From 410d35e95a1a8ddf3fba099d8c2879de36722a56 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pierre-antoine Comby <comby@crans.org>
Date: Mon, 11 Mar 2019 08:32:43 +0100
Subject: [PATCH] on continue les probas
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451-Signal_Image/Cours/chap1.tex | 184 ++++++++++++++++++++++++++++++-
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--- a/451-Signal_Image/Cours/chap1.tex
+++ b/451-Signal_Image/Cours/chap1.tex
@@ -184,19 +184,197 @@ Avec la dérivée généralisé au sens des distributions.
\footnotetext{continue, bijective continue}
\subsection{Expérance, moment et fonction caractéristique}
+\begin{defin}
+ pour $g \R \to\C^p$
+ On appelle \emph{espérance} d'une variable aléatoire la grandeur:
+ \[
+ E(g(X)) = \int_{\R}^{} g(x)f_X(x)\d x
+ \]
+Dans le cas discret on a:
+\[
+ E(g(X)) = \sum_{\mathbb{I}}^{}g(x_i)P(X=x_i)
+\]
+\end{defin}
+\begin{prop}
+ L'espérance est linéaire (sous réserve d'existance):
+ \begin{itemize}
+ \item $E[c]=c$
+ \item $E[cg(x)]=cE[g(x)]$
+ \item $E[g(x)+h(x)] =E[g(x)]+E[h(y)]$
+ \end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{rem}
+ On note aussi $E[X]=m_X = m$ ``moyenne de la variable aléatoire''. Si $m$ = 0 on dit que la VA est centrée.
+\end{rem}
+\begin{defin}
+ On appelle \emph{momemt d'ordre $k$}:
+ \[
+ m_k = E[X^k]
+ \]
+Le \emph{moment centré d'ordre $k$ :}
+ \[
+ m_k = E[(X-m_X)^k]
+ \]
-
-
+Le moment $\mu_2$ est aussi appelé la \emph{variance}
+\end{defin}
+\begin{rem}
+ on note $\sigma_x = \sqrt{v_x}$ l'écart type de X. Il mesure la dispersion autour de $m_x$.
+On défini la variable centrée réduite associée à $X$:
+\[
+ X_r = \frac{X-m_X}{\sigma_X}
+\]
+\end{rem}
\subsection{Fonction caractéristique}
+
+\begin{defin}
+ On appelle fonction caractéristique:
+\[
+ \phi_X(u) = E[exp(juX)] = \int_{-\infty}^{+\infty}
+\]
+\end{defin}
+\begin{prop}
+ \begin{itemize}
+ \item $\phi_X(u)$ existe toujours $|\phi_X(u)|\le\phi_X(0)=1$
+ \item Symétrie hermitienne
+ \item $\phi_X(u)$ est continue même pour des VA discrètes
+ \item On appelle 2ème fonction de répartition $\Psi_X(u)=\ln(\phi_X(u))$
+ \item \[
+ m_k = (-j)^k\left.\deriv[^{k}\phi_X(u)]{u^k}\right|_{u=0}
+ \]
+ \end{itemize}
+\end{prop}
\section{Couple de variable aléatoire réelles}
\subsection{Généralité}
+\begin{defin}
+ Un couple de variable aléatoire est défini comme:
+ \[
+ Z
+ \begin{cases}
+ \Omega \to \R^2\\
+ \omega \mapsto Z(\omega) = \vect{X(\omega)\\Y{\omega}}
+ \end{cases}
+ \]
+ On défini également:
+ \[
+ Z^{-1} : \mathcal{D} \mapsto Z^{-1}(\mathcal{D}) = E_D \subset \mathcal{E}
+ \]
+\end{defin}
\subsection{Fonction de répartition}
+\begin{defin}
+ \begin{itemize}
+ \item fonction de répartition conjointe:
+ \begin{align*}
+ P(X<x;Y<y) &=F_{XY}(x,y)\\
+ &=P((x,y)\in \mathcal{D})\\
+ &=F_Z(z)
+ \end{align*}
+ \item fonction de répartition marginale
+ \begin{align*}
+ F_{X}(x)=P(X<x) &= F_{XY}(x,+\infty)\\
+ &=P((x,y)\in\mathcal{D}_X)
+ \end{align*}
+ \end{itemize}
+\end{defin}
+
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \begin{tikzpicture}
+ \begin{scope}
+ \draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
+ \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
+ \fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
+ \fill[pattern= north east lines] (-1,2) rectangle (4,4);
+ \draw (-1,2) -- (4,2);
+ \draw (2,-1) -- (2,4);
+ \node at (1,1) {$\mathcal{D}_{xy}$};
+ \end{scope}
+ \begin{scope}[shift={(6,0)}]
+ \draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
+ \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
+ \fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
+ \draw (2,-1) -- (2,4);
+ \node at (1,1) {$\mathcal{D}_x$};
+ \end{scope}
+ \end{tikzpicture}
+ \caption{Représentation des domaines d'existence possible pour $X,Y$}
+\end{figure}
\subsection{Densité de probabilité}
-\subsubsection{Espérance de la VA}
+\begin{defin}
+ on défini la densité de probabilité conjointe:
+ \[
+ f_{XY} = \derivp[^2F_{XY}(x,y)]{x\partial y }
+ \]
+\end{defin}
+
+\begin{prop}
+ densité de probabilité conjointe et fonction de répartition sont reliées:
+ \[
+ \int_{-\infty}^{x^-}\int_{-\infty}^{y^-} f_{XY}(\alpha,\beta)\d \alpha \d \alpha = F_{XY}(x,y)
+ \]
+
+ et :
+ \[
+ \int_{-\infty}^{x}\int_{\R}^{}f_{XY}(\alpha,\beta)\d \beta = F_{XY}(x,\infty) =F_X(x)
+ \]
+\end{prop}
+\begin{defin}
+ À partir de la fonction de répartion marginale on peux définir la loi marginale de $X$ :
+ \[
+ f_X(x) = \deriv[F_X(x)]{x} =\int_{\R}^{}f_{XY}(x,y)\d y
+ \]
+ Et alors la loi conditionelle de $X$ sachant $Y$:
+ \[
+ f_{X|Y}(x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y(y)}}
+ \]
+\end{defin}
+
\subsection{Indépendance}
+\begin{defin}
+ On dit que $X$ et $Y$ sont indépendant:
+ \begin{description}
+ \item[$\iff$] $F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
+ \item[$\iff$] $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
+ \end{description}
+\end{defin}
\subsection{Changement de VA}
+\begin{prop}
+ On considère :
+ \[
+ g
+ \begin{cases}
+ \R^2 \to \R^2\\
+ Z =(X,Y) \mapsto W =(U,V)=g(X,Y)
+ \end{cases}
+ \]
+ Alors:
+\[
+ f_W(w) = f_Z(z)|J|
+\]
+où :
+\[
+J =
+\begin{pmatrix}
+ \displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
+ \displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
+\end{pmatrix}
+\]
+\end{prop}
+\begin{rem}
+ Il est parfois plus simple de calculer:
+ \[
+|K| =\left|
+\begin{array}{cc}
+ \displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
+ \displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
+\end{array}\right|
+\]
+Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$
+\end{rem}
\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
+
+
\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
\subsection{Définition}
\subsection{Fonction de répartition}