diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex index 69fc1bd..35ac115 100644 --- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex @@ -11,49 +11,49 @@ Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ a \end{rem} \begin{defin} -Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,s)$ où $s:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés : +Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés : \begin{enumerate} -\item Continuité : $s(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable. -\item Consistance : $s(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$. -\item Propriété de groupe : $s(\tau, s(t,x_0)) = s(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$. +\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable. +\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$. +\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$. \end{enumerate} \end{defin} \begin{rem} \begin{itemize} -\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $s(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase. -\item On dénote la trajectoire $s(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $s_t(x_0)$ ou $s_t$. -\item Suivant l'axiome de consistance, $s_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe : -\[ (s_{\tau} \circ s_t)(x_0) = (s_t \circ s_{\tau})(x_0) = s_{t+\tau}(x_0) \] -Ainsi l'application inverse de $s_t$ est $s_{-t}$ où $s_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue). +\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase. +\item On dénote la trajectoire $\chi(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$. +\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe : +\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \] +Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$ où $\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue). -En effet, montrons que $s_t$ est injective. +En effet, montrons que $\chi_t$ est injective. -Soit $y,z\in \D$ tels que $s_t(z)=s_t(y)$. -On a $z=s_0(z)=s(0,z)=s(t-t,z)=s(-t,s(t,z))=s(-t,s(t,y))=s(0,y)=y$ +Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$. +On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$ -$s_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=s(-t,z)$. +$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$. -Enfin, $s_t$ est continue sur $\R$ donc $s_{-t}$ est continue. +Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue. \end{itemize} \end{rem} \begin{exemple} Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état) -$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$ où $s(t,x)=e^{At}x$ où $A\in\R^n$ matrice d'évolution +$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$ où $\chi(t,x)=e^{At}x$ où $A\in\R^n$ matrice d'évolution -Ainsi $s_t(x) = e^{At}x$ où $s_t : +Ainsi $\chi_t(x) = e^{At}x$ où $\chi_t : \begin{cases} \R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x \end{cases} $ -On a $(s_{\tau} \circ s_t) (x) = s_{\tau}(s_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = s_{t+\tau}(x)$ +On a $(\chi_{\tau} \circ \chi_t) (x) = \chi_{\tau}(\chi_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = \chi_{t+\tau}(x)$ \end{exemple} \begin{prop} -Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{s(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$. +Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$. \end{prop} \begin{exemple} @@ -81,8 +81,10 @@ Une fonction lipschitzienne est uniformément continue. \end{rem} \begin{thm}[Cauchy-Lipschitz] -Soient le système dynamique défini par \[\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{\ast}\] - +Soient le système dynamique défini par +\[ +\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{$\ast$} +\] Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$ \end{thm} @@ -140,27 +142,27 @@ Ainsi, si $x$ et $y$ sont proches de 0, on peut rendre la partie à gauche de l' \begin{defin} Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système -\[G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad (*) \] +\[G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}\label{eq:sys} \] -si $s_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$ où $s_t(M) = \{ s_t(x), x\in M \}$.\\ +si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$ où $\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\ -Il est négativement invariant suivant la dynamique (*) si $s_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant (*) si $s_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$ +Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$ \end{defin} \begin{prop} -Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant (*), alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant. +Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant. \end{prop} \begin{proof} Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$. -Puisque $M$ est invariant, alors $(s_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $s_t(x_n) \rightarrow s_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé. +Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé. -Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant (*). +Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}. \end{proof} -\begin{defin}[Attracteur] -Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un attracteur du système (*), s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $s_t(x) \in M$ +\begin{defin} +Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$ \end{defin} \begin{rem} @@ -194,7 +196,9 @@ $r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0, \section{Types de stabilité en non linéaire} -\paragraph{Stabilité suivant Lagrange} Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$ +\subsection{Stabilité suivant Lagrange} + +Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$ %\img{0.3}{3/1.png} %HALLELUJAH ! @@ -207,21 +211,21 @@ La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non \begin{defin} Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si -\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || s(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\] +\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || \chi(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\] \end{defin} Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné après -\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \] +\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \] Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$. %\img{0.5}{4/lag} -\paragraph{Stabilité au sens de Lyapunov} +\subsection{Stabilité au sens de Lyapunov} \begin{defin} -\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || s(t,s(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\] +\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\] \end{defin} Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux. @@ -250,17 +254,17 @@ Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numé $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\ Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a -$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||s(t,s(t_0,x_0))|| < \epsilon $ +$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon $ \end{example} \begin{example}[Pendule sans frottement] L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$. -Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||s(t,s(0,s_0))|| < \epsilon$ +Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(0,s_0))|| < \epsilon$ \end{example} -\paragraph{Stabilité uniforme} +\subsubsection{Stabilité uniforme} \begin{defin} Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$ \end{defin} @@ -284,11 +288,11 @@ Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \ \begin{example} $\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$ -Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||s(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe) +Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||\chi(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe) \end{example} \begin{prop} -L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||s(t_0,x_0)||)\] +L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||\chi(t_0,x_0)||)\] \end{prop} \begin{proof} @@ -298,7 +302,7 @@ Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ ex Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$. -Si $||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\ +Si $||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\ Condition nécessaire. @@ -317,41 +321,42 @@ Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \de Suivant Lyapunov, cela implique $||s|| \leq \epsilon \leq \alpha (||s_0||)$ \end{proof} -\paragraph{Attractivité (convergence)} +\subsection{Attractivité (convergence)} \begin{defin} -$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$ +$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$ %\img{0.5}{4/1.png} -Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||s_t|| = 0$. +Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||\chi_t|| = 0$. On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$. \end{defin} -\paragraph{Stabilité asymptotique} +\begin{prop}[Stabilité asymptotique] L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si \begin{itemize} \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité \item $||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \beta (||s_0||,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$ \end{itemize} +\end{prop} -\paragraph{Stabilité exponentielle} +\begin{prop}[Stabilité exponentielle] L'origine est exponentiellement stable si et seulement si \begin{itemize} \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité \item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \alpha ||s_0|| e^{-\lambda t}$ \end{itemize} - -\paragraph{Stabilité locale et globale} +\end{prop} +\begin{prop}[Stabilité locale et globale] \begin{itemize} \item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...) \item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable. \end{itemize} - +\end{prop} \paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire. -\begin{defin}[Fonction de Lyapunov] -$V$ est une fonction de Lyapunov si : +\begin{defin} +$V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si : \begin{enumerate} \item $V : \begin{cases} @@ -742,3 +747,8 @@ SEE \end{document} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: