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@@ -45,11 +45,11 @@ Pour $x\in\R^M $et $y\in\R^N$ on considère que $H$ est un opérateur linéaire.
   \item $ p = N=M$ Alors $H$ bijectif, $\vec{\hat{x}} = H^{-1}\vec{y}$.
   \item $ p <M$ pas d'unicité mais on a :
     \[
-      \vec{\hat{x}} =(\vec{H}^t(\vec{HH}^t)^{-1})\vec{y}
+      \vec{\hat{x}} =(\vec{H}^T(\vec{HH}^T)^{-1})\vec{y}
     \]
   \item $ p>M$ pas d'existance mais on peux trouver l'inverse généralisé
     \[
-      \vec{\hat{x}} = (\vec{H}^t\vec{H})^{-1}\vec{H}^t\vec{y}
+      \vec{\hat{x}} = (\vec{H}^T\vec{H})^{-1}\vec{H}^T\vec{y}
     \]
   \end{itemize}
 \end{prop}
@@ -61,7 +61,7 @@ En ajoutant une erreur $\delta\vec{x}$ a$\hat{\vec{x}}$ on peux calculer comment
 \begin{defin}
   À partir de l'inverse généralisé on a :
   \[
-    \|\delta x \| \leq \vertiii{(\vec{H}^t\vec{H})^{-1}} \vertiii{\vec{H}^t}
+    \|\delta x \| \leq \vertiii{(\vec{H}^T\vec{H})^{-1}} \vertiii{\vec{H}^T}
   \]
   avec $\vertiii{\vec{H}} = \sqrt{\max\{Sp(\vec{H})\}}$
   Alors on défini le nombre de condition:
@@ -83,12 +83,131 @@ Si il y a un mauvais conditionnement, le bruit (qui est presente sur toutes les
 \]
 L'estimateur devient :
 \[
-  \hat{\vec{x}} = (\tilde{\vec{H}^t}\tilde{\vec{H}})^{-1}\tilde{\vec{H}^t}\vec{y}
+  \hat{\vec{x}} = (\tilde{\vec{H}^T}\tilde{\vec{H}})^{-1}\tilde{\vec{H}^T}\vec{y}
 \]
 
 \section{Quelques méthode d'inversion classique}
+\subsection{Estimateur des moindres carrés}
+\begin{prop}
+  L'estimateur des moindres carré cherche àç minimiser la norme quadratique:
+  \[
+\hat{\vec{x}}_{MC} = \arg\min \| \vec{y-Hx}\|_2^2 = (\vec{H}^T\vec{H})^{-1}\vec{H}^{T}\vec{y}
+  \]
+\end{prop}
+
+\subsection{Estimateur des moindres carrés régularisé}
+
+\emph{cf. UE 451 et poly}
+
+
+On veux améliorer le conditionnement de la matrice.
+\begin{prop}
+  On modifie la fonction de cout des moindres carrés
+  \[
+    Q_{MCR}= \| \vec{y-Hx}\|_2^2 + \mu \mathcal{R}(\vec{x})
+  \]
+\end{prop}
+
+\subsubsection{Régularisation quadratique}
+Plusieurs régularisation classiques sont possibles:
+
+\begin{itemize}
+\item Rappel à un objet connu
+  \[
+    \mathcal{R}(x) = (\vec{x}-\vec{x}_\infty)^T(\vec{x}-\vec{x}_\infty)
+  \]
+\item Terme séparable
+  \[
+    \mathcal{R}(x) = \vec{x}^T\vec{x}
+  \]
+\item Terme de différences (mesure de régularité)
+  \[
+    \mathcal{R}(x) = \sum_{i}^{}(x_{i+1}-x_i)^2 = \vec{x}^T\vec{D}^T\vec{D}\vec{x}
+  \]
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Régularisation convexe différentiable}
+Pour pénaliser de moins fortes valeurs on peux choisir une autre fonction de cout comme la fonction de Hubert (ou terme $L_2L_1$)
+\begin{defin}
+  On appelle fonction de Huber
+\[\phi_s(\tau) =
+  \begin{cases}
+    \tau^2 & |\tau|< s \\
+    2 s|\tau|-s^2 & |\tau| \ge s
+  \end{cases}
+\]
+Et sa généralisation vectorielle:
+\[
+  \vec{\Phi} = \sum_{}^{}\phi_s(x_n)
+\]
+\end{defin}
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \pgfplotsset{grid style={dotted,gray}}
+    \begin{axis}
+      [axis lines = middle,
+      domain=-2:2,grid,
+      ]
+      \addplot[black,dashed]{x^2};
+      \addplot[black,domain=-0.5:0.5]{x^2};
+      \addplot[black,domain=-2:-0.5]{2*0.5*abs(x)-0.25};
+      \addplot[black,domain=0.5:2]{2*0.5*abs(x)-0.25};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Fonction convexe et quadratique}
+\end{figure}
+Comme précédemment on utilise différente fonction de régularisation.
+\begin{itemize}
+\item Rappel à un objet connu
+  \[
+    \mathcal{R}(x) = \Phi_s(\vec{x}-\vec{x}_\infty)
+  \]
+\item Terme séparable
+  \[
+    \mathcal{R}(x) = \Phi_s(\vec{x})
+  \]
+\item Terme de différences (mesure de régularité)
+  \[
+    \mathcal{R}(x) = \sum_{i}^{} \phi_s(x_{i+1}-x_i) = \Phi_s(\vec{D}\vec{x})
+  \]
+\end{itemize}
+
+
 \section{Caractérisation statistique des estimateurs}
+\emph{cf. UE 451 et poly}
 \section{Interprétation bayésienne}
+
+\subsection{Vraisemblance}
+\begin{defin}
+  En choisissant une ddp pour le bruit on a:
+  \[
+    f(\vec{y}|\vec{x}) =k_0 \exp\left[ \frac{1}{2\sigma_b^2} \|\vec{y-Hx}\|^2\right]
+  \]
+  Comme en pratique on connais $\vec{y}$ on a une fonction de $\vec{x}$ et $\sigma_b^2$. Que l'on appelle fonction de vraisemblance.
+\end{defin}
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item \emph{Loi a priori}
+  \[
+    f(\vec{x}|\sigma_0^2,\sigma_1^2)= k_1 exp\left[\frac{1}{2\sigma_1^2} \|\vec{Dx}\|^2 - \frac{1}{2\sigma_0^2} \|x\|^2\right]
+  \]
+  La matrice $D$ correspond à ??
+\item \emph{Loi a posteriori}
+  À partir de la règle de Bayes:
+  \[
+    f(\vec{x}|\vec{y},\sigma_b,\sigma_1,\sigma_0) = \frac{f(\vec{y}|\vec{x})f(\vec{x}|\sigma_0,\sigma_1)}{f(\vec{y}|\sigma_b^2,\sigma_0^2,\sigma_1^2)}
+  \]
+  La loi a posteriori rassemble toute l'information que l'on a  sur $\vec{x}$
+\end{itemize}
+\end{defin}
+\subsection{Vraisemblance gaussienne}
+
+
+\subsection{Vraisemblance laplacienne}
+
+
+
 \section{Application à un cas simple d'observation multiple}
 \section{Application à la déconvolution problème d'optimisation}
 \section{Application de ma méthodologie bayésienne}