} \\
+& = \lim_{p\rightarrow 0} F_0 \frac{2\pi}{p+\frac{2\pi K_1 K_3}{1+\tau p}} \\
+\lim_{t\rightarrow\infty} \epsilon(t) & = \frac{F_0}{K_1K_3}
+\end{align*}
+\end{multicols}
+
+La réponse à un échelon en fréquence correspond à la réponse à une rampe en phase.
+
+En effet, $f(t) = \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt}$ donc $F(p) = \frac{p \Phi(p)}{2\pi}$.
+
+Imposer un échelon de fréquence $F(p) = \frac{F_0}{p}$ revient en phase à $\Phi(p) = \frac{2\pi F_0}{p^2}$ (rampe).\\
+
+\subsubsection*{I.2.3 Etude du comportement dynamique (régime transitoire)}
+
+On donne $|K_1| = 5/\pi$ V/rad.s et $|K_3| = 20,7$ kHz/V. On a $\tau = \frac{1}{2\pi f}$ avec $f = 1 $ puis 5 kHz.
+
+\[F_{BF}(p) = \frac{1}{\frac{p^2}{\omega_0^2}+\frac{2m}{\omega_0}p +1}\]
+
+On a donc
+\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{K_1K_3 2\pi}{\tau}}  \quad \et \quad
+m = \frac{1}{2\sqrt{\tau K_1 K_3 2 \pi}} \]
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\hline
+$f_c$ (kHz) & $\omega_0$ (rad/s) & m \\
+\hline
+5 & 60642 & 0,195 \\
+\hline
+1 & 36064 & 0,087 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\section{Étude des différents blocs}
+
+\subsection{Le comparateur de phase OU EXCLUSIF}
+
+On écrit la table de vérité du OU EXCLUSIF :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\hline
+$a$ & $b$ & $a\oplus b$ \\
+\hline
+0 & 0 & 0 \\
+\hline
+0 & 1 & 1 \\
+\hline
+1 & 0 & 1 \\
+\hline
+1 & 1 & 0 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+On calcule la valeur moyenne du signal de sortie du OU EXCLUSIF :
+\[<v_1(t)>_T = \frac{\phi}{\pi} V_{DD}\]
+
+Or, on a aussi :
+\[<v_1(t)>_T = K_1 <\phi_e(t)-\phi_s(t)>\]
+
+Ainsi, on a $K_1 = \frac{\phi}{\pi}V_{DD}$.
+
+À la borne - de l'AO \footnote{Amplificateur Opérationnel}, on a grâce au théorème de Millman :
+\[ V^-=\frac{V_A+V_B}{2} \]
+
+À la borne + de l'AO, on a un diviseur de tension :
+\[ V^+=\frac{1}{1+jR_0C_0\omega}V_A\]
+
+Avec un AO parfait, $V^+ = V^-$. Cela conduit à
+\[ \frac{V_B}{V_A} = \frac{1-jR_0C_0\omega}{1+jR_0C_0\omega} \]
+
+Ainsi, on a un gain unitaire : ce montage est un déphaseur, et
+\[ \arg(\frac{V_B}{V_A}) = -2\arctan(R_0C_0\omega) \]
+
+Il est donc possible de créer à partir de $V_A(t)$, un signal $V_B(t)$  avec un déphasage variant entre 0 et -180 degrés.
+
+Les deux AO en sortie de montage permettent de donner une petite impédance de sortie au montage, dans le but de placer d'autres circuits en sortie sans influencer le fonctionnement du déphaseur.
+
+\subsection{Le filtre}
+
+On utilise un pont diviseur de tension $R_1,C_1$ série aux bornes e $C_1$. La fonction de transfert correspondante est :
+\[H(p) = \frac{1}{1+jR_1C_1\omega} \]
+
+Le diagramme de Bode du filtre passe-bas est le suivant :
+
+En réalité, le comparateur de phase fournit une tension comportant un terme fonction de la différence des phases ET un terme fonction de la somme des phases (Haute fréquence). Le filtre passe-bas permet de supprimer le second pour ne garder que le terme correspondant à la différence des phases.
+
+Avec  $R_1 = 15 k\Omega$, comme $R_1 = \frac{1}{2\pi f C_1}$, on a
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|}
+\hline
+$f_c$ (kHz) & $C_1$ (nF) \\
+\hline
+5 & 2,1 \\
+\hline
+1 & 11 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\subsection{L'oscillateur contrôlé en tension}
+
+\subsubsection{L'oscillateur d'Abraham et Bloch}
+
+\textbf{II.3.1.1 Analyse qualitative} \\
+
+\noindent Lorsque les capacités $C_1$ et $C_2$ ne sont pas connectées :
+
+Maille passant par collecteur/émetteur de $T_i$ puis par $R_{Ci}$ :
+\begin{multicols}{2}
+\[V_{CC} = V_{CE1} + R_{C1}I_{C1} \]
+donc
+\[I_{C1} = \frac{V_{CC}-V_{CE1}}{R_{C1}}\]
+
+\[V_{CC} = V_{CE2} + R_{C2}I_{C2} \]
+donc
+\[I_{C2} = \frac{V_{CC}-V_{CE2}}{R_{C2}}\]
+\end{multicols}
+
+Maille passant par base/émetteur de $T_i$ puis par $R_{Cj}$ :
+\begin{multicols}{2}
+\[V_{CC} = V_{BE1} + R_{B2}I_{B1} \]
+donc
+\[I_{B1} = \frac{V_{CC}-V_{BE1}}{R_{B2}}\]
+
+\[V_{CC} = V_{BE2} + R_{B1}I_{B2} \]
+donc
+\[I_{B2} = \frac{V_{CC}-V_{BE2}}{R_{B1}}\]
+\end{multicols}
+
+Lorsque les transistors fonctionnent en saturation, on a pour les deux transistors $V_{CE} = V_{CE}^{sat} = 0$ et $V_{BE} = V_{\delta}$. De plus, $I_C = \beta I_B$ donc on doit avoir :
+
+\begin{align*}
+\frac{V_{CC}}{R_{C1}} & = \beta \frac{V_{CC}-V_{\delta}}{R_{B2}} \\
+\frac{V_{CC}}{R_{C2}} & = \beta \frac{V_{CC}-V_{\delta}}{R_{B1}}
+\end{align*}
+
+\noindent On s'intéresse au schéma complet. Les condensateurs sont initialement déchargés et on met le circuit sous tension. Les condensateurs $C_1,C_2$ se chargent via les résistances $R_1,R_2$.
+
+On suppose que $T_2$ sature avant $T_1$.
+
+\begin{itemize}
+%\item $T_2$ est saturé donc $V_{C2}= V_{CE2} = 0$V. On a alors $u_2 = -V_{BE1}$.
+%
+%La base de $T_2$ est portée à $V_{BE2} = V_{\delta}=0,7$V, donc $V_{C1} = u_1 + 0,7$.
+%
+%$T_1$ est bloqué donc sa base $V_{BE1} < V_{\delta}$. Les condensateurs étant presque chargés, on a $V_{C1} \approx V_{CC}$.
+
+\item $T_2$ est saturé donc son potentiel collecteur $V_{C2} = V_{CE2} = 0V$. $T_1$ est bloqué donc sa base $V_{BE1} < 0,7V$.
+
+\item On a entre $V_{CC}$ et $V_{C2}=0$ une association série $R_{B2}$ et $C_2$.
+
+$C_2$ se charge donc à travers $R_{B2}$ et le potentiel base de $T_1$ $V_{BE1}$ augmente. Lorsqu'il dépasse le seuil de 0,7V, alors $T_1$ devient passant.
+
+\item $T_1$ devient passant : $V_{C1}=0$. Au travers de $C_1$, le potentiel de $V_{B2}$ est ramené vers 0. $T_2$ se bloque. On a donc la situation inverse par rapport à la situation initiale : $T_1$ saturé et $T_2$ bloqué.
+
+\item $C_1$ se charge alors, et le potentiel de base de $T_2$ remonte, jusqu'à ce qu'il y ait de nouveau basculement, etc...
+
+\end{itemize}
+
+
+\textbf{II.3.1.2 Analyse détaillée}
+
+\begin{itemize}
+\item Approximation ?
+\item D'après les conditions initiales :
+\begin{align*}
+& T_1 : \left\{
+\begin{array}{ll}
+V_{C1} & = 0 \\
+V_{B1} & = - V_{CC} + V_{\delta} < V_{\delta}
+\end{array}
+\right. \\
+& \Rightarrow T_1 \text{ bloqué } \\
+& T_2 : \left\{
+\begin{array}{ll}
+V_{C2} & = 0 \\
+V_{B2} & = V_{\delta}
+\end{array}
+\right. \\
+& \Rightarrow T_2 \text{ saturé }
+\end{align*}
+
+\item On peut toujours écrire les relations : \[V_{C2} = V_{B1} + u_2 \quad \et \quad V_{C1} = V_{B2} + u_1 \]
+
+\item On se place dans la situation $T_1$ bloqué et $T_2$ saturé.
+
+\begin{itemize}
+\item  $T_2$ est saturé donc $C_2$ se charge à travers $R_{B2}$. On néglige les courants de base donc tout le courant passant dans $R_{B2} $ passe dans $C_2$ (ici, $C_2$ est en convention générateur)
+\[ V_{CC} = -R_{B2}C_2\frac{du_2}{dt} -u_2\]
+
+On résout cette équation différentielle en posant $\tau_2 = R_{B2}C_2$ :
+\[ u_2(t) = A e^{-\frac{t}{\tau_2}} - V_{CC} \]
+
+À $t=0$, $u_2=V_{CC}-V_{\delta}$ donc $A=2V_{CC}-V_{\delta}$ et \[\boxed{u_2(t) = (2V_{CC}-V_{\delta})e^{-\frac{t}{\tau_2}} - V_{CC}} \]
+
+
+\item $T_1$ est bloqué donc tout le courant passant dans $R_{C1}$ passe dans $C_1$ (pris en convention récepteur). $T_2$ est passant donc $V_{B2} = V_{\delta}$.
+\[ V_{CC} = R_{C1}C_1\frac{du_1}{dt}  + u_1 + V_{\delta}\]
+
+En posant $\tau_1 = R_{C1}C_1$,
+\[u_1(t) = B e^{-\frac{t}{\tau_1}} + V_{CC}-V_{\delta}\]
+
+À $t=0$, $u_1 = -V_{\delta}$ donc $B=-V_{CC}$ et
+\[\boxed{u_1(t) = V_{CC}(1-e^{-\frac{t}{\tau_1}})-V_{\delta}} \]
+\end{itemize}
+
+
+En résumé, $T_1$ bloqué et $T_2$ passant avec les conditions initiales données :
+\begin{align*}
+u_1(t) & = V_{CC}(1-e^{-\frac{t}{\tau_1}})-V_{\delta} \\
+u_2(t) & = (2V_{CC}-V_{\delta})e^{-\frac{t}{\tau_2}} - V_{CC} \\
+V_{C2} & = 0 \\
+V_{B1} & = - u_2 = (V_{\delta}-2V_{CC})e^{-\frac{t}{\tau_2}} + V_{CC}\\
+V_{B2} & = V_{\delta} \\
+V_{C1} & = u_1 + V_{\delta} = V_{CC}(1-e^{-\frac{t}{\tau_1}})
+\end{align*}
+
+\item $T_1$ passe du régime bloqué au régime saturé quand $V_{B1} = V_{\delta}$ :
+\[ V_{\delta} = V_{CC} + (V_{\delta}-2V_{CC})e^{-\frac{\tau_0}{\tau_2}} \]
+\[ \boxed{\tau_0 = R_{B2}C_2 \ln \frac{V_{\delta}-2V_{CC}}{V_{\delta}-V_{CC}}} = 11,6 \mu s\]
+\end{itemize}
+\subsubsection{L'oscillateur contrôlé en tension}
+
+\newpage
+\begin{center}
+\textbf{B. Expérimentation}
+\end{center}
+
+\setcounter{section}{0}
+
+\section{Étude de l'oscillateur contrôlé en tension}
+
+\subsection{L'oscillateur d'Abraham et Bloch}
+
+On câble le montage de l'oscillateur d'Abraham et Bloch sans mettre les capacités. On utilise des transistors 2N2219A.
+On a les tensions $V_{BE1}$ = 0,57V et $V_{BE2}$ =0,59V. Pour les transistors utilisés, $V_{\delta} = 0,6$V donc les transistors sont en régime saturé. \\
+
+On connecte alors les capacités $C_1$ et $C_2$ et on observe les tensions $V_{C1}$ et $V_{C2}$ à l'oscilloscope.
+
+\begin{figure}[h!]
+\center
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I1osc.PNG}
+\caption{Observations de $V_{C1}$ (en haut) et de $V_{C2}$ (en bas)}
+\end{figure}
+
+\noindent Remarque : l'ajout d'un condensateur chimique entre $V_{CC}$ et 0V permet de supprimer du bruit 50Hz qui provient de l'alimentation stabilisée.
+
+\subsubsection*{Simulation à l'aide de PSPICE}
+
+\begin{itemize}
+\item Dans un premier temps, l'oscillateur ne démarre pas. En effet, notre étude supposait en condition initiale un état avec un transistor saturé et l'autre bloqué. En réalité, c'est du bruit ou l'imperfection des valeurs des composants qui permet de faire basculer le système dans l'un ou l'autre des états lors de la mise sous tension. La simulation ne prend pas cela en compte, il faut donc préciser une condition initiale sur une des grandeurs (par exemple $V_{B1} = 0$) pour faire démarrer l'oscillateur.
+\newpage
+
+\item On reprend la simulation et on affiche les tensions $V_{B1},V_{B2},V_{C1}$ et $V_{C2}$.
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I1sim4.PNG}
+\caption{Tensions $V_{B1},V_{B2},V_{C1}$ et $V_{C2}$ simulées}
+\end{figure}
+
+Plus particulièrement, on s'intéresse aux tensions $V_{B1}$ et $V_{C1}$ observées précédemment sur le montage réel.
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I1sim.PNG}
+\caption{Tensions $V_{B1}$ et $V_{C1}$ simulées}
+\end{figure}
+
+Pour mesurer le temps de montée de $V_{C1}$ à 90$\%$, c'est-à-dire à 4,5V puisque $V_{C1}$ varie entre 0V et 5V, on utilise le curseur du logiciel. Le temps de montée est de 1,13$\mu s$.
+
+Le logiciel propose une analyse mathématique des signaux simulés et on peut notamment en extraire la fréquence. On trouve $f=45$kHz.
+
+\subsection*{Retour à la maquette}
+
+\item On se propose de déterminer le temps de montée et la fréquence du signal observé $V_{C1}$. On utilise les fonctions Mesures et Curseurs de l'oscilloscope.
+
+\newpage
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I1oscfreq.PNG}
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I1osc90.PNG}
+\caption{Détermination de la fréquence et du temps de montée de $V_{C1}$ sur le montage}
+\end{figure}
+
+On a donc un temps de montée de $1,46\mu s$ et une fréquence de 46 $kHz$. Ces valeurs sont assez proches de celles obtenues par simulation. La précision des mesures et une éventuelle dispersion de la valeur des composants peuvent expliquer de faibles écarts.
+
+En conclusion, la modélisation réalisée est assez fidèle au montage réel.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+\subsection{L'oscillateur d'Abraham et Bloch avec circuits de mise en forme}
+À l'aide du logiciel DSPICE, on relève les formes d'onde de $V_{B1}, V_{B2}, V_{C1}$ et $V_{C2}$ du montage avec circuits de mise en forme.
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.8]{AATC/I2sim.PNG}
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I2simfreq.PNG}
+\caption{Oscillateur d'Abraham et Bloch avec circuits de mise en forme}
+\end{figure}
+
+Par rapport au montage précédent, les tensions $V_{C2}$ et $V_{C2}$, qui évoluaient selon la charge d'un condensateur, ont davantage la forme d'un créneau d'amplitude 5V et de valeur moyenne 2,5V.
+
+La fréquence d'oscillation, de 45kHz, est inchangée.
+
+\subsection{L'oscillateur contrôlé en tension}
+
+On utilise la "simulation paramétrique" pour effectuer plusieurs simulation où on fait varier le paramètre $E$, tension d'entrée du VCO.
+
+On peut, à l'aide du menu de fonctions mathématiques, tracer alors la fréquence d'oscillation en fonction de $E$.\\
+
+La pente de la caractéristique est de -21 kHz/V, donc en valeur absolue le gain du VCO est $|K_3|$ = 21 kHz/V.
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I3f(E).PNG}
+\caption{Caractéristique  fréquence / tension du VCO (simulation)}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\textit{Utilisation de la maquette}\\
+
+En appliquant une tension constante (alimentation stabilisée) à l'entrée du VCO, on observe pour $V_{C1}$ et $V_{B1}$ :
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/I3maq.PNG}
+\caption{Allure de $V_{C1}$ et $V_{B1}$ observées sur la maquette}
+\end{figure}
+
+On obtient bien des créneaux d'amplitude 5V, et de valeur moyenne 2,5V.\\
+
+\newpage
+On relève expérimentalement la caractéristique fréquence / tension :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.6]{AATC/carac.png}
+\caption{Caractéristique expérimentale fréquence / tension du VCO}
+\end{figure}
+
+La sensibilité du VCO est donc en valeur absolue de 24,5kHz/V. Cette sensibilité et du même ordre de grandeur que celle attendue dans la préparation et la simulation. L'écart peut se justifier par les défauts physiques induits par les composants.\\
+
+La fréquence $f_m$ correspondant à la moitié de la tension d'alimentation est 46.5kHz.
+
+\newpage
+\section{Étude du comparateur de phase OU EXCLUSIF}
+On se propose de vérifier le bon fonctionnement du circuit 74HC86 (OU EXCLUSIF) implanté sur la maquette.
+
+On utilise un GBF à deux sorties pour générer des signaux TTL déphasés et on observe la sortie du OU EXCLUSIF pour des signaux déphasés de 90 puis 180 degrés.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{AATC/II90.PNG}
+\includegraphics[scale=0.2]{AATC/II90XOR.PNG}
+\caption{Entrées déphasées de 90 degrés et sorties du OU EXCLUSIF}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{AATC/II180.PNG}
+\includegraphics[scale=0.2]{AATC/II180XOR.PNG}
+\caption{Entrées déphasées de 180 degrés et sorties du OU EXCLUSIF}
+\end{figure}
+
+On a bien le comportement attendu du OU EXCLUSIF.\\
+
+On utilise ensuite la fonction "Mesure / Moyenne" de l'oscilloscope pour tracer la caractéristique valeur moyenne / déphasage entre les entrées.\\
+
+\noindent Il faut afficher un nombre suffisant de périodes à l'écran de l'oscilloscope pour que le résultat de la moyenne soit correct.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.8]{AATC/xor.png}
+\caption{Valeur moyenne du signal de sortie du XOR en fonction de $\phi/\pi$, ($\phi$ déphasage entre les entrées)}
+\end{figure}
+
+La valeur de $K_1$ correspond à la pente de la caractéristique, donc en valeur absolue, $|K_1| \approx \frac{5,1}{\pi}$ V/rad.s
+
+Cette valeur est très proche de celle donnée dans la préparation.
+
+\newpage
+\section{Boucle à verrouillage de phase}
+
+\subsection{Étude de l'asservissement en fréquence}
+
+On réalise le montage avec la fréquence de coupure du passe-bas $f_C = 5$ kHz.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.3]{AATC/III145k.png}
+\caption{Boucle accrochée pour $f \approx f_m$ (45kHz)}
+\end{figure}
+
+\begin{multicols}{2}
+Plage de verrouillage :
+\[ [f_{Vmin} , f_{Vmax} ] = [15,6 kHz,107kHz ]\]
+Plage de capture :
+\[ [f_{Cmin} , f_{Cmax} ] = [25,4 kHz,61kHz ]\]
+\end{multicols}
+
+On a bien  $ [f_{Cmin} , f_{Cmax} ] \subset [f_{Vmin} , f_{Vmax} ]$.
+
+La largeur de la plage de capture correspond à 36 kHz. En toute rigueur, celle-ci devrait être égale à $2f_c$. Cependant, notre filtre passe-bas n'est pas idéal, et même si $|f-f_0| > f_c$, l'atténuation du filtre n'est pas suffisante pour empêcher l'accrochage de la boucle.
+
+\subsection{Influence du filtre}
+
+On change la fréquence de coupure du filtre $f_c =$ 1kHz.
+\begin{multicols}{2}
+Plage de verrouillage :
+\[ [f_{Vmin} , f_{Vmax} ] = [10 kHz,104kHz ]\]
+Plage de capture :
+\[ [f_{Cmin} , f_{Cmax} ] = [36 kHz,50kHz ]\]
+\end{multicols}
+
+La plage de verrouillage ne change pas. En revanche, la plage de capture a été resserrée.
+
+Nous n'avons pas eu le temps de finir l'étude de la relation entre largeur de la plage de capture et fréquence de coupure du passe-bas.
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TP2/auto/TP2.el

@@ -0,0 +1,20 @@
+(TeX-add-style-hook
+ "TP2"
+ (lambda ()
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+                     '(("subfiles" "../../Cours_M1.tex")))
+   (add-to-list 'LaTeX-verbatim-macros-with-braces-local "hyperref")
+   (add-to-list 'LaTeX-verbatim-macros-with-braces-local "hyperimage")
+   (add-to-list 'LaTeX-verbatim-macros-with-braces-local "hyperbaseurl")
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+   (add-to-list 'LaTeX-verbatim-macros-with-delims-local "path")
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+ :latex)
+

431-Electronique_transmission/TP3/TP3.tex

@@ -0,0 +1,476 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+
+\newcommand{\nomTD}{TP3: Modulation et démodulation d'amplitude}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+\renewcommand{\auteur}{Aymeric Arnould, Tom Colinot}
+
+\title{\nomTD}
+\author{\auteur}
+
+\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
+\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{center}
+\begin{Large}
+A. Préparation
+\end{Large}
+\end{center}
+
+\section{La modulation d'amplitude}
+
+\subsection{Définitions}
+
+\begin{itemize}
+\item On s'intéresse à la transmission d'un signal informatif $s_{inf}(t)$ de spectre borné $[F_{min},F_{max}]$. Ici, on prend un signal sinusoïdal $s_{inf}(t) = S_m\cos(\Omega t)$. \\
+
+Le signal porteur est $p(t)=S_p\cos(\omega_0 t)$, avec $\omega_0 >> \Omega$.\\
+
+\item Les expressions des signaux modulés en amplitude sont alors :
+
+\begin{multicols}{2}
+- pour la modulation à double bande latérale à porteuse conservée (DBPC) :
+\[s(t)=S_p[1+m\cos(\Omega t)]\cos(\omega_0 t)\]
+- pour la modulation à double bande latérale à porteuse supprimée (DBPS) :
+\[s(t)=S_p[m\cos(\Omega t)]\cos(\omega_0 t)\]
+\end{multicols}
+\end{itemize}
+
+\subsection{Caractéristiques d'une onde modulée en amplitude}
+
+\subsubsection{Analyse temporelle}
+
+On peut tracer, à l'aide de Matlab, des signaux modulés. Ici $s_{inf}(t)$ est sinusoïdal, avec $S_m=0,8,\quad \Omega=2rad/s$, et $S_p=1,2,\quad \omega_0=100rad/s$.
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.16]{DBPC05.png}
+\includegraphics[scale=0.16]{DBPC12.png}
+\caption{DBPC : Allures de $s(t)$ et $s_{inf}(t)$, pour m = 0,8 puis m = 1,2}
+\end{figure}
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.16]{DBPS.png}
+\caption{DBPS : Allures de $s(t)$ et $s_{inf}(t)$}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Analyse spectrale}
+
+Dans le cas d'un signal modulant sinusoïdal, on a
+\begin{itemize}
+\item en DBPC :
+\[ s(t) = S_p[1+m\cos(\Omega t)]\cos(\omega_0(t)) = S_p\cos(\omega_0 t) + \frac{S_p m}{2}[\cos((\omega_0-\Omega)t)+\cos((\omega_0+\Omega)t)]\]
+Le spectre de $s(t)$ est donc constitué de trois raies, deux raies d'amplitude $\frac{S_p m}{2}$ à $\omega_0-\Omega$ et $\omega_0+\Omega$, de part et d'autre d'une raie à $\omega_0$ d'amplitude $S_p$.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (6,0) node[right]{$\omega$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (0,3) node[left]{$Amplitude$};
+\draw (4,0)node[below]{$\omega_0$} -- (4,2);
+\draw (3,0)node[below]{$\omega_0-\Omega$} -- (3,1);
+\draw (5,0)node[below]{$\omega_0+\Omega$} -- (5,1);
+\draw [dotted] (0,2) node[left]{$S_p$} -- (6,2);
+\draw [dotted] (0,1) node[left]{$\frac{S_p m}{2}$} -- (6,1);
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Spectre de $x(t)$ dans le cas DBPC}
+\end{figure}
+
+\item en DBPS :
+\[ s(t) = S_p[m\cos(\Omega t)]\cos(\omega_0(t)) = \frac{S_p m}{2}[\cos((\omega_0-\Omega)t)+\cos((\omega_0+\Omega)t)]\]
+Le spectre de $s(t)$ est donc constitué de deux raies d'amplitude $\frac{S_p m}{2}$ à $\omega_0-\Omega$ et $\omega_0+\Omega$.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (6,0) node[right]{$\omega$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (0,3) node[left]{$Amplitude$};
+\draw (3,0)node[below]{$\omega_0-\Omega$} -- (3,1);
+\draw (5,0)node[below]{$\omega_0+\Omega$} -- (5,1);
+\draw [dotted] (0,1) node[left]{$\frac{S_p m}{2}$} -- (6,1);
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Spectre de $x(t)$ dans le cas DBPS}
+\end{figure}
+
+\end{itemize}
+
+Avec un analyseur de spectres (qui trace le spectre du signal temporel), on peut déterminer le type de modulation en comptant le nombre de raies (DBPC s'il y a 3 raies, DBPS s'il y en a 2). La visualisation du spectre donne également l'encombrement spectral du signal modulé (ici, $\frac{2\Omega}{2\pi}$.)
+
+\subsubsection{Mesure du taux de modulation m}
+
+\begin{itemize}
+\item \emph{Analyse spectrale :} d'après l'étude précédente dans le cas DBPC, si on pose $A_{\omega_0}$ (resp. $A_{\omega_0-\Omega}$) l'amplitude de la composante à $\omega_0$ (resp. $\omega_0-\Omega$) de $s(t)$, alors \[m=\frac{2A_{\omega_0-\Omega}}{A_{\omega_0}}\]
+
+\item \emph{Visualisation de l'onde modulée en amplitude :} dans le cas DBPC, \[s(t) = S_p[1+m\cos(\Omega t)]\cos(\omega_0 t)\]
+En notant $Max$ le maximum de l'enveloppe du signal, $min$ le minimum, on a
+\[m= 2\frac{Max-min}{Max+min}\]
+
+\item \emph{Méthode du trapèze :} dans le cas DBPC, en traçant $s(t)$ en fonction de $s_{inf}(t)$, avec l'oscilloscope en mode X-Y :
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.4]{DBPCXY.png}
+\caption{Tracé de $s(t)$ en fonction de $s_{inf}(t)$, DBPC}
+\end{figure}
+En effet, on a : $s(t) = S_p(1+ks_{inf}(t))\cos(\omega_0 t)$
+
+L'enveloppe tracée en rouge est donc la droite $y(t)=S_p(1+ks_{inf}(t))$. Ainsi, $S_p$ est l'ordonnée à l'origine de cette droite, et $kS_p$ est sa pente. 
+
+De plus, comme $s_{inf}(t)=S_m\cos(\Omega t)$, $s_{inf}$ varie entre $-S_m$ et $S_m$ qui définissent l'axe des abscisses sur lequel le tracé a été effectué.\\
+
+Dans le cas DBPS, le même tracé donne :
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.4]{DBPSXY.png}
+\caption{Tracé de $s(t)$ en fonction de $s_{inf}(t)$, DBPS}
+\end{figure}
+
+On sait que \[s(t) = S_pks_{inf}(t)\cos(\omega_0 t)\]
+L'enveloppe tracée en rouge est donc une droite de pente $S_pk$ passant par l'origine. Comme précédemment, on a aussi la valeur de $S_m$ par lecture sur l'axe des abscisses. On peut donc en déduire la valeur de $m=kS_m$.\\
+
+La méthode précédente fournissait les valeurs de $m$ et $S_p$. Ici, on a aussi accès à $S_m$ (ou $k$).
+\end{itemize}
+
+\section{Techniques de démodulation d'amplitude}
+
+\subsection{Démodulation par détection d'enveloppe et filtrage}
+
+\begin{itemize}
+\item \emph{Principe :} lorsque $s(t)$ est positive et augmente, la capacité se charge et $r(t) = s(t)$.
+
+Lorsque $s(t)$ est maximale puis décroît, alors $s(t) < r(t)$ et $D_1$ se bloque : $C_1$ se décharge dans $R_1$ et $r(t)$ décroît selon une loi exponentielle.
+
+Il faut alors bien choisir $R_1$ et $C_1$ pour que la décharge ne soit pas trop rapide, afin que $r(t)$ ne varie pas trop entre deux pics maxima consécutifs de $s(t)$. 
+\item Lors de la décharge de $C_1$ dans $R_1$ (aucun courant ne traverse la diode) :
+\[ r(t) = -R_1C_1\frac{dr(t)}{dt} \]
+\item On en déduit donc
+\[ r(t) = r_0e^{-\frac{t-t_1}{R_1C_1}} \] où $r_0$ est la valeur en début de décharge, c'est-à-dire la valeur de $s(t)$ en $t=t_1$. Cette valeur est le maximum du signal $s(t)$, soit $S_p(1+m\cos(\Omega t_1))$. \\
+La pente de la droite de décharge du condensateur à l'instant $t_1$ est donc \[\frac{dr(t)}{dt_1}|_{t=t_1}= -\frac{S_p}{R_1C_1}(1+m\cos(\Omega t_1))\]
+\item L'enveloppe a pour expression temporelle $S_p(1+m\cos(\Omega t))$, donc la pente de la tangente de l'enveloppe du signal modulé à l'instant $t_1$ est
+\[-m\Omega S_p\sin(\Omega t_1)\]
+\item Pour avoir une bonne restitution, il faut que la pente de la droite de décharge  en $t_1$ soit légèrement plus négative que la pente de la tangente de l'enveloppe quel que soit $t_1$, c'est-à-dire que
+\[-\frac{S_p}{R_1C_1}(1+m\cos(\Omega t_1))<-m\Omega S_p\sin(\Omega t_1)\]
+\[R_1C_1 < \frac{1+m\cos(\Omega t_1)}{m\Omega\sin(\Omega t_1)}\]
+
+On pose $y(t) = \frac{1+m\cos(\Omega t)}{\Omega m \sin(\Omega t)}$. On a donc $R_1C_1 < y(t_1)$. Montrons que la fonction $y(t)$ admet un maximum :
+\begin{align*}
+\frac{dy(t)}{dt} = 0 & \Leftrightarrow \frac{d}{dt}(\frac{1}{\sin(\Omega t)} + m\frac{1}{\tan(\Omega t)}) = 0 \\
+& \Leftrightarrow \frac{\Omega \cos(\Omega t)}{\sin(\Omega t)^2} - m \Omega \frac{1}{\sin(\Omega t)^2} =0 \\
+& \Leftrightarrow \Omega t_1 = \arccos(-m)  
+\end{align*}
+
+On a alors  \[y(t_1) \leq y(\arccos(-m)) = \frac{1-m^2}{\Omega m \sin(\arccos(-m))} = \frac{1-m^2}{\Omega m \sqrt{1-m^2}} = \frac{\sqrt{1-m^2}}{2\pi Fm}\]
+
+et donc
+\[R_1C_1 < \frac{\sqrt{1-m^2}}{2\pi Fm}\]
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.8]{R1C1.png}
+\caption{Valeurs maximales de $\tau = R_1C_1$ en fonction de $F$, pour différentes valeurs de $m$}
+\end{figure}
+
+\item Lorsque $m \rightarrow 1$, $R_1C_1 \rightarrow 1$ : la modulation de la sinusoïde est trop importante pour pouvoir être suivie par le condensateur. Lorsque la fréquence du signal modulant se rapproche de la fréquence de la porteuse, on ne détecte plus rien car la détection suit les crêtes de la porteuse.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+
+\subsection{Démodulation cohérente}
+
+\subsubsection{Principe de la démodulation cohérente et intérêt}
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.5]{detec.png}
+\caption{Structure de principe d'un détecteur cohérent}
+\end{figure}
+
+On considère d'abord $p_r(t)$ identique à la porteuse $p(t)$.
+Ainsi, on a 
+\begin{multicols}{2}
+DBPC :
+\begin{align*}
+u(t) & = kp(t)^2(1+ks_{inf}(t)) \\
+& = \frac{kS_p^2}{2}(1+\cos(2\omega_0 t))(1+m\cos(\Omega t)) 
+\end{align*}
+Le spectre comporte des raies à $\Omega$, $2\omega_0$, $2\omega_0+\Omega$, $2\omega_0-\Omega$.
+
+DBPS :
+\begin{align*}
+u(t) & = k^2p(t)^2s_{inf}(t)\\
+& = \frac{k^2S_p^2}{2}\cos(\Omega t)(1+\cos(2\omega_0 t))
+\end{align*}
+Le spectre comporte des raies à $\Omega$, $2\omega_0+\Omega$, $2\omega_0-\Omega$
+\end{multicols}
+
+Comme $\Omega << \omega_0$, si on utilise un passe-bas qui laisse passer $\Omega$ mais coupe le reste, on restitue bien le signal modulant.\\
+
+
+On considère maintenant $p_r(t)$ déphasée d'un angle $\phi$ par rapport à $p(t)$.
+
+On a donc 
+\begin{align*}
+u(t) & = (1+s_{inf}(t))p(t)p_r(t) \\
+& = (1+m\cos(\Omega t))S_p\cos(\omega_0 t)S_p\cos(\omega_0 t + \phi) \\
+& = S_p^2(\frac{\cos(2\omega_0 t + \phi) + \cos(\phi)}{2}+\frac{m}{2}(\cos(\phi)\cos(\Omega t) + \frac{\cos((2\omega_0-\Omega)t+\phi) + \cos((2\omega_0+\Omega)t+\phi)}{2}))
+\end{align*}
+
+Après filtrage, il ne reste qu'une composante continue et une composante à $\Omega$ dont l'amplitude (positive par définition) varie en $|\cos(\phi)|$.
+
+\subsubsection{Dimensionnement du filtre passe-bas}
+On utilise un filtre passe-bas du second ordre réalisé par une structure de Rauch.
+\[F_{PB}(p)=\frac{-1}{1+3R_0C_2p+R_0^2C_1C_2p^2}\]
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.5]{PB.png}
+\caption{Filtre passe-bas (Structure de Rauch)}
+\end{figure}
+
+On a donc $\omega_{0PB} = \frac{1}{R_0\sqrt{C_1C_2}}$ et $\xi=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$
+
+On impose un coefficient d'amortissement du filtre $\xi=\frac{1}{\sqrt{2}}$, ce qui est bien vérifié avec les valeurs de $C_1$ et $C_2$.
+
+Pour avoir une fréquence de coupure $f_c=20kHz$, il faut $R_0=3,7 k\Omega$.
+\section{Étude d'une chaîne de transmission}
+
+\subsection{Modélisation du canal de transmission}
+
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.4]{canal.png}
+\caption{Modélisation du canal de transmission}
+\end{figure}
+
+
+\begin{itemize}
+\item \emph{Étude du bloc qui ajoute le bruit.} \\
+Au bornes de l'amplificateur opérationnel
+\begin{align*}
+V_- & = \frac{B/R+V_1/R}{2/R} = \frac{B+V_1}{2} \\
+V_+ & = \frac{S/R}{2/R} = \frac{S}{2}
+\intertext{En considérant l'amplificateur parfait :}
+V_1 & = \frac{S-B}{2}
+\end{align*}
+
+\item \emph{Fonction de transfert du filtre passe-bas utilisé}\\
+\[F_{PB}(p)=\frac{-1}{1+3R_0C_{CL2}p+R_0^2C_{CL1}C_{CL2}p^2} \quad \avec R_0=1,2k\Omega \]
+
+On a donc $\omega_{0PB} = \frac{1}{R_0\sqrt{C_{CL1}C_{CL2}}}$ et $\xi=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{C_{CL2}}{C_{CL1}}}$.\\
+
+
+On impose un coefficient d'amortissement du canal $\xi=\frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\frac{3}{2}\sqrt{\frac{C_{CL2}}{C_{CL1}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ soit \[\frac{C_{CL2}}{C_{CL1}}=\frac{2}{9}\]
+
+\item \emph{Atténuateur} : on a $\frac{V_2}{6,8k\Omega}+\frac{V_1}{R}=0$ donc l'atténuateur a un gain de $-\frac{R}{6,8k\Omega}$.
+\end{itemize}
+
+\newpage
+\begin{center}
+\begin{Large}
+B. Expérimentation
+\end{Large}
+\end{center}
+
+\setcounter{section}{0}
+
+\section{Caractéristiques de la modulation d'amplitude}
+
+Le multiplieur AD633 effectue l'opération
+\[S = kXY + W\]
+
+Dans un premier temps, on veut mettre $W$ à 0 donc on relie les bornes $B$ et $gnd$ avec un fil.
+
+\begin{itemize}
+\item On applique sur les deux entrées la même tension sinusoïdale, de fréquence 10kHz, d'amplitude 1V.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{gain_k.png}
+\caption{$s(t)=kx_0^2\sin^2(\omega_0 t)$, $x_0=1V$, $f_0=10kHz$}
+\end{figure}
+
+On obtient un signal $s(t)=s_0\sin^2(\omega_0 t)$, avec $s_0=100mV$. On en déduit donc $k=0,1$.
+
+La valeur de $k$ ne change pas à 70kHz.
+
+\item On applique sur une des entrées le signal modulant de fréquence 5kHz et sur l'autre le signal porteur à 70kHz. Pour l'instant, on est en DBPS car on ne fait que multiplier les deux entrées entre elles
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPS705.png}
+\caption{DBPS : $s(t)=kp(t)s_{inf}(t)$, modulante $F=5kHz$, porteuse $f_0=70kHz$}
+\end{figure}
+
+On observe bien une porteuse à 70kHz modulée par la modulante à 5kHz.
+\end{itemize}
+
+
+
+\subsection{Cas de la modulation D.B.P.C.}
+
+Pour réaliser une DBPC, on relie les bornes A et B sur la plaquette à l'aide d'un filtre. Cela revient à ajouter la porteuse au signal de sortie :
+\[s(t) = kS_pS_m[\cos(\omega_0 t)\cos(\Omega t)]+S_p\cos(\omega_0 t)\]
+
+\subsubsection*{Modulation classique}
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPC1.png}
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPC5.png}
+\caption{Signal temporel $s(t)$ en modulation classique, avec $S_m=1V$ puis $S_m=5V$}
+\end{figure}
+
+Pour le second cas, on voit que l'amplitude de la modulation est de 4V, et la valeur moyenne de 4V. D'après la préparation, en notant $Max$ le maximum de l'enveloppe du signal, $min$ le minimum, on a
+\[m= 2\frac{Max-min}{Max+min}\] donc on a ici $m=0,5$. Ceci correspond à la valeur attendue, car avec $S_m=5V$, $m=kS_m=0,5$.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPC5FFT.png}
+\caption{FFT de $s(t)$ en modulation classique, FFT, avec $S_m=5V$}
+\end{figure}
+
+D'après la préparation , si on note $A_{\omega_0}$ (resp. $A_{\omega_0-\Omega}$) l'amplitude de la composante à $\omega_0$ (resp. $\omega_0-\Omega$) de $s(t)$, alors \[m=\frac{2A_{\omega_0-\Omega}}{A_{\omega_0}}\]
+
+Ainsi, avec $\Delta(Y)$ le rapport en dB des amplitudes des pics déterminés par FFT sur l'oscilloscope, \[m=2*10^{\frac{\Delta(Y)}{20}}\]
+
+On mesure $\Delta(Y)=-12.5dB$. On peut donc en déduire $m=0.47$.\\
+
+On retrouve donc bien par les deux méthodes (visualisation temporelle et analyse spectrale) la valeur du taux de modulation attendue.
+
+\subsubsection*{Surmodulation}
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{Surmod.png}
+\caption{Signal temporel $s(t)$ en surmodulation, avec $S_m=1,5V$ et pont diviseur de gain 0,1}
+\end{figure}
+
+On réalise à l'aide d'un pont diviseur :
+\[s(t) = kS_pS_m[\cos(\omega_0 t)\cos(\Omega t)]+0,1S_p\cos(\omega_0 t)\]
+
+On a donc le taux de modulation $m=\frac{kS_pS_m}{0,1S_p}=1,5$ avec $S_p=1V$.
+
+On peut le retrouver expérimentalement : l'amplitude de la modulation est de 0,75V, et sa valeur moyenne est 0,5V.
+
+On a donc \[m= 2\frac{Max-min}{Max+min}=0,75/0,5 = 1,5\]
+
+\newpage
+\subsection{Cas de la modulation D.B.P.S}
+
+Le signal modulé est alors :
+\[s(t)=kS_pS_m[\cos(\Omega t)\cos(\omega_0 t)]\]
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPS1.png}
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPS5.png}
+\caption{Signal temporel $s(t)$, avec $S_m=1V$ puis 5V}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DBPS5FFT.png}
+\caption{FFT de $s(t)$, avec $S_m=1V$}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\section{Techniques de démodulation d'amplitude}
+
+\subsection{Démodulation par détection d'enveloppe}
+
+On réalise un détecteur d'enveloppe avec $R_1=15k\Omega$ et $C_1=15nF$.\\
+
+Dans un premier temps, on regarde l'influence de $m$.
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DEOK.png}
+\includegraphics[scale=0.2]{DEKO.png}
+\caption{Détection d'enveloppe, $F=5kHz$, $m=0,1$ puis 0,4}
+\end{figure}
+
+On remarque que lorsque $m$ s'approche de 1, la détection se détériore. C'est ce qui avait été prévu en préparation : la décharge du condensateur est trop lente (par rapport aux variations de la modulante) pour suivre la modulation.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DEBF.png}
+\includegraphics[scale=0.2]{DEHF.png}
+\caption{Détection d'enveloppe, $F=50Hz$ puis $10kHz$, $m=0,1$}
+\end{figure}
+
+À basse fréquence, le signal modulant est bien restitué. À haute fréquence, la décharge du condensateur est trop lente (par rapport à la fréquence de la modulante) pour suivre la modulation.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{DE2F.png}
+\caption{Détection d'enveloppe pour $f_0=2F$}
+\end{figure}
+
+Lorsque la fréquence de la porteuse est proche de $2F$, la détection ne peut plus se faire car les fréquences sont trop proches pour pouvoir voir la modulation. 
