424 cours du 14/03
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@ -133,20 +133,17 @@ Ainsi, on obtient :
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r(t) = e^{\alpha t} r_0
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\end{matrix}\right.\]
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
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\end{center}
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\[
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\begin{cases}
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\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
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\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
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\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
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\end{cases}
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\]
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\nopagebreak[1]
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\section{Cycle limite}
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\begin{defin}
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Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
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@ -183,14 +183,18 @@ Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trou
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axis lines =middle,
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xlabel=$t$,ylabel=$X$,
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xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
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ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
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ytick={-2.1,2.1},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
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ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
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domain=0:7,
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]
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\addplot[no marks,black] {2.5*sin(deg(x))};
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\addplot[no marks,black,smooth,dashed] {2.5*sin(deg(x))};
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||||
\addplot[thick, no marks,domain=0:1]{2.5*sin(deg(x))};
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||||
\addplot[thick, no marks,domain=2.1415:4.1415]{2.5*sin(deg(x))};
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||||
\addplot[thick, no marks,domain=5.283:7]{2.5*sin(deg(x))};
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||||
\addplot[thick, no marks] coordinates {(1,2.1) (2.1415,2.1)};
|
||||
\addplot[thick, no marks] coordinates {(4.1415,-2.1) (5.283,-2.1)};
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||||
\end{axis}
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-4.png}
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||||
\end{figure}
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Calcul de $N(X)$ :
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@ -220,7 +224,19 @@ On a donc pour notre exemple de saturation
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.2]{2/424-5.png}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines= middle,
|
||||
xmin=-4,xmax=3,ymin=-2,ymax=3,ticks=none,
|
||||
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
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||||
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
|
||||
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
|
||||
\addplot[smooth,thick,|-latex] coordinates {(-2.5,0) (-4,0)};
|
||||
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
|
||||
\node[below] at (axis cs: -3,0) {$-\frac{1}{N(X)}$};
|
||||
\end{axis}
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{INSTABLE}
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||||
\end{figure}
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||||
\end{exemple}
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@ -276,6 +292,16 @@ i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
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\begin{figure}[h!]
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||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
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||||
[axis lines= middle,
|
||||
ticks=none, domain=0:10,
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||||
xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
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||||
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
|
||||
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};
|
||||
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
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||||
\end{figure}
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||||
$m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable
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@ -341,7 +367,40 @@ Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\der
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\begin{figure}[h!]
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||||
\centering
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||||
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
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||||
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines= middle,name=plot1,
|
||||
at={(0,0)},
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||||
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
|
||||
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
|
||||
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
|
||||
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
|
||||
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(0,-4) (-1,-2) (-3,-1)};
|
||||
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
|
||||
\node[above] at (axis cs: -1,-2) {$-\frac{1}{N(X)}$};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{STABLE}
|
||||
\end{subfigure}%
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||||
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}
|
||||
[axis lines= middle,
|
||||
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
|
||||
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
|
||||
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
|
||||
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
|
||||
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-3,-2) (-2,-1) (-0.5,-0.5)};
|
||||
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
|
||||
\node[below] at (axis cs: -1,-1) {$-\frac{1}{N(X)}$};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{INSTABLE}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\caption{Critère géométrique de stabilité}
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||||
\end{figure}
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\begin{thm}[Critère de Loeb]
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@ -4,17 +4,26 @@
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\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
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\begin{document}
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\section{Stabilité de Lagrange}
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Le premier a avoir intreoduit la notion de stabilité est Lagrange.
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Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
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||||
\begin{center}
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||||
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{3/1.png} %HALLELUJAH !
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||||
\end{center}
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\begin{figure}[H]
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||||
\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$q$};
|
||||
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
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||||
\draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
|
||||
\draw[decorate, decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
|
||||
\node(I) at (1,3.26) {$\bullet$};
|
||||
\node(S) at (4,0.56) {$\bullet$};
|
||||
\draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5) node[right]{instable};
|
||||
\draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5) node[above]{stable};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{Stabilité au sens de Lagrange}
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||||
\end{figure}
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||||
Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour toute condition initiales ,la trajectoire reste bornée.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
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||||
\item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
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@ -23,7 +32,7 @@ Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour toute condition init
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\begin{rem}
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||||
La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
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||||
\end{rem}
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\newpage
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||||
\begin{defin}
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||||
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
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@ -335,7 +344,7 @@ Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
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|||
Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
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||||
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||||
\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
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||||
Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.\\
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||||
Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.
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||||
Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
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||||
\[\forall x \in \D^*, \quad \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
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alors l'origine est instable.
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@ -356,6 +365,8 @@ $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
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\end{align*}
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||||
Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
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||||
\end{proof}
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\subsection{Théorème simplifiant l'analyse de la stabilité}
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\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
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||||
Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
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@ -462,7 +473,8 @@ Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc
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\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
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||||
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||||
\begin{defin}
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||||
Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
|
||||
On considère \emph{un système non autonome}
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||||
\[G : \dot{x}(t) = f(t,x)\], $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
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||||
|
||||
L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
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||||
\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
|
||||
|
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@ -492,14 +504,17 @@ Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel qu
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|||
\end{itemize}
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Alors l'origine est exponentiellement stable.
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\end{thm}
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\begin{rem}
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||||
Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
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\end{rem}
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\end{thm}
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||||
Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$, $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
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||||
\begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire]
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||||
$\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
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@ -566,7 +581,13 @@ Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il
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où $\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
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\end{defin}
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\begin{prop}
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Par définition:
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\begin{itemize}
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||||
\item Pour $u=0$ , l'origine est asymptotiquement stable.
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||||
\item Pour $u$ bornée, la trajectoire est bornée.
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||||
\end{itemize}
|
||||
\end{prop}
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||||
\begin{rem}
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||||
\[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]
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@ -574,6 +595,9 @@ $\gamma$ gain asymptotique du système
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\end{rem}
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||||
\emph{Cette définition dépend de la trajectoire, alors il faut trouver une condition suffisament indépendante de la trajectoire.}
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\begin{exemple}
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Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
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@ -586,9 +610,19 @@ Le système est-il SEE ?
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|||
\|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{ où } k = -\lambda_{max}(A)
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||||
\end{align*}
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||||
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||||
$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$
|
||||
SEE
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||||
$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
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||||
\end{exemple}
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||||
\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
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||||
Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
|
||||
\end{thm}
|
||||
\begin{exemple}
|
||||
Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $f(x,0)$ origine exp stable. (car sys linéaire)
|
||||
\item $f$ n'est pas lipschitzienne pour les deux variables. En effet pour $u=1$ on a $\dot{x} = -x+1+x^2 > 0; \forall x_0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exemple}
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||||
\section{Attracteur}
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@ -205,7 +205,7 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
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|||
\end{enumerate}
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||||
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
|
||||
\end{defin}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
|
||||
|
|
|
|||
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|
@ -6,12 +6,12 @@
|
|||
\begin{document}
|
||||
\section{Introduction (notations maths)}
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||||
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||||
\begin{defin}[Champ de vecteur]
|
||||
C'est une application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
|
||||
\begin{defin}
|
||||
On appelle \emph{champ de vecteur} toute application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{defin}[Crochet de Lie]
|
||||
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le crochet de Lie :
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le \emph{crochet de Lie} :
|
||||
\[ [f,g] :
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\R^n & \rightarrow \R^n \\ x & \mapsto J_g(x)f(x) - J_f(x)g(x)
|
||||
|
|
@ -30,9 +30,9 @@ Alors
|
|||
[f,f] = 0 \quad
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\begin{defin}[Algèbre de Lie]
|
||||
$G$ est une algèbre de Lie sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
|
||||
\newpage
|
||||
\begin{defin}
|
||||
$G$ est une \emph{algèbre de Lie} sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
|
|
@ -51,8 +51,8 @@ $ad_f^1 g(x) = [f,g](x)$
|
|||
|
||||
$ad_f^k g(x) = [f,ad_f^{k-1}g](x)$
|
||||
|
||||
\begin{defin}[Dérivée de Lie]
|
||||
la dérivée de Lie d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
|
||||
\begin{defin}
|
||||
la \emph{dérivée de Lie} d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
|
||||
\[L_f \alpha(x) = \sum_{i=1}^n \derivp[\alpha(x)]{x_i}f_i(x) \]
|
||||
|
||||
Ainsi,
|
||||
|
|
@ -70,8 +70,8 @@ L_{[f,g]} \alpha(x) & = L_f L_g \alpha(x) - L_gL_f \alpha(x)
|
|||
\end{itemize}
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{defin}[dimension]
|
||||
La dimension d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
|
||||
\begin{defin}
|
||||
La \emph{dimension} d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
On fait la confusion entre rang et dimension.
|
||||
|
|
@ -96,7 +96,7 @@ Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
|
|||
\[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]
|
||||
|
||||
\begin{defin}[Commandabilité]
|
||||
Un système est commandable ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
|
||||
Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{thm}[Théorème de Commandabilité]
|
||||
|
|
@ -123,8 +123,8 @@ Soit le système NL (2) (affine en la commande) :
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y & = h(x)
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\end{align*}
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\begin{defin}[Observabilité]
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Un système est observable si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
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\begin{defin}
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Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
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\end{defin}
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\begin{defin}[Espace d'observabilité]
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@ -159,3 +159,8 @@ l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est
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\end{rem}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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@ -6,6 +6,8 @@
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\teacher{Mohamed Abbas Turkis}
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\module{424 \\ Commandes de système non linéaires}
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\usepackage{multicol}
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\usetikzlibrary{decorations.markings}
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\usetikzlibrary{patterns}
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\begin{document}
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\maketitle
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@ -20,7 +22,6 @@
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\subfile{chap3.tex}
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\chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
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\subfile{chap4.tex}
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\chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
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\subfile{chap5.tex}
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\end{document}
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