424 cours du 14/03

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex

@@ -133,20 +133,17 @@ Ainsi, on obtient :
 r(t) = e^{\alpha t} r_0
 \end{matrix}\right.\]
 
-
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
 \end{center}
-
 \[
   \begin{cases}
-
   \delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
   \delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
   \delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
 \end{cases}
 \]
-
+\nopagebreak[1]
 \section{Cycle limite}
 \begin{defin}
   Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex

@@ -183,14 +183,18 @@ Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trou
       axis lines =middle,
       xlabel=$t$,ylabel=$X$,
       xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
-      ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
+      ytick={-2.1,2.1},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
       ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
       domain=0:7,
       ]
-      \addplot[no marks,black] {2.5*sin(deg(x))};
+      \addplot[no marks,black,smooth,dashed] {2.5*sin(deg(x))};
+      \addplot[thick, no marks,domain=0:1]{2.5*sin(deg(x))};
+      \addplot[thick, no marks,domain=2.1415:4.1415]{2.5*sin(deg(x))};
+      \addplot[thick, no marks,domain=5.283:7]{2.5*sin(deg(x))};
+      \addplot[thick, no marks] coordinates {(1,2.1) (2.1415,2.1)};
+      \addplot[thick, no marks] coordinates {(4.1415,-2.1) (5.283,-2.1)};
     \end{axis}
   \end{tikzpicture}
-\includegraphics[scale=0.4]{2/424-4.png}
 \end{figure}
 
 Calcul de $N(X)$ :
@@ -220,7 +224,19 @@ On a donc pour notre exemple de saturation
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
-\includegraphics[scale=0.2]{2/424-5.png}
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines= middle,
+      xmin=-4,xmax=3,ymin=-2,ymax=3,ticks=none,
+      xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
+      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
+      \addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
+      \addplot[smooth,thick,|-latex] coordinates {(-2.5,0) (-4,0)};
+       \node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
+      \node[below] at (axis cs: -3,0) {$-\frac{1}{N(X)}$};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{INSTABLE} 
 \end{figure}
 
 \end{exemple}
@@ -276,6 +292,16 @@ i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines= middle,
+      ticks=none, domain=0:10,
+      xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
+      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
+      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};
+
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
 \includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
 \end{figure}
 $m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable
@@ -341,7 +367,40 @@ Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\der
 
 \begin{figure}[h!]
   \centering
-\includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
+  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines= middle,name=plot1,
+      at={(0,0)},
+      xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
+      xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
+      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
+      \addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
+      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(0,-4) (-1,-2) (-3,-1)};
+      \node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
+      \node[above] at (axis cs: -1,-2) {$-\frac{1}{N(X)}$};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{STABLE}
+\end{subfigure}%
+\begin{subfigure}{.5\textwidth}
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines= middle,
+      xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
+      xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
+      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
+      \addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
+      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-3,-2) (-2,-1) (-0.5,-0.5)};
+       \node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
+      \node[below] at (axis cs: -1,-1) {$-\frac{1}{N(X)}$};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{INSTABLE}
+\end{subfigure}
+\caption{Critère géométrique de stabilité}
 \end{figure}
 
 \begin{thm}[Critère de Loeb]

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex

@@ -4,17 +4,26 @@
 \newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
 \begin{document}
 
-
-
 \section{Stabilité de Lagrange}
-
-
 Le premier a avoir intreoduit la notion de stabilité est Lagrange.
 Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
-\begin{center}
+\begin{figure}[H]
-\includegraphics[width=0.5\textwidth]{3/1.png} %HALLELUJAH !
+  \centering
-\end{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$q$};
+    \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
+    \draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
+    \draw[decorate, decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
+    \node(I) at (1,3.26) {$\bullet$};
+    \node(S) at (4,0.56) {$\bullet$};
+    \draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5) node[right]{instable};
+    \draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5) node[above]{stable};
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Stabilité au sens de Lagrange}
+\end{figure}
+
 Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour  toute condition initiales ,la trajectoire reste bornée.
+
 \begin{itemize}
 \item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
 \item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
@@ -23,7 +32,7 @@ Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour  toute condition init
 \begin{rem}
   La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
 \end{rem}
-
+\newpage
 \begin{defin}
   Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
 
@@ -335,7 +344,7 @@ Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
 Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
 
 \begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
-Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.\\
+  Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.
   Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
   \[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
   alors l'origine est instable.
@@ -356,6 +365,8 @@ $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
   \end{align*}
   Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
 \end{proof}
+\subsection{Théorème simplifiant l'analyse de la stabilité}
+
 
 \begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
   Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
@@ -462,7 +473,8 @@ Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc
 \section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
 
 \begin{defin}
-Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
+  On considère \emph{un système non autonome}
+  \[G : \dot{x}(t) = f(t,x)\], $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
 
   L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
   \[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
@@ -492,14 +504,17 @@ Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel qu
   \end{itemize}
 
   Alors l'origine est exponentiellement stable.
+
+\end{thm}
+
 \begin{rem}
   Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
 \end{rem}
 
-\end{thm}
 
 Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
 
+
 \begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire]
   $\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
 
@@ -566,7 +581,13 @@ Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il
   où $\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
 
 \end{defin}
-
+\begin{prop}
+  Par définition:
+  \begin{itemize}
+  \item Pour $u=0$ , l'origine est asymptotiquement stable.
+  \item Pour $u$ bornée, la trajectoire est bornée.
+  \end{itemize}
+\end{prop}
 \begin{rem}
   \[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]
 
@@ -574,6 +595,9 @@ $\gamma$ gain asymptotique du système
 \end{rem}
 
 
+\emph{Cette définition dépend de la trajectoire, alors il faut trouver une condition suffisament indépendante de la trajectoire.}
+
+
 \begin{exemple}
   Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
 
@@ -586,9 +610,19 @@ Le système est-il SEE ?
     \|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{ où } k = -\lambda_{max}(A)
   \end{align*}
 
-$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$
+  $\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
-SEE
 \end{exemple}
+\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
+  Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
+\end{thm}
+\begin{exemple}
+  Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
+  \begin{itemize}
+  \item $f(x,0)$ origine exp stable. (car sys linéaire)
+  \item $f$ n'est pas lipschitzienne pour les deux variables. En effet pour $u=1$ on a $\dot{x} = -x+1+x^2 > 0; \forall x_0$
+  \end{itemize}
+\end{exemple}
+
 
 
 \section{Attracteur}

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex

@@ -205,7 +205,7 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
   \end{enumerate}
   Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
 \end{defin}
-\begin{figure}[H]
+\begin{figure}
   \centering
     \begin{tikzpicture}
       \node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap5.tex

@@ -6,12 +6,12 @@
 \begin{document}
 \section{Introduction (notations maths)}
 
-\begin{defin}[Champ de vecteur]
+\begin{defin}
-C'est une application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
+  On appelle \emph{champ de vecteur} toute  application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
 \end{defin}
 
-\begin{defin}[Crochet de Lie]
+\begin{defin}
-Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le crochet de Lie :
+Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le \emph{crochet de Lie} :
 \[ [f,g] :
   \begin{cases}
 \R^n & \rightarrow \R^n \\ x & \mapsto J_g(x)f(x) - J_f(x)g(x)
@@ -30,9 +30,9 @@ Alors
 [f,f] = 0 \quad
 \end{align*}
 \end{prop}
-
+\newpage
-\begin{defin}[Algèbre de Lie]
+\begin{defin}
-$G$ est une algèbre de Lie sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
+$G$ est une \emph{algèbre de Lie} sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
 \end{defin}
 
 \begin{rem}
@@ -51,8 +51,8 @@ $ad_f^1 g(x) = [f,g](x)$
 
 $ad_f^k g(x) = [f,ad_f^{k-1}g](x)$
 
-\begin{defin}[Dérivée de Lie]
+\begin{defin}
-la dérivée de Lie d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
+la \emph{dérivée de Lie} d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
 \[L_f \alpha(x) = \sum_{i=1}^n \derivp[\alpha(x)]{x_i}f_i(x) \]
 
 Ainsi,
@@ -70,8 +70,8 @@ L_{[f,g]} \alpha(x) & = L_f L_g \alpha(x) - L_gL_f \alpha(x)
 \end{itemize}
 \end{rem}
 
-\begin{defin}[dimension]
+\begin{defin}
-La dimension d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
+La \emph{dimension} d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
 
 \begin{rem}
 On fait la confusion entre rang et dimension.
@@ -96,7 +96,7 @@ Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
 \[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]
 
 \begin{defin}[Commandabilité]
-Un système est commandable ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
+Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
 \end{defin}
 
 \begin{thm}[Théorème de Commandabilité]
@@ -123,8 +123,8 @@ Soit le système NL (2) (affine en la commande) :
 y & = h(x)
 \end{align*}
 
-\begin{defin}[Observabilité]
+\begin{defin}
-Un système est observable si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
+Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
 \end{defin}
 
 \begin{defin}[Espace d'observabilité]
@@ -159,3 +159,8 @@ l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est
 \end{rem}
 
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex

@@ -6,6 +6,8 @@
 \teacher{Mohamed Abbas Turkis}
 \module{424 \\ Commandes de système non linéaires}
 \usepackage{multicol}
+\usetikzlibrary{decorations.markings}
+\usetikzlibrary{patterns}
 \begin{document}
 
 \maketitle
@@ -20,7 +22,6 @@
 \subfile{chap3.tex}
 \chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
 \subfile{chap4.tex}
-
 \chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
 \subfile{chap5.tex}
 \end{document}