diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex
index 21776be..bdd6a21 100644
--- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex
+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex
@@ -95,7 +95,7 @@ Si $x_2 \neq 0$, alors $\Delta(x) = vect\{(\vect{x_1 \\ x_2 \\ 2},\vect{1 \\ 1 \
Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
\[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]
-\begin{defin}[Commandabilité]
+\begin{defin}
Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
\end{defin}
@@ -137,25 +137,32 @@ Soit $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléme
\end{defin}
\begin{thm}[Théorème d'observabilité]
-Le système (2) est localement observable en $x_0$ si $dim \nabla \mathcal{V}(x_0) = n$ et il est observable si $\forall x \in \R^n, dim \nabla \mathcal{V}(c) = n$
+Le système (2) est localement observable en $x_0$ si $\dim \nabla \mathcal{V}(x_0) = n$ et il est observable si $\forall x \in \R^n, \dim \nabla \mathcal{V}(c) = n$
\end{thm}
-\begin{example}[linéaire]
+\begin{exemple}[Cas linéaire]
\begin{align*}
\dot{x} & = Ax + Bu = f(x) + g(x)u\\
y & = Cx = h(x)
\end{align*}
-\begin{align*}
-\mathcal{V} & = \{ h(x), L_fh(x), L_gh, L^2_fh ,L_g^2h , L_fL_gh , L_gL_fh \dots \} \\
-\mathcal{V} & = \{ Cx, C.Ax (=L_fh(x)), C.B (=L_gh), CA^2x (=L^2_fh) ,0 (=L_g^2h) , 0 (=L_fL_gh) , CAB (=L_gL_fh) \dots \} \\
-\nabla \mathcal{V} & = \{ C , CA , 0 CA^2 , 0 , 0 , 0 \dots \} \\
-dim \nabla \mathcal{V} & = rang \vect{ C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1}} \quad \text{Critère de Kalman}
+\begin{align*}
+ \mathcal{O} = &\{ h(x), L_fh(x), L_gh,
+ L^2_fh ,L_g^2h , L_fL_gh ,
+ L_gL_fh \dots \} \\
+\mathcal{O} = &\{ Cx, C.Ax (=L_fh(x)), \\
+ & C.B (=L_gh), CA^2x (=L^2_fh), \\
+ & 0 (=L_g^2h) , 0 (=L_fL_gh) , \\
+ & CAB (=L_gL_fh) \dots \} \\
+ \nabla \mathcal{O} = &\{ C , CA , 0 ,CA^2 , 0 , 0 , 0 \dots \} \\
\end{align*}
-\end{example}
+\[
+\dim \nabla \mathcal{O} = {\rm rg} \vect{ C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1}} \quad \text{Critère de Kalman}
+\]
+\end{exemple}
\begin{rem}
-l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est écartée dnas le cas linéaire.
+l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est écartée dans le cas linéaire.
\end{rem}
\end{document}
diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex
index 25c8af2..3179350 100644
--- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex
+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex
@@ -1,28 +1,36 @@
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
-\section{Commande par bouclage linéarisant}
-Principe : se ramener à un comportement linéaire
-%\img{0.5}{5/1}
-
-\subsection{Linéarisation entrées-sorties}
-
-Cas SISO : $u\in \R$ et $y\in\R$
-
-Soit le système NL (1) (affine en la commande) :
-\[
+Dans la suite du chapitre on étudiera le modèle suivant : Affine en la commande
+\[(\Sigma)
\begin{cases}
\dot{x} & = f(x) + g(x) u\\
y & = h(x)
\end{cases}
\]
+\section{Commande par bouclage linéarisant}
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/1.png}
+ \caption{Principe du bouclage linéarisant}
+\end{figure}
+% \img{0.5}{5/1} A rajouter !
+Figure a rajouter
+\subsection{Linéarisation entrées-sorties}
+On se place dans le cas SISO: $u\in \R$ et $y\in\R$
-\begin{defin}[degré relatif]
-Le degré relatif $r$ du système (1) est défini par :
-\[ r \in \N \text{ tq } L_gL_f^{r-1}h(x) \neq 0 \text{ et } \forall k < r-1, L_gL_f^{k}h(x) = 0\]
+\begin{defin}
+ Le\emph{ degré relatif} $r$ du système $(\Sigma)$ est défini par $r \in \N$ tel que
+ \[
+ \begin{cases}
+
+ L_gL_f^{r-1}h(x) &\neq 0\\
+ L_gL_f^{k}h(x) &= 0 \quad \forall k < r-1
+\end{cases}
+\]
\end{defin}
-\subsection{Procédure de linéarisation}
+\subsubsection{Procédure de linéarisation}
On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ :
\begin{align*}
\dot{y} & = \derivp[h(x)]{x} \dot{x}\\
@@ -33,11 +41,17 @@ On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ :
& = \derivp[L_fh(x)]{x}f(x) + \derivp[L_fh(x)]{x}g(x)u \\
& = L^2_fh(x) + L_gL_fh(x)u
\intertext{Si $L_gL_fh(x) \neq 0$, alors $r=2$. Sinon on continue...}
- y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u
- \intertext{On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée.}
- \intertext{On pose $v=y^{(r)} = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u$}
- u & = (L_gL_f^{r-1}h(x))^{-1}(v-L_f^rh(x))
+ y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u
\end{align*}
+ \begin{rem}
+ On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée.
+\end{rem}
+
+ On pose $v=y^{(r)} = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u \ne 0$ Alors:
+ \[
+ u = (L_gL_f^{r-1}h(x))^{-1}(v-L_f^rh(x))
+ \]
+
\[
u = \alpha(x) + \beta(x)v , \text{ avec }
\begin{cases}
@@ -51,9 +65,9 @@ La nouvelle entrée de commande est $v$ telle que
$u = \alpha(x) + \beta(x)v$ est le bouclage linéarisant statique car à un instant fixé, la linéarisation ne dépend que de $x$ à cet instant.\\
-\underline{Cas $r=n$}
+\subsubsection{Cas $r=n$}
-\begin{multicols}{2}
+\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
Choix de la base :
\begin{align*}
z_1 & = y = h(x) \\
@@ -62,58 +76,82 @@ z_3 & = \ddot{y} = L_g^2h(x) \Rightarrow \dot{z_2} = z_3 \\
\vdots \\
y^{(n)} & = \dot{z_n} = L_f^nh(x) + L_gL_f^{n-1}h(x)u = v
\end{align*}
-
-Nouveau modèle :
+\end{minipage}
+\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
+Nouveau modèle :
\begin{align*}
\dot{z_1} & = z_2 \\
-\vdots \\
+ &\vdots \\
+ &\vdots\\
\dot{z_{n-1}} & = z_n \\
\dot{z_n} & = a(z) + b(z)u = v
\end{align*}
-donc \[ u = \frac{v-a(z)}{b(z)} \text{ avec } b(z) \neq 0 \]
-\end{multicols}
+\end{minipage}
+On a donc la commande suivante :\[ u = \frac{v-a(z)}{b(z)} \text{ avec } b(z) \neq 0 \]
+Qui nécessite le changement de base des variables d'états :
\[ z = \phi(x) = \vect{\phi_1(x) \\ \vdots \\ \phi_n(x)} = \vect{ h(x) \\ L_fh(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1}h(x)} \]
\[ u = \alpha(x)+\beta(x)v \text{ avec } \alpha(x) = -\frac{a(z)}{b(z)}|_{z=\phi(x)} \text{ et } \beta(x) = \frac{1}{b(z)}|_{z=\phi(x)} \]
-Schéma blocs :
-%\img{0.5}{5/2}
+\begin{figure}[H]
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/2.png}
+ \caption{Forme normale}
+\end{figure}
-Modèle linéaire :
+\subsubsection{Cas $r<n$}
+
+\begin{align*}
+ z_1 &= y\\
+ z_2 &= \dot{z_1} \\
+ & \vdots \\
+ \dot{z_r} &= L_g^rh+L_gL_f^{r-1}h u = v
+\end{align*}
+Alors on complete les variables d'état avec le vecteur$ \eta\in\R^{n-r}$ tel que:
\[
-\begin{cases}\dot{z} & = Az + Bv \\ y & = Cz \end{cases} \text{ avec } A = \left[ \begin{array}{ccccc}
-0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
-\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
-\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
-0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
-0 & \dots & \dots & \dots & 0
-\end{array} \right], \quad B = \vect{ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 } \text{ et } C = [1 \quad 0 \dots 0 ]
+ \dot{\eta}=q(\eta,z,v,\dot{v},...)
\]
-
-Synthèse du correcteur linéaire :
-%\img{0.5}{5/3}
-
-Planification de trajectoire :
-\[ y^{(n)} = v = y_c^{(n)} + a_1 (y_v^{n-1)} - y^{(n-1)})+ \dots + a_{n-1}(\dot{y_c} - \dot{y}) + a_n(y_c-y) \]
-
-Les $a_i$ sont choisis en imposant la dynamique de $\epsilon=y-y_c$ :
-\[ \epsilon^{(n)} + a_1 \epsilon^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}\dot{\epsilon} + a_n\epsilon = 0 \]
-
-Matrice d'évolution de la boucle fermée :
-\[ A_{BF} = \left[ \begin{array}{ccccc}
-0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
-\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
-\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
-0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
--a_n & -a_{n-1} & \dots & \dots & -a_1
-\end{array} \right] \quad \text{Forme canonique}
-\]
-
\begin{rem}
-Cette méthode est assez simple. Cependant, il faut accéder aux dérivées successives de la sortie. Si on a des capteurs, alors OK, mais calculer une dérivée numérique n'est pas génial.
+La dynamique de $\eta$ n'est pas linéaire (contrairement à $z$), pour appliquer la commande désirée il faut s'assurer que la dynamique de $\eta$ est stable car elle sera non observable par $y$.
+
+On peux faire une analogie avec la compensation de pôles, qui n'est possible que si le pôle compensé est stable. En cachant la dynamique associée à ses poles ils ne sont plus observables
\end{rem}
-\subsection*{Linéarisation entrée-états}
+\begin{rem}\emph{ À clarifier }
+Ainsi on défini la dynamique des zéros. Le système commandé est en régime stationnaire :
+\[
+\dot{v}=0 y=0 ..
+\]
+La dynamique des zéro est celle $\dot{\eta} =q(\eta,0,v)$. Puisque la commande est linéaire on aussi prendre $v=0$
+\subsection{Dynamique des zéros}
+\begin{defin}
+C'est la dynamique interne pour une sortie identiquement nulle.
+Ainsi, $y = 0 = z_1 \Rightarrow \dot{z_1} = \dot{z_2} = \dot{z_r} = v = 0$ et $u = -\frac{a(z)}{b(z)}$
+
+La dynamique restante
+\begin{align*}
+&\left\lbrace
+\begin{array}{cc}
+\dot{z_{r+1}} & = q_{r+1}(z) \\
+\vdots \\
+\dot{z_n} = q_n(z)
+\end{array}\right. \text{ où } z = (0,z_{r+1},\dots z_n)^T = (0,\text{ et }a)^T\\
+& \left\lbrace
+\begin{array}{cc}
+\dot{\eta_1} & = q_{r+1}(0,\eta) \\
+\vdots \\
+\dot{\eta_{n-r}} & = q_n(0,\eta)
+\end{array} \right. \text{ avec } u = \frac{-a(0,\eta)}{b(0,\eta)}
+\end{align*}
+
+\end{defin}
+
+\begin{rem}
+Si $r<n$, le système comporte une dynamique des zéros. Dans le cas ou la dynamique des zéros est instable, on peux chercher à trouver une transformation pour linéariser le modèle entrée-états.
+\end{rem}
+
+
+\subsection{Linéarisation entrée-états}
On ne dispose pas d'une sortie $y=h(x)$ donc on essaye de trouver une sortie "fictive".\\
@@ -122,9 +160,16 @@ Problème : trouver le bon changement de base $z_1 = \phi_1(x)$ qui remplace $z_
$\phi$ est un difféomorphisme, i.e. bijectif et différentiable, de même pour la réciproque.\\
-\begin{defin}
-Le système $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ (1) est linéarisable entrée-états si il existe une région $\Omega \in \R^n$, un difféomorphisme $\phi:\Omega\rightarrow\R^n$ et un retour d'état $u=\alpha(x) + \beta(x)v$ tels que le nouveau vecteur d'état est $z=\phi(x)$ et la nouvelle entrée est $v$ avec $\dot{z} = Az+Bv$, $A$ matrice d'évolution $\in \R^{m \times n}$.
-\end{defin}
+\begin{thm}
+ Le système $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ (1) est \emph{linéarisable entrée-états} si
+ \begin{itemize}
+ \item il existe une région $\Omega \in \R^n$, un difféomorphisme $\phi:\Omega\rightarrow\R^n$
+ \item et un retour d'état $u=\alpha(x) + \beta(x)v$ tels que le nouveau vecteur
+ d'état est $z=\phi(x)$
+ \item et la nouvelle entrée est $v$ avec $\dot{z} = Az+Bv$,
+ où $A$ est la matrice d'évolution $\in \R^{m \times n}$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
En s'inspirant de la linéarisation entrée-sortie, on simplifie la recherche de $\phi(x)$ par celle de $\phi_1(x)=z_1$ et le reste des transformations est obtenu par la forme canonique (forme normale).
@@ -150,8 +195,8 @@ $\begin{cases}
L_g L_f^{n-1} \phi_1(x) & \neq 0 \\
\end{cases} $ ?
-\begin{defin}[Distribution de champs de vecteurs]
-L'application $\Delta(x)$ est une distribution de champs de vecteurs sur $\Omega$ si $\forall x \in \Omega, \Delta(x)$ est un sous-espace vectoriel.
+\begin{defin}
+L'application $\Delta(x)$ est une\emph{ distribution de champs de vecteurs} sur $\Omega$ si $\forall x \in \Omega, \Delta(x)$ est un sous-espace vectoriel.
\end{defin}
\begin{exemple}
@@ -268,32 +313,6 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
\end{align*}
\end{rem}
-\subsection{Dynamique des zéros}
-\begin{defin}
-C'est la dynamique interne pour une sortie identiquement nulle.
-Ainsi, $y = 0 = z_1 \Rightarrow \dot{z_1} = \dot{z_2} = \dot{z_r} = v = 0$ et $u = -\frac{a(z)}{b(z)}$
-
-La dynamique restante
-\begin{align*}
-&\left\lbrace
-\begin{array}{cc}
-\dot{z_{r+1}} & = q_{r+1}(z) \\
-\vdots \\
-\dot{z_n} = q_n(z)
-\end{array}\right. \text{ où } z = (0,z_{r+1},\dots z_n)^T = (0,\text{ et }a)^T\\
-& \left\lbrace
-\begin{array}{cc}
-\dot{\eta_1} & = q_{r+1}(0,\eta) \\
-\vdots \\
-\dot{\eta_{n-r}} & = q_n(0,\eta)
-\end{array} \right. \text{ avec } u = \frac{-a(0,\eta)}{b(0,\eta)}
-\end{align*}
-
-\end{defin}
-
-\begin{rem}
-Si $r<n$, le système comporte une dynamique des zéros.
-\end{rem}
\subsection{Système à déphasage minimal}
\begin{defin}[Cas linéaire]
@@ -327,7 +346,7 @@ Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r
\[ \exists j =1\dots m, L_{g_j}L_f^{r_i-1} h_i(x) \neq 0\]
\end{defin}
-\subsection{Procédure de linéarisation}
+\subsubsection{Procédure de linéarisation}
Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives des sorties :
\[
\vect{ y_1^{(r_1)} \\ \vdots \\ y_p^{(r_p)}} =
@@ -795,3 +814,56 @@ Ainsi on vérifie la condition d'existence du régime glissant, alors quand la t
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
+
+
+
+% A refaire complètement avant entree-état
+% \subsubsection{Modèle linéaire :}
+% \[
+% \begin{cases}
+% \dot{z} & = Az + Bv \\
+% y & = Cz
+% \end{cases}
+% \text{ avec }
+% A = \left[
+% \begin{array}{ccccc}
+% 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
+% \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
+% \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
+% 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
+% -a_0 & \dots & \dots & \dots & -a_{n-1}
+% \end{array} \right],
+% \quad B = \vect{ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 }
+% \text{ et } C = [1 \quad 0 \dots 0 ]
+% \]
+
+
+
+
+% Synthèse du correcteur linéaire :
+% % \img{0.5}{5/3}
+% \begin{figure}[H]
+% \centering
+% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/3.png}
+% \caption{}
+% \end{figure}
+
+% Planification de trajectoire :
+% \[ y^{(n)} = v = y_c^{(n)} + a_1 (y_v^{n-1)} - y^{(n-1)})+ \dots + a_{n-1}(\dot{y_c} - \dot{y}) + a_n(y_c-y) \]
+
+% Les $a_i$ sont choisis en imposant la dynamique de $\epsilon=y-y_c$ :
+% \[ \epsilon^{(n)} + a_1 \epsilon^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}\dot{\epsilon} + a_n\epsilon = 0 \]
+
+% Matrice d'évolution de la boucle fermée :
+% \[ A_{BF} = \left[ \begin{array}{ccccc}
+% 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
+% \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
+% \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
+% 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
+% -a_n & -a_{n-1} & \dots & \dots & -a_1
+% \end{array} \right] \quad \text{Forme canonique}
+% \]
+
+% \begin{rem}
+% Cette méthode est assez simple. Cependant, il faut accéder aux dérivées successives de la sortie. Si on a des capteurs, alors OK, mais calculer une dérivée numérique n'est pas génial.
+% \end{rem}