update 31/01

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex

@@ -187,7 +187,6 @@ Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel
 \]
 
 Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
-
 \begin{rem}
 Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
 \end{rem}
@@ -236,7 +235,8 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li
 $\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
 
 Suivant le théorème de Green,
-\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
+\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
+\]
 
 Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
 
@@ -245,9 +245,7 @@ Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
 
 \begin{example}
 Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$ où $\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
-
 Représentation d'état :
-
 \[
   \begin{cases}
 \dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
@@ -259,11 +257,35 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
 
 $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
 \end{example}
-
-
-
 \section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
 
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
+      invariant} du système $\Sigma$ si
+  \[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
+\item   Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
+  \item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
+\end{itemize}
+\end{defin}
+\begin{rem}
+  Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
+\end{rem}
+
+\begin{rem}
+  Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et  ne peut avoir qu'un comportement périodique.
+\end{rem}
+
+\begin{defin}
+  Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
+  \[
+    \forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
+  \]
+\end{defin}
+\begin{rem}
+  Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
+\end{rem}
+
 \begin{thm}
 Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
 
@@ -275,7 +297,21 @@ Interprétation :
 Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
 \paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
 
-Example 1 :
+
+\begin{prop}
+  \begin{itemize}
+  \item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
+  \item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
+  \item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
+    \begin{itemize}
+    \item C'est un ensemble de points d'équilibres.
+    \item C'est un cycle limite.
+    \item La trajectoire est un cycle limite.
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+
+Exemple 1 :
 \begin{align*}
 \dot{x} & =
           \begin{bmatrix}
@@ -290,8 +326,6 @@ Example 1 :
 
 Les deux systèmes sont stables
 
-
-
 Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
 
 Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex

@@ -8,7 +8,12 @@
 \end{itemize}
 
 \section{Schéma-blocs}
-\[ x \longrightarrow \boxed{\text{Non-linéarité}} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
+\[ x \longrightarrow \boxed{
+    \begin{array}{c}
+      \text{Non} \\
+      \text{Linéarité}
+    \end{array}
+} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
 La fonction de transfert $H(p)$ (fraction rationnelle) correspond à un filtre passe-bas de degré relatif $\geq 2$.\\
 
 On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$ influe sur le tracé de la diagramme de Bode du système. Dans le cas non-linéaire, on a plusieurs tracés de réponses fréquentielles. Par exemple, avec une saturation, on obtient des réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude d'entrée de $X$ dès qu'elle devient trop élevée.
@@ -293,3 +298,8 @@ Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{
 \includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
 \end{figure}
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End: