diff --git a/453-Traitement_Image/Cours/chap2.tex b/453-Traitement_Image/Cours/chap2.tex index 788b346..23dd769 100644 --- a/453-Traitement_Image/Cours/chap2.tex +++ b/453-Traitement_Image/Cours/chap2.tex @@ -87,9 +87,36 @@ L'estimateur devient : \] \section{Quelques méthode d'inversion classique} +\subsection{Le filtre de Wiener} + +Le principe du filtre de Wiener consiste à déterminer un filtre donc +d'appliquer une opéartion liénaire invariante afin de séparer le bruit +des données. Wiener a démontrer que dans le cas d'un signal +stationnaire on peux trouver un filtre optimum dans le sens ou c'est +le meilleur filtre qui sépare le bruit de l'objet si on connait +l'autocorrélation des données $\gamma_{yy}$ et l'intercorrélation entre les +données et l'objet que l'on cherche $\gamma_{yx}$. +\begin{prop}[Relation de Wiener Hopf] + Pour $p \in\Z $on a : + \[ +\sum_{k\in\Z}^{}g(k)\gamma_{yy}(p-k) = \gamma_{xy}(p) +\] +Où $g$ est le filtre disctret optimum permettant d'estimer au mieux +$x$. LE critère choisi est la minimisation de l'espérance du carré de +l'erreur de prédiction. +\end{prop} +\begin{proof} + cf. Poly TR +\end{proof} +\begin{prop} + De facon pratique on détermine lefiltre dans l'espace de fourier: + \[ + G(\nu) = \frac{\Gamma_{xy}(\nu)}{\Gamma_{yy}} + \] +\end{prop} \subsection{Estimateur des moindres carrés} \begin{prop} - L'estimateur des moindres carré cherche àç minimiser la norme quadratique: + L'estimateur des moindres carré cherche à minimiser la norme quadratique: \[ \hat{\vec{x}}_{MC} = \arg\min \| \vec{y-Hx}\|_2^2 = (\vec{H}^T\vec{H})^{-1}\vec{H}^{T}\vec{y} \] @@ -155,7 +182,7 @@ Et sa généralisation vectorielle: \addplot[black,domain=0.5:2]{2*0.5*abs(x)-0.25}; \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{Fonction convexe et quadratique} + \caption{Fonction de Huber (s = 0.5) et quadratique} \end{figure} Comme précédemment on utilise différente fonction de régularisation. \begin{itemize} @@ -173,41 +200,146 @@ Comme précédemment on utilise différente fonction de régularisation. \] \end{itemize} +\subsection{Application de ces approches au problème de débruitage} +On souhaite résoudre le problème suivant: +\[ +\vec{y} =\vec{x}+\vec{b} +\] +Avec $\vec{x}$, blanc de variance $\sigma_x$ et $\vec{b}$ centré de +variance $\sigma_b$. +\subsubsection{Wiener} +On a le filtre de wiener: +\[ + G(\nu) = \frac{\Gamma_{xy}(\nu)}{\Gamma_{yy}(\nu)} = \frac{1}{1+\frac{\sigma_b^2}{\sigma_x^2}} +\] +Dans le cas ou $x$ a une matrice de covariance $\vec{D^T}\vec{D})^{-1}$ on a : +\[ +G(\nu) = \frac{\Gamma_{xy}(\nu)}{\Gamma_{yy}(\nu)} = \frac{1}{1+\frac{\sigma_b^2}{\sigma_x^2}|D(\nu)|} +\] +Alors : +\[ +\boxed{\hat{\vec{x}}_{W} =TF^{-1}[G(\nu)Y(\nu)]} +\] +\subsubsection{MC et MCR} +\paragraph{Moindre carrés} Sans régularisation on a $H= I_n$ donc directement +\[ +\boxed{\hat{\vec{x}}_{MC} = \vec{y}} +\] +\paragraph{Moindres carrés régularisé} En prenant en compte une +régularisation on a: +\[ + \boxed{\vec{x}_{MCR} = (\vec{I_d}+\mu\vec{D^tD})^{-1}\vec{y} + } +\] +En utilisant les propriétés sur les matrices circulantes on retrouve +dans le donmaine de fourier le filtre de Wiener avec $\mu=\frac{\sigma_b^2}{\sigma_x^2}$ +\[ +\boxed{\hat{\vec{x}}_{MCR} =TF^{-1}\left[\frac{Y(\nu)}{1+\mu D(\nu)}\right]} +\] +\subsubsection{Ondelette et parcimonie } +\emph{cf poly.} \section{Caractérisation statistique des estimateurs} -\emph{cf. UE 451 et poly} +\subsection{Espérance} +\begin{defin} + soit $x$ une VA de densité de probabilité $f$. On note $E[x]$ + \emph{l'espérance} de $x$: + \[ + E[x] = \int_{x\in\mathcal{X}}^{}xf(x)\d x + \] +\end{defin} +\subsection{Biais} +Le biais caractérise les estimateurs +\begin{defin} + Soit $\hat{x}$ un estimateur de $x$. Alors le \emph{biais} s'écrit : + \[ + b(\hat{x}) = E[\hat{x}]-x + \] +\end{defin} + +\subsection{Variance} +La variance est un autre outils pour caractériser les +estimateurs. elle donne un intervalle de confiance autour de la valeur +de l'estimateur. +\begin{defin} + On défini la \emph{variance} d'un estimateur comme: + \[ + Var(\hat{x}) = E[(\hat{x}-E[\hat{x}])^2] + \] +\end{defin} + +\subsection{Erreur quadratique moyenne} +L'EQM est un très bon outils pour comparer les estimateurs +\begin{defin} + L'erreur quadratique est défini comme: + \[ + EQM(\hat{x}) = E[(\hat{x}-x)^2] + \] +\end{defin} +\begin{prop} + On a la relation suivante entre biais, variance et EQM : + \begin{align*} + EQM(\hat{x}) &= E[(\hat{x}-x)^2] \\ + &= Var(\hat{x}) + b(\hat{x})^2 + \end{align*} +\end{prop} +\begin{proof} +\begin{align*} + EQM(\hat{x}) &= E[(\hat{x}-x)^2] \\ + &= E[(\hat{x}-E[\hat{x}]+E[\hat{x}-x])] \\ + &= E[(\hat{x}-E[\hat{x}])^2]+2E[\hat{x}-E[\hat{x}]]+(E[\hat{x}]-x)^2\\ + &= Var(\hat{x}) + b(\hat{x})^2 + \end{align*} +\end{proof} \section{Interprétation bayésienne} \subsection{Vraisemblance} \begin{defin} - En choisissant une ddp pour le bruit on a: + En choisissant une ddp gaussienne pour le bruit on a: \[ f(\vec{y}|\vec{x}) =k_0 \exp\left[ \frac{1}{2\sigma_b^2} \|\vec{y-Hx}\|^2\right] \] - Comme en pratique on connais $\vec{y}$ on a une fonction de $\vec{x}$ et $\sigma_b^2$. Que l'on appelle fonction de vraisemblance. + Comme en pratique on connais $\vec{y}$ on a une fonction de $\vec{x}$ et $\sigma_b^2$. Que l'on appelle fonction de \emph{vraisemblance}. \end{defin} +\subsection{Loi \emph{a priori} et a \emph{posteriori}} + \begin{defin} \begin{itemize} \item \emph{Loi a priori} \[ f(\vec{x}|\sigma_0^2,\sigma_1^2)= k_1 exp\left[\frac{1}{2\sigma_1^2} \|\vec{Dx}\|^2 - \frac{1}{2\sigma_0^2} \|x\|^2\right] \] - La matrice $D$ correspond à ?? + La matrice $D^tD$ (covariance de $\vec{x}$) n'est pas de rang plein + il faut ajouter le deuxième terme pour que la gaussienne soit + bien multivariée sur $\R^N$. \item \emph{Loi a posteriori} À partir de la règle de Bayes: \[ - f(\vec{x}|\vec{y},\sigma_b,\sigma_1,\sigma_0) = \frac{f(\vec{y}|\vec{x})f(\vec{x}|\sigma_0,\sigma_1)}{f(\vec{y}|\sigma_b^2,\sigma_0^2,\sigma_1^2)} + f(\vec{x}|\vec{y},\sigma_b,\sigma_1,\sigma_0) = \frac{f(\vec{y}|\vec{x},\sigma_b^2)f(\vec{x}|\sigma_0,\sigma_1)}{f(\vec{y}|\sigma_b^2,\sigma_0^2,\sigma_1^2)} + = K f(\vec{y}|\vec{x},\sigma_b^2)f(\vec{x}|\sigma_0,\sigma_1) \] La loi a posteriori rassemble toute l'information que l'on a sur $\vec{x}$ \end{itemize} \end{defin} -\subsection{Vraisemblance gaussienne} - - -\subsection{Vraisemblance laplacienne} - - - +\subsection{Estimateur du maximum a posteriori} +Dans le cas gaussien la moyenne, la médiane et le maximum sont +confondus. +\begin{defin} + On défini le maximum a posteriori comme: + \[ + \hat{\vec{x}}_{MAP} =\arg\max_{x}f(\vec{x}|\vec{y},\sigma_b,\sigma_1,\sigma_0) + \] +\end{defin} +\begin{prop}[Cas Gaussien] + On a : + \[ + \hat{\vec{x}}_{MAP} =\arg\max_{x}K\exp\left[-\frac{1}{2\sigma_b^2}(\|\vec{y-Hx}\|^2+\mu\|\vec{Dx}\|^2+\mu_0\|\vec{x}^2\|)\right] + \] + Soit encore: + \[ + \hat{\vec{x}}_{MAP} =\arg\min_{x}\|\vec{y-Hx}\|^2+\mu\|\vec{Dx}\|^2+\mu_0\|\vec{x}^2\| + \] +\end{prop} \section{Application à un cas simple d'observation multiple} \section{Application à la déconvolution problème d'optimisation} \section{Application de ma méthodologie bayésienne} @@ -226,4 +358,3 @@ Comme précédemment on utilise différente fonction de régularisation. %%% mode: latex %%% TeX-master: "main" %%% End: -