+
+\newpage
+\subsection{Démodulation par détection synchrone : démodulation cohérente}
+
+On utilise le GBF 2 voies pour générer la porteuse et un signal synchrone avec la porteuse, avec un déphasage variable.\\
+
+Le signal en entrée du filtre est :
+\[u(t)  = (1+s_{inf}(t))p(t)p_r(t)  = (1+m\cos(\Omega t))S_p\cos(\omega_0 t)S_p\cos(\omega_0 t + \phi) \]
+On filtre et on ne récupère que la composante représentant la modulante . On relève son amplitude en fonction du déphasage entre porteuse et porteuse reconstituée.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.8]{Graphe.png}
+\caption{Amplitude du signal démodulé en fonction du déphasage entre $p(t)$ et $p_r(t)$}
+\end{figure}
+
+On retrouve une loi correspondant à un cosinus (en valeur absolue). 
+
+On montre donc qu'il est important d'avoir une porteuse et une porteuse reconstituée en phase pour récupérer le maximum de signal en sortie. Cependant, la démodulation synchrone fonctionne si le déphasage entre les deux signaux $p(t)$ et $p_r(t)$ reste faible.
+
+\newpage
+\section{Étude de la démodulation d'un signal bruité}
+
+\subsection{Le canal de transmission}
+
+On trace le diagramme de Bode du canal de transmission. Celui-ci devait avoir une fréquence de coupure de l'ordre de 100kHz et un amortissement proche de 0,707. \\
+Avec $R=6,8k\Omega$, pour avoir les conditions $\frac{C_{CL2}}{C_{CL1}}=0,22$ et $C_{CL1}C_{CL2}=5,5.10^{-20}$, on prend pour valeur numérique des condensateurs $C_1 = 330 pF$ et $C_2 = 100 pF$.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.7]{BodeCacanal.png}
+\caption{Diagramme de Bode du canal de transmission}
+\end{figure}
+
+Le filtre est bien un passe-bas d'ordre 2 de fréquence de coupure autour de $100kHz$.
+
+\subsection{Influence du bruit vis-à-vis de la démodulation synchrone}
+
+On introduit volontairement du bruit dans la transmission et on observe le signal de sortie. Pour un bruit modéré, le signal modulé est encore reconnaissable :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{NoiseMod.png}
+\caption{Signaux modulant et modulé, bruit modéré}
+\end{figure}
+
+Lorsque le signal est fortement bruité, (ici, l'amplitude du bruit est égale à l'amplitude de la modulante) le signal reconstitué est lui aussi fortement bruité mais la détection est tout de même réalisée :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{NoiseMAX.png}
+\caption{Signaux modulant et démodulé, bruit fort}
+\end{figure}
+
+Si le bruit reste limité, on montre que la démodulation est d'assez bonne qualité. En effet, on peut tracer la FFT du signal modulé en sortie du canal de transmission :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.2]{NoiseMod.png}
+\caption{Signal modulé transmis (en haut), signal démodulé (au milieu) et sa FFT (en bas)}
+\end{figure}
+
+Le signal démodulé est une sinusoïde bruité. Sa FFT présente un pic à 5kHz, ce qui montre qu'on récupère effectivement une modulante altérée.\\
+
+La détection synchrone permet, même en cas de signal fortement bruité, de récupérer de façon acceptable le signal modulant.
+\end{document}

431-Electronique_transmission/TP3/prepra.m

@@ -0,0 +1,37 @@
+Omega=2;
+Omega0=100;
+Sp=1.2;
+Sm=0.8;
+
+m=0.5;
+k=m/Sm;
+
+t=[0:0.001:5];
+
+sinf=Sm*cos(Omega*t);
+Sc=Sp*(1+m*cos(Omega*t)).*cos(Omega0*t);
+Ss=Sp*(m*cos(Omega*t)).*cos(Omega0*t);
+
+figure(1);
+plot(t,Ss,t,sinf);
+
+
+%{
+figure(1)
+plot(sinf,Sc)
+grid
+xlabel('sinf(t)')
+ylabel('s(t)')
+title('D.B.P.C')
+hold on
+plot(sinf,Sp*(1+k*sinf),'r')
+
+
+plot(sinf,Ss)
+grid
+xlabel('sinf(t)')
+ylabel('s(t)')
+title('D.B.P.S')
+hold on
+plot(sinf,Sp*k*sinf,'r')
+%}

431-Electronique_transmission/TP4/TP4.tex

@@ -0,0 +1,408 @@
+\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
+
+\newcommand{\nomTD}{TP4: Modulation et démodulation de fréquence}
+\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
+\renewcommand{\auteur}{Aymeric Arnould, Tom Colinot}
+
+
+\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}}
+\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
+
+\begin{document}
+
+\titre{\nomTD}
+
+\begin{center}
+\begin{Large}
+A. Préparation
+\end{Large}
+\end{center}
+
+\section{Modulation de fréquence}
+
+\subsection*{Définitions}
+On chercher à transmettre un signal informatif sinusoïdal \[s_{inf}(t) = S_m\cos(2\pi Ft)\]
+
+Le signal modulé est $s(t)=S_p\cos(\Phi(t))$, où $\Phi(t)$ contient l'information à transmettre :
+\[ \Phi(t) = 2\pi f_0 t + \int_0^t 2\pi K_f s_{inf}(u)du \]
+
+\subsection*{Propriétés d'une onde modulée en fréquence}
+\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{10mm}
+\item Avec les notations précédentes, on a 
+\begin{align*}
+s(t) & = S_p\cos(2\pi f_0 t + \int_0^t 2\pi K_f s_{inf}(u)du) \\
+& = S_p\cos(2\pi f_0t + 2\pi K_f S_m \frac{1}{2\pi F} \sin(2\pi F t) \\
+s(t) & = S_p\cos(2\pi f_0 t + \beta \sin(2\pi F t) \quad \avec \beta = \frac{\Delta f}{F} \et \Delta f = K_fS_m
+\end{align*}
+
+\item Grâce à l'identité de Bessel, on peut écrire
+\[s(t) = S_p \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty} J_n(\beta)\cos(2\pi (f_0+nF)t)\]
+Sachant que $|J_n(beta)|=|J_{-n}(\beta)|$, le spectre de $s(t)$ sera constitué de raies symétriques autour d'une raie à $f_0$. Théoriquement, ce spectre a un support spectral infini.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}[xscale=1.5]
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (7,0) node[right]{$f$} ;
+\draw [>=latex,->] (0,0) -- (0,2.5) node[left]{$Amplitude$};
+\draw (4,0)node[below]{$f_0$} -- (4,2);
+\draw (3,0)node[below]{$f_0-F$} -- (3,1);
+\draw (5,0)node[below]{$f_0+f$} -- (5,1);
+\draw (2,0)node[below]{$f_0-2F$} -- (2,1.5);
+\draw (6,0)node[below]{$f_0+2f$} -- (6,1.5);
+\draw [dotted] (0,2) node[left]{$S_p|J_0(\beta)|$} -- (4,2);
+\draw [dotted] (0,1) node[left]{$S_p|J_1(\beta)|$} -- (5,1);
+\draw [dotted] (0,1.5) node[left]{$S_p|J_2(\beta)|$} -- (6,1.5);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Allure du spectre de $s(t)$}
+\end{figure}
+
+D'après la règle empirique de Carson, 98\% de la puissance d'un signal modulé en fréquence se trouve dans la bande de fréquence utile donnée par $B_u = 2F(\beta +1) \approx2F\beta$ lorsque $\beta >>1$.
+
+\item On impose une excursion $\Delta f = 10$ kHz autour de la porteuse $f_0=60$ kHz.
+
+On se place dans le cas où la composante à $f_0$ s'annule.\\
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+\hline 
+$\beta$ tel que $J_0(\beta)=0$ & F & $J_1(\beta)$ & $J_2(\beta)$  & $J_3(\beta)$  & $J_4(\beta)$ & $J_5(\beta)$  \\ 
+\hline 
+2.375 & 4.21 kHz & 0.5254 & 0.4269 & 0.1935 & 0.0621 & 0.0155\\ 
+\hline 
+5.625 & 1.78 kHz & -0.3321 & -0.1534 & 0.2230 & 0.3912 & 0.3334 \\ 
+\hline 
+8.875 & 1.13 kHz & 0.2582 & 0.1170 & -0.2054 & -0.2559 & 0\\ 
+\hline 
+\end{tabular} 
+\end{center}
+
+Les différentes valeurs de $J_n(\beta)$ ont été obtenues à l'aide de la fonction \texttt{besselj(n,beta)} de Matlab.
+
+Dans le premier cas, on peut tracer le spectre du signal obtenu :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{beta2375.png}
+\caption{Spectre de $s(t)$ dans le cas $\beta = 2.375$}
+\end{figure}
+
+\item On considère le cas $\beta = 5$.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{beta5.png}
+\caption{Spectre de $s(t)$ dans le cas $\beta = 5$}
+\end{figure}
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\hline
+$\beta$ & $F$ & $B_u$ \\
+\hline
+5 & 2 kHz & 24 kHz \\ 
+\hline
+10 & 1 kHz & 22 kHz \\
+\hline
+15 & 0.67 kHz & 21.34 kHz \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\item La modulation de fréquence est plus difficile à mettre en place que la modulation en amplitude. De plus, ce n'est pas une transformation linéaire, la bande de base n'est pas seulement transposée, et le spectre du signal modulé est plus large que pour une modulation AM. Cependant, la modulation FM réduit l'effet du bruit (notamment bruit additif dû à la transmission) par rapport à la modulation AM.
+
+\item Si l'onde porteuse est un carré d'amplitude 5V et de valeur moyenne 2,5V, alors son spectre n'est plus une raie à $f_0$ mais un ensemble de raies à $f_0,3f_0...(2n+1)f_0$ avec des amplitudes en $\frac{1}{n}$. 
+
+On pourrait penser que le spectre du signal modulé est beaucoup plus large et comporte beaucoup plus de raies.
+
+Cependant, la seconde raie la plus importante a une amplitude 3 fois plus petite que celle à $f_0$. En terme d'énergie, elle compte donc pour environ 10 fois moins que la première. Cela signifie qu'on peut presque la négliger, et que l'on doit retrouver un spectre similaire à celui d'une onde sinusoïdal.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Exemple de réalisation d'un modulateur de fréquence}
+
+Notre signal modulant est un signal dont l'amplitude est variable. On cherche un circuit permettant de transposer des variations de tension en variations de fréquence. On utilise donc un oscillateur contrôlé en tension (VCO) réalisé dans un TP précédent. On choisit un VCO dont la plage de linéarité permet de générer une fréquence $f_0\pm \Delta f$ i.e. une fréquence appartenant à [50kHz,60kHz].
+
+\section{Démodulation par boucle à verrouillage de phase}
+
+\subsection{Étude des éléments de la PLL}
+
+\subsubsection{Le VCO de la PLL}
+
+On souhaite démoduler un signal dont la porteuse est à 60kHz. Il faut donc que le VCO ait une fréquence centrale d'oscillation de 60kHz, avec une plage de linéarité suffisante pour que la PLL reste accrochée, pour toute fréquence de [50kHz,60kHz].\\
+
+On impose $R_2 = 10k\Omega$. Les abaques fournis dans la datasheet du 4046B nous permettent de choisir, avec $f_{min}=24kHz \et f_{max}=96kHz$,  \[C_1=3.3 \nano\farad \et \frac{R_2}{R_1}=4\]
+donc
+\[C_1=3.3 \nano\farad \et R_1 = 2.2\kilo\ohm\]
+
+\subsubsection{Le comparateur de phase}
+
+La caractéristique d'un comparateur de phase est une droite. Pour celui utilisé, on a sa caractéristique dans la datasheet et pour $V_{DD}=5 \volt$, la pente $K_1 =  2,8.10^{-2} \volt\per\degree$.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.8]{caracXOR.png}
+\caption{Caractéristique du comparateur de phase}
+\end{figure}
+
+Pour éviter que le comparateur de phase ne se verrouille sur fréquence harmonique non présente dans le signal, on utilise un condensateur en entrée du circuit pour filtrer les fréquences non utiles.
+
+
+\subsubsection{Le filtre}
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[scale=0.5]{filtresPB.png}
+\caption{Filtres passe-bas}
+\end{figure}
+
+Pour le filtre $F_1$ :
+\[F_1(p) = \frac{\frac{1}{C_3p}}{R_3+\frac{1}{C_3p}} = \frac{1}{1+\tau p} \avec \tau = R_3C_3\]
+
+Pour le filtre $F_2$ :
+\[F_2(p) = \frac{R'_3+\frac{1}{C_3p}}{R_3+R'_3+\frac{1}{C_3p}} = \frac{1+\tau_1 p}{1+\tau_2 p} \avec \tau_1 = R'_3C_3 \et \tau_2 = (R_3+R'_3)C_3\]
+
+
+\subsection{Choix des éléments du filtre pour réaliser un démodulateur de fréquence}
+
+\subsubsection{Mise en équation}
+Le schéma-bloc d'une boucle à verrouillage de phase est :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\sbEntree{E}
+
+\sbBloc[4]{comp}{Comparateur de phase}{E}           
+\sbRelier[$v_e(t)$]{E}{comp}
+
+\sbBloc[4]{pb}{Filtre passe-bas}{comp}
+\sbRelier[$v_1(t)$]{comp}{pb}
+
+\sbBloc[4]{sys}{VCO}{pb}
+\sbRelier[$v_2(t)$]{pb}{sys}
+
+\sbSortie[4]{S}{sys}
+\sbRelier[$v_s(t)$]{sys}{S}
+
+\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Schéma de principe d'une PLL}
+\end{figure}
+
+Lorsque la boucle est verrouillée, alors la fréquence  de $v_s(t)$ est la même que celle de $v_e(t)$. Par conséquent, si la fréquence de $v_e(t)$ est contrôlée par un signal modulant, alors on retrouve en entrée du VCO, qui contrôle la fréquence de $v_s(t)$, l'image du signal modulant.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\begin{tikzpicture}
+\sbEntree{E}
+
+\sbBloc[4]{int}{$\frac{2\pi}{p}$}{E}
+\sbRelier[$F_e(p)$]{E}{int}
+
+\sbComp[4]{comp}{int}                
+\sbRelier[$\Phi_e(p)$]{int}{comp}
+
+\sbBloc[4]{phcomp}{$K_1$}{comp}  
+\sbRelier{comp}{phcomp}
+
+\sbBloc[6]{H}{$F(p)$}{phcomp}      
+\sbRelier[$U_1(p)$]{phcomp}{H}
+
+\sbSortie[4]{S}{sys}
+\sbRelier[$U_2(p)$]{H}{S}       
+
+\sbDecaleNoeudy[4]{S}{R}
+\sbBlocr[12]{intr}{$K_2\frac{2\pi}{p}$}{R}
+\sbRelieryx{sys-S}{intr}
+\sbRelierxy[$\Phi_s(p)$]{intr}{comp}
+
+\end{tikzpicture}
+\caption{Schéma bloc de la PLL}
+\end{figure}
+On a donc :
+\[ U_2(p) = F(p)K_1\frac{2\pi}{p}(F_e(p) - K_2U_2(p)) \]
+La fonction de transfert en boucle fermée de ce schéma-bloc est :
+
+\[ \frac{U_2(p)}{F_e(p)} =  \frac{2\pi K_1F(p)}{p+2\pi K_1K_2 F(p)} \]
+
+En basse fréquence, $F(p)$ a un gain constant, donc on a la relation directe $U_2(p) = \frac{F_e(p)}{K_2}$ et $F_e(p)$ est proportionnelle au signal modulant.\\
+
+Il faut que la bande passante $f^{BF}$ soit suffisante pour laisser passer la fréquence maximale du signal modulant, mais qu'elle coupe les fréquences de la porteuse et celles introduites par la modulation pour assurer une démodulation correcte.
+
+\subsection{Étude dans le cas du filtre $F_1(p)$}
+Avec $F_1(p)=\frac{1}{1+\tau p} \avec \tau = R_3C_3$, on obtient :
+\[ \frac{U_2(p)}{F_e(p)} = \frac{1}{K_2}\frac{1}{\frac{\tau}{2\pi K_1 K_2}p^2 + \frac{1}{2\pi K_1 K_2}p +1}\]
+
+On en déduit donc $f_{BF} = \sqrt{\frac{K_1 K_2}{2\pi \tau}}$ et $\xi = \frac{1}{2\sqrt{2\pi K_1 K_2 \tau}}$. 
+
+Ces deux paramètres ne peuvent donc pas être réglés indépendamment. \\
+
+En imposant $f_{BF}$, on a donc :
+\[ \tau = \frac{K_1 K_2}{2\pi f_{BF}^2} \et \xi = \frac{f_{BF}}{2K_1K_2} \]
+
+\subsection{Étude dans le cas du filtre $F_2(p)$}
+Avec $F_2(p) = \frac{1+\tau_1 p}{1+\tau_2 p} \avec \tau_1 = R'_3C_3 \et \tau_2 = (R_3+R'_3)C_3$, on a 
+\[ \frac{U_2(p)}{F_e(p)} = \frac{1}{K_2} \frac{1+\tau_1 p}{\frac{\tau_2}{2\pi K_1K_2}p^2 + (\tau_1+\frac{1}{2\pi K_1K_2})p+1}\]
+
+On a donc 
+$f_{BF} = \sqrt{\frac{K_1 K_2}{2\pi \tau_2}}$ et $\xi = \frac{1+2\pi K_1 K_2 \tau_1}{2\sqrt{2\pi K_1 K_2 \tau_2}}$.
