cours du 07/02

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex

@@ -220,7 +220,7 @@ ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
 \section{Théorème de Bendixon}
 
 \begin{thm}
-Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
+Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un ensemble simplement connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint, sans trous) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
 Si:
 \begin{itemize}
 \item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex

@@ -1,5 +1,4 @@
 \documentclass[main.tex]{subfiles}
-
 \begin{document}
 \section{Hypothèses}
 \begin{itemize}
@@ -34,13 +33,14 @@ Q& =\frac{2}{T} \int_{[T]} y(t) \cos \omega t dt \quad \text{ avec } \omega T =
 \begin{rem}
 Si la NL est non-symétrique, $y(t) = Y+P\sin \omega t + Q \cos \omega t$ avec $Y=\frac{1}{T}\int_{[T]} y(t) dt$. La composante continue $Y$ peut être négligée pour l'analyse de stabilité et modélisée par une perturbation constante à l'entrée de $H(p)$.
 \end{rem}
-
+\begin{defin}
-On définit le gain complexe équivalent :
+On définit le \emph{gain complexe équivalent}:
-\[ N(X) = \frac{P+jQ}{X} \text{ qu'on note } N(x) = N_P(X) + jN_Q(X) \]
+\[ N(X) = \frac{P+jQ}{X} \text{ qu'on note } N(X) = N_P(X) + jN_Q(X) \]
 \begin{itemize}
 \item $N_P(X)=\frac{P}{X}$ est la gain en phase,
 \item $N_Q(X)=\frac{Q}{X}$ est la gain en quadrature.
 \end{itemize}
+\end{defin}
 
 \begin{rem}
 \begin{itemize}
@@ -51,7 +51,6 @@ On définit le gain complexe équivalent :
 \item Les manipulations de schéma-blocs doivent satisfaire les règles connues (principe de superposition) et s'assurer que le signal en amont du bloc NL est le même, et en aval, qu'il est suffisamment filtré pour ne garer que le 1er harmonique.
 
 \begin{example}
-
 \begin{figure}[h!]
 \centering
 \begin{tikzpicture}
@@ -75,11 +74,9 @@ On définit le gain complexe équivalent :
 \sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
 
 \end{tikzpicture}
-
+\[
-\vspace{5mm}
+\Updownarrow
-équivalent à
+\]
-\vspace{5mm}
-
 \begin{tikzpicture}
 \sbEntree{E}
 
@@ -102,13 +99,10 @@ On définit le gain complexe équivalent :
 \sbBlocr[8]{Cr}{$C(p)$}{R}
 \sbRelieryx{sys-S}{Cr}
 \sbRelierxy{Cr}{comp}
-
 \end{tikzpicture}
-
+\[
-\vspace{5mm}
+ \Updownarrow\hspace{-0.8em}/
-non équivalent à
+\]
-\vspace{5mm}
-
 \begin{tikzpicture}
 \sbEntree{E}
 
@@ -163,10 +157,39 @@ Système NL bouclé à retour unitaire
 
 Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trouver l'expression de $N(X)$ en fonction de la NL :
 
-\begin{example}[Saturation]
+\begin{exemple}[saturation]
 
 \begin{figure}[h!]
-\centering
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines =middle,
+      width=8cm, height=6cm,
+      xlabel=$X$,ylabel=$Y$,
+      xtick={-2,2},xticklabels={$-X_m$,$X_m$},
+      ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-Y_m$,$Y_m$},
+      ymin=-3,ymax=3, xmin=-5,xmax=5,
+      ]
+      \addplot[no marks,black] plot coordinates
+      {(-4,-1.5) (-2,-1.5) (2,1.5) (4,1.5)};
+      \addplot[no marks,dashed,black] plot coordinates
+      {(-2,0) (-2,-1.5) (0,-1.5)};
+      \addplot[no marks,dashed,black] plot coordinates
+      {(2,0) (2,1.5) (0,1.5)};
+    \end{axis}
+
+    \begin{axis}[at ={(8cm,0cm)},
+      width=10cm,height=6cm,
+      axis lines =middle,
+      xlabel=$t$,ylabel=$X$,
+      xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
+      ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
+      ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
+      domain=0:7,
+      ]
+      \addplot[no marks,black] {2.5*sin(deg(x))};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
 \includegraphics[scale=0.4]{2/424-4.png}
 \end{figure}
 
@@ -188,8 +211,11 @@ N(x) & =
          \frac{2}{\pi}[\arcsin\frac{X_m}{X}+\frac{X_m}{X}\sqrt{1-\frac{X_m^2}{X^2}}] & \si X > X_m
        \end{cases}
 \end{align*}
-Le dénominateur de la BF, $1+N(X)T_{BO}(p)$, donne la limite de stabilité : $T_{BO}(j\omega) = - \frac{1}{N(X)}$.
+\begin{prop}
+  Le dénominateur de la BF, $1+N(X)T_{BO}(p)$, donne la limite de stabilité : \[T_{BO}(j\omega) = - \frac{1}{N(X)}\]
 
+  Le lieu critique remplace le point critique $-1$.
+\end{prop}
 On a donc pour notre exemple de saturation
 
 \begin{figure}[h!]
@@ -197,49 +223,53 @@ On a donc pour notre exemple de saturation
 \includegraphics[scale=0.2]{2/424-5.png}
 \end{figure}
 
-\end{example}
+\end{exemple}
 
 Ainsi dans le cas NL, on remplace le point critique $-1$ par le lieu critique $\frac{-1}{N(X)}$. Par conséquent, l'analyse de stabilité est réalisée par rapport à $\frac{-1}{N(X)}$.
+On a alors deux cas
+\begin{enumerate}
+\item
+  Dans le cas où le tracé de Nyquist ne présente \emph{pas d'intersection avec le lieu critique}
 
-Dans le cas où le tracé de Nyquist ne présente pas d'intersection avec le lieu critique, on applique le critère de Nyquist pour la stabilité ou celui du revers sur la FT, qui est alors stable, strictement propre et à déphasage minimal.
+  on applique le critère de Nyquist ($ N_{\frac{1}{N(Y)}^{+}} = P^T_{T_{BO}}$) pour la stabilité ou celui du revers sur la FT, qui est alors stable, strictement propre et à déphasage minimal.
-
-Si on a une ou plusieurs intersections, on a un régime auto-oscillant (cycle limite).
 
+\item Si on a une ou plusieurs intersections, on a un régime auto-oscillant (cycle limite). $x(t) = X_0 e^{j\omega_0 t}$
+\end{enumerate}
 \section{Étude de la stabilité du cycle limite}
 
-Soit $(X_0,\omega_0)$ solution de $T_{B0}(j\omega_0)=-\frac{1}{N(X_0)}$.\\\
+Soit $(X_0,\omega_0)$ solution de $T_{B0}(j\omega_0)=-\frac{1}{N(X_0)}$ sur son cycle limite :
+\[
+  x(t)= X_0e^{j\omega_0t}
+\]
 
-\subsection*{Critère analytique}
+\subsection{Critère analytique}
-\begin{multicols}{2}
+
-On décompose \[1+T_{B0}(j\omega)N(X)=R(\omega,X)+jI(\omega,X)\]
+On pose \[T_{B0}(j\omega)+\frac{1}{N(X_0)}=R(\omega,X)+jI(\omega,X) = 0\]
 
 Ainsi, on a \[R(\omega_0,X_0)=0 \text{ et }I(\omega_0,X_0)=0\]
-\end{multicols}
+Pour analyser la stabilité on applique À $t_0$  une perturbation :
-
-Par conséquent, l'entrée de la NL $x(t)=X_0e^{j\omega_0t}$\\
-
-À $t_0$ appliquons une perturbation :
 \[X_1 = X_0 + \delta X \text{ et }\omega_1 = \omega_0+\delta \omega \quad \text{ avec } |\frac{\delta X}{X_0}|<<1 \text{ et }|\frac{\delta \omega}{\omega_0}|<<1 \]
 
-$x(t)$ n'est plus périodique et présente ainsi un amortissement $m>0$ (stable) ou $<0$ (instable).
+$x(t)$ n'est plus périodique (plus d'intersection avec le lieu critique) et présente ainsi un amortissement $m>0$ (stable) ou $<0$ (instable).
 
 \[ x(t) = (X_0 + \delta X) e^{-mt} e^{j(\omega_0 + \delta \omega) t} =(X_0 + \delta X) e^{j(\omega_0 + \delta \omega + jm) t} \]
 
-Ainsi la perturbation nous donne un régime auto-oscillant avec une amplitude $X_0+\delta X$ et une pulsation complexe $\omega_0 + \delta \omega + jm$.
+Ainsi la perturbation nous donne un régime auto-oscillant avec une amplitude $X_0+\delta X$ et une \emph{pulsation complexe} $\omega_0 + \delta \omega + jm$.
 
 \[ R(\omega_0+\delta \omega + jm, X_0 + \delta X) + jI(\omega_0 + \delta \omega + jm,X_0 + \delta X) = 0 \]
 
 \newcommand{\zero}{(\omega_0,X_0)}
 On applique un DL du 1er ordre autour de $\zero$ :
-\[ \left(\derivp[R]{X}|_{\zero} + j \derivp[I]{X}|_{\zero}\right) \delta X + \left(\derivp[R]{\omega}|_{\zero} + j \derivp[I]{\omega}|_{\zero}\right)(\delta \omega + jm)\approx 0 \]
+\[ \left(\left.\derivp[R]{X}\right|_{\zero} + j \left.\derivp[I]{X}\right|_{\zero}\right) \delta X + \left(\left.\derivp[R]{\omega}\right|_{\zero} + j \left.\derivp[I]{\omega}\right|_{\zero}\right)(\delta \omega + jm)\approx 0 \]
-i.e. en notant $\derivp[]{X}|_{\zero}=\derivp[]{X}|_0$
+i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
 \begin{align*}
 \derivp[R]{\omega}|_0 .\delta \omega + \derivp[R]{X}|_0 .\delta X - \derivp[I]{\omega}|_0 .m & = 0 \\
 \text{ et }\quad \derivp[I]{\omega}|_0 .\delta \omega + \derivp[I]{X}|_0 .\delta X + \derivp[R]{\omega}|_0 .m & = 0
 \end{align*}
 
 Élimination de $\delta \omega$ :
-\[ \left( (\derivp[R]{\omega}|_0)^2 + (\derivp[I]{\omega}|_0)^2 \right) m = \left( \derivp[R]{X}|_0.\derivp[I]{\omega}|_0 - \derivp[R]{\omega}|_0.\derivp[I]{X}|_0 \right) \delta X \]
+\[\underbracket{ \left( \left(\left.\derivp[R]{\omega}\right|_0\right)^2 + \left(\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0\right)^2 \right)}_{\ge 0} m
+  = \left( \left.\derivp[R]{X}\right|_0.\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[R]{\omega}\right|_0.\left.\derivp[I]{X}\right|_0 \right) \delta X \]
 
 \newpage
 \noindent Différents types de perturbation
@@ -260,13 +290,12 @@ $\delta X < 0$ et $m < 0$ : CL est stable
 
 $\delta X < 0$ et $m > 0$ : CL est instable
 
-Donc le cycle limite est stable si et seulement si $\delta X . m >0$\\
+\begin{prop}[Condition de stabilité du cycle limite dans le plan de Nyquist]
+le cycle limite est stable si et seulement si $\delta X . m >0$\\
 
 Pour que $\delta X . m >0$ :
-\[\boxed{ \derivp[R]{X}|_0.\derivp[I]{\omega}|_0 - \derivp[R]{\omega}|_0.\derivp[I]{X}|_0 > 0 }\]
+\[\boxed{ \left.\derivp[R]{X}\right|_0.\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[R]{\omega}\right|_0.\left.\derivp[I]{X}\right|_0 > 0 }\]
-\begin{center}
+\end{prop}
-\emph{Condition de stabilité du cycle limite dans le plan de Nyquist}
-\end{center}
 
 On pose $T_{B0}(j\omega) = U(\omega) + jV(\omega)$ et $-\frac{1}{N(X)} = L(X) + jM(X)$
 
@@ -280,23 +309,44 @@ R(\omega,X) & = U(\omega) - L(X)\\I(\omega,X) & = V(\omega) - M(X)
 d'où d'après la condition de stabilité du cycle limite :
 \[\boxed{-\derivp[L]{X}|_0.\derivp[V]{\omega}|_0 + \derivp[U]{\omega}|_0.\derivp[M]{X}|_0 > 0}\]
 
-\subsection*{Détermination graphique}
+\subsection{Critère graphique}
-Si on se place dans $\R^3$, on a 2 vecteurs : $\vect{U\\V\\0}$ et $\vect{L\\M\\0}$ qui décrivent respectivement $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$.
+On repart de l'équation caractéristique du cycle limite:
+\[
+  T_{BO}(j\omega) + \frac{1}{N(X)} = 0
+\]
+On note alors :
+\[
+  \begin{cases}
+    T_{BO}(j\omega) = U(\omega)+j V(\omega) \\
+    -\frac{1}{N(X)} = P(X)+j Q(X) \\
+  \end{cases}
+  \implies
+  \begin{cases}
+    \Re(X,\omega) = U(\omega)-P(X)\\
+    \Im{X,\omega} = V(\omega)-Q(X)
+  \end{cases}
+\]
 
-Les tangentes aux courbes $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$ sont colinéaires aux vecteurs $\vec{v_T} = \derivp[]{\omega}\vect{U\\V\\0}$ et $\vec{u_N}=\derivp[]{X}\vect{L\\M\\0}$.
+La condition de stabilité du cycle limite devient :
+\[
+  \left.\derivp[Q]{X}\right|_0 \left.\derivp[U]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[V]{\omega}\right|_0 \left.\derivp[P]{X}\right|_0 >0
+\]
+Si on se place dans $\R^3$, on a 2 vecteurs : $\vect{U\\V\\0}$ et $\vect{P\\Q\\0}$ qui décrivent respectivement $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$.
 
-\[\vec{v_T}\wedge\vec{u_N} = \vect{0\\0\\-\derivp[L]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[M]{X}}\]
+Les tangentes aux courbes $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$ sont colinéaires aux vecteurs:
+\[\vec{v_T} = \derivp[]{\omega}\vect{U\\V\\0} \text{ et } \vec{u_N}=\derivp[]{X}\vect{P\\Q\\0} \text{ alors }
+\vec{v_T}\wedge\vec{u_N} = \vect{0\\0\\-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}}\]
 
-Ainsi, la condition $-\derivp[L]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[M]{X}>0 \Rightarrow (\vec{v_T},\vec{u_N})$ dans le sens direct.
+Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}>0 \Rightarrow (\vec{v_T},\vec{u_N})$ dans le sens direct.
-
-\begin{thm}[Critère de Loeb]
-Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{1}{N(X)}$ est telle qu'en parcourant le lieu de Nyquist $T_{BO}(j\omega)$ dans le sens des $\omega$ croissants, on laisse à gauche la direction des $X$ croissant sur le lieu critique.
-\end{thm}
 
 \begin{figure}[h!]
 \centering
 \includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
 \end{figure}
+
+\begin{thm}[Critère de Loeb]
+Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{1}{N(X)}$ est telle qu'en parcourant le lieu de Nyquist $T_{BO}(j\omega)$ dans le sens des $\omega$ croissants, on laisse à gauche la direction des $X$ croissant sur le lieu critique.
+\end{thm}
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex

@@ -3,6 +3,165 @@
 \newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
 \newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
 \begin{document}
+
+
+\section{Trajectoire}
+
+\begin{rem}
+Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
+\end{rem}
+
+\begin{defin}
+Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
+\begin{enumerate}
+\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable.
+\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
+\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
+\end{enumerate}
+\end{defin}
+
+\begin{rem}
+\begin{itemize}
+\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
+\item On dénote la trajectoire $\chi(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
+\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
+\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
+Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$ où $\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
+
+En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
+
+Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
+On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
+
+$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
+
+Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
+\end{itemize}
+\end{rem}
+
+\begin{exemple}
+Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)
+
+$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$ où $\chi(t,x)=e^{At}x$ où $A\in\R^n$ matrice d'évolution
+
+Ainsi $\chi_t(x) = e^{At}x$ où $\chi_t :
+\begin{cases}
+\R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x
+\end{cases}
+$
+
+On a $(\chi_{\tau} \circ \chi_t) (x) = \chi_{\tau}(\chi_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = \chi_{t+\tau}(x)$
+\end{exemple}
+
+\begin{prop}
+Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
+\end{prop}
+
+\begin{exemple}
+Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
+\end{exemple}
+
+\begin{rem}
+Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?
+\end{rem}
+
+\section{Théorème du point fixe}
+
+\begin{thm}
+Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
+\[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
+De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
+\end{thm}
+
+\begin{defin}
+Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \alpha > 0$ tel que \[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
+\end{defin}
+
+\begin{rem}
+Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
+\end{rem}
+
+\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
+Soient le système dynamique défini par
+\[
+\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{$\ast$}
+\]
+Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors \\ {\centering$\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$}
+\end{thm}
+
+\begin{proof}
+Soient $T(x) = x_0 + \int_t^{t_0}f(s)ds$, $t\in[t_0,\tau] = x(t)$
+
+et on définit $S = \{ x(t) \text{ tel que } t\in [t_0,\tau], ||x-x_0|| \leq r \}$
+
+Ainsi, $\forall x \in S$
+\begin{align*}
+||T(x) - x_0|| & = ||\int_{t_0}^t f(s)ds || \\
+& = || \int_{t_0}^t (f(s)-f(t_0)+f(t_0))ds || \\
+& \leq \int_{t_0}^t ||f(s)-f(t_0)||s + \int_{t_0}^t ||f(x_0)||ds \\
+& \leq (\alpha r + C) ds \quad (f \text{ lipsch. et } ||s-x_0|| \leq r) \\
+& \leq (\alpha r + C)(t-t_0) \leq r
+\end{align*}
+
+$\exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\tau - t_0) \leq \frac{r}{\alpha r + C}$ donc $T:S\rightarrow S$.
+
+\begin{align*}
+\forall x,y \in S, \quad ||T(x)-T(y)|| & \leq \int_{t_0}^t || f(x(s))-f(y(s)) || ds \\
+& \leq \alpha \int_{t_0}^t || x(s) - y(s) || ds \\
+& \leq \alpha \max_{s\in [t_0,\tau]} ||x(s)-y(s)|| \int_{t_0}^t ds \\
+& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } \|.\|=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
+\end{align*}
+
+On veut $\alpha (t-t_0) \leq \alpha (\tau - t_0) \leq \rho$ avec $\rho<1$ donc $|||T(x)-T(y)|| \leq \rho |||x-y|||$.
+
+Il suffit de choisir $\tau$ tel que $\tau - t_0 \leq \frac{\rho}{\alpha}$
+
+$T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alpha r + C}, \frac{\rho}{\alpha} \}$
+
+(*) a une unique trajectoire.
+\end{proof}
+
+
+
+\paragraph{Rappel : point d'équilibre}
+le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq  $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
+
+Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun. Ainsi la stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
+
+\begin{example}[Pendule simple]
+\begin{enumerate}
+\item
+  % schema pendule
+  On a la représentation d'état ($x_1=\theta$,$x_2=\dot{\theta}$):
+  \[
+    \begin{cases}
+     \dot{ x_1} = x_2\\
+     \dot{x_2} = \frac{-g}{l}sin(x_1)-\frac{k}{m}x_2
+    \end{cases}
+  \]
+Les points d'équilibre vérifient $\dot{x_1}=\dot{x_2} = 0 $soit  $x_1= k\pi$,$k\in\Z$. physiquement on a deux points : $0$ et $\pi$.
+
+\item soit le système NL:
+  \[
+    \begin{cases}
+
+    \dot{x_1}= \alpha + \sin(x_1(t)+x_2(t))+x_1(t)\\
+    \dot{x_2}=\alpha+ + \sin(x_1(t)+x_2(t))-x_1(t)
+  \end{cases}
+\]
+Les point d'équilibre sont solutions de $\dot{x_1}=0$ et $\dot{x_2}=0$: on a pas de solution, en effet $\dot{x_1}+\dot{x_2} = 2\alpha+2\sin(x_1+x_2)$ pour $\alpha>1$
+\end{enumerate}
+
+\end{example}
+
+
+\begin{rem}
+  Les points d'équilibre peuvent aussi être déterminer dans le cas du régime forcé : $\dot{x}(t) = f(\overline{x},\overline{u}) = 0$
+\end{rem}
+
+
+
+
 \section{Critère Qualitatif}
 
 \paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$ où $n$ est la dimension du système.

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex

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 \tableofcontents
 \chapter{Classification}
 \subfile{chap1.tex}
-\chapter{Stabilité des systèmes linéaires} %premier cours en 2019
-\subfile{chap4.tex}
 \chapter{Caractérisation de la stabilité}
 \subfile{chap4b.tex}
 \chapter{Linéarisation}
 \subfile{chap2.tex}
 \chapter{Methode du premier harmonique}
 \subfile{chap3.tex}
+\chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
+\subfile{chap4.tex}
+
 \chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
 \subfile{chap5.tex}
 \end{document}