+
+On peut donc régler $f_{BF}$ en agissant uniquement sur $\tau_2$, puis régler $\xi$ en agissant sur $\tau_1$.\\
+
+En imposant $f_{BF}$ et $\xi$, pn a alors :
+
+\[ \tau_2 = \frac{K_1K_2}{2\pi f_{BF}^2} \et \tau_1 = \frac{2\xi K_1 K_2 - 1}{2\pi K_1 K_2} \]
+
+\newpage
+\begin{center}
+\begin{Large}
+B. Manipulation
+\end{Large}
+\end{center}
+\setcounter{section}{0}
+
+\section{Étude des propriétés d'une onde modulée en fréquence}
+
+On génère le signal modulée en fréquence avec le GBF : on choisit un signal porteur sinusoïdal de fréquence 60 kHz, d'excursion de fréquence 10kHz. On fait ensuite varier la valeur de $F_M=F$, c'est-à-dire la largeur de la bande de base.
+
+\begin{itemize}\setlength{\itemsep}{10mm}
+\item  On cherche les valeurs de la fréquence de modulation $F$ (i.e. de $\beta$) qui annulent la composante à la fréquence centrale des spectres.\\
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{|c|c|c|}
+\hline 
+$\beta$ tel que $J_0(\beta)=0$ & F (théorique) & F (relevée)  \\ 
+\hline 
+2.375 & 4.21 kHz & 4,16 kHz \\ 
+\hline 
+5.625 & 1.78 kHz & 1,81 kHz \\ 
+\hline 
+8.875 & 1.13 kHz & 1,15 kHz \\ 
+\hline 
+\end{tabular} 
+\end{center}
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{beta2375.png}
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{bessel03.png}
+\caption{Spectres théorique et relevé, pour $\beta=2.375$, et pour une fréquence F théorique de 4,21 kHz et relevée de 4,16 kHz}
+\end{figure}
+
+Les observations sont en accord avec la préparation.
+
+\item On mesure ensuite la largeur de spectre du signal modulé pour les valeurs de $\beta$ égales à 5,10 puis 15. Comme on ne peut pas facilement déterminer la bande pour laquelle la puissance du signal est de 98 \%, on place les curseurs sur la bande théorique déterminée et on détermine l'importance des raies rejetées par rapport aux autres.\\
+
+\newpage
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{carson5.png}
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{carson10.png}
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{carson15.png}
+\caption{Spectres et bandes de Carson pour $\beta$ = 5,10 puis 15}
+\end{figure}
+
+\newpage Dans le cas $\beta=5$, où la bande théorique de Carson est de 24 kHz, on a le spectre suivant :
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{carson5dB.png}
+\caption{Spectre et bande de Carson pour $\beta$ = 5}
+\end{figure}
+
+La première raie rejetée a un rapport d'amplitude de -10 dB par rapport à la plus énergétique, ce qui signifie qu'il y a un rapport 10 entre les deux amplitudes, donc un rapport 100 en puissance. Toutes les raies rejetées sont au moins 100 fois moins énergétiques que les plus importantes : l'observation est bien en accord avec la règle de Carson.
+
+\item On considère un signal porteur carré d'amplitude 0-5V, de fréquence $f_0=2kHz$, $\beta = 5$
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{porteusecarree.png}
+\caption{Spectre du signal modulé dans le cas d'une porteuse carrée}
+\end{figure}
+
+Dans le cas d'une porteuse carrée, on observe un spectre plus large, mais similaire au spectre obtenu pour une porteuse sinusoïdale (Figure 6). En effet, les pics introduits par le caractère carré de la porteuse ont un rapport de plus de 26 dB avec les raies les plus importantes, c'est-à-dire un rapport d'amplitude de plus de 400. Ces raies sont donc vraiment négligeables, et la bande de Carson n'est pas modifiée dans le cas d'une porteuse carrée.
+\end{itemize}
+
+\section{Étude de l'émetteur}
+
+On trace la caractéristique $f(E)$ de l'oscillateur contrôlé en tension (VCO), pour $E$ allant de 0 à 4V.
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{f(E).png}
+\caption{Caractéristique $f(E)$ du VCO pour $E$ allant de 0 à 4V}
+\end{figure}
+
+La caractéristique est une droite d'équation : $f(E) = -25.10E+107.87$ (en kHz). Ainsi, pour avoir une fréquence porteuse de 60 kHz, il faut $E = 1.9V$. Pour obtenir une excursion de fréquence de 10 kHz, il faut avoir une amplitude de $\Delta E = 0,4V$.\\
+
+Avec le GBF, on génère donc un signal sinusoïdal de fréquence $F=2kHz$, d'amplitude peak-to-peak 0,8V et de valeur moyenne 1.83V. On obtient en sortie du VCO le signal modulé dont le spectre est donné ci-dessous :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=0.6\textwidth]{modVCO.png}
+\caption{Spectre du signal modulé en sortie du VCO}
+\end{figure}
+
+Le spectre du signal est centré sur $f_0 = 60kHz$. La bande de Carson est de 24kHz, ce qui était attendu pour un signal modulé de porteuse 60kHz, d'excursion 10kHz et ayant une modulante de fréquence 2kHz.
+
+\section{Étude du récepteur}
+
+\subsection{Étude de la PLL 4046B}
+
+\subsubsection{Caractérisation du VCO de la PLL}
+On prend $R_2 = 10k\Omega$, $R_1 = 2.2k\Omega$. Si on prend $C_1 = 3.3 nF$ pour obtenir une fréquence d'oscillation de $f_0 = 60 kHz$ à $E=2.5V$, alors on se trouve en limite de la plage de linéarité du VCO. 
+
+On préfère changer $C_1$ pour être vraiment dans la plage de linéarité. On prend $C_1=4,7nF$.\\
+
+On trace la caractéristique $f(E)$ du VCO de la PLL :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{f(E)2.png}
+\caption{Spectre du signal modulé en sortie du VCO}
+\end{figure}
+
+La plage de linéarité est de 38kHz à 118 kHz, pour une tension de polarisation comprise entre 2 et 11 V ($V_{DD} = 15V$). Le gain $K_2$ est de 9.42 kHz / V.
+
+\subsubsection{Comportement de la PLL}
+On place $R_3 = 12 k\Omega$ et $C_3 = 1nF$, soit une bande passante de $13 kHz$. 
+
+La plage de capture est [53kHz;120kHz]. La plage de verrouillage est [34kHz;125kHz].
+
+Avec des fréquences comprises entre 50 kHz et 70 kHz, la boucle peut se verrouiller sur les différentes fréquences du signal modulant.
+
+\newpage
+\subsection{Démodulation par boucle à verrouillage de phase}
+
+\subsubsection{Cas du filtre passe-bas de fonction de transfert $F_1(p)$}
+
+On utilise le premier VCO pour générer un signal modulé. On applique pour cela en entrée du VCO un signal carré d'amplitude 0.4V et de valeur moyenne 1.83V. La fréquence est $F=2 kHz$.\\
+
+On obtient en sortie de PLL le signal suivant :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{moddemod.png}
+\caption{Signal modulant et signal démodulé}
+\end{figure}
+
+On observe que le signal démodulé correspond à la réponse indicielle d'un système du second ordre. La pseudo pulsation du système est de l'ordre de $78.10^{3}$rad/s, et le premier dépassement d'environ 40\%.
+
+\newpage
+\subsubsection{Cas du filtre passe-bas de fonction de transfert $F_2(p)$}
+
+On utilise le deuxième filtre passe-bas afin de pouvoir régler indépendamment $\omega_0$ et $\xi$. En utilisant $R_3=R_3'$, on obtient la réponse suivante :
+
+\begin{figure}[h!]
+\centering
+\includegraphics[width=\textwidth]{moddemod2R.png}
+\caption{Signal modulant et signal démodulé}
+\end{figure}
+
+Les oscillations dues au filtre d'ordre 2 ont été amorties.
+
+\section*{Conclusion}
+
+Dans ce TP, nous avons mis en oeuvre une technique de modulation et de démodulation de fréquence. Nous avons étudié l'importance du choix des plages de fonctionnement des VCO, aussi bien lors de l'émission que lors de la boucle à verrouillage de phase servant à la démodulation.
+
+
+
+\end{document}