424 cours du 02/04

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex

@@ -61,7 +61,7 @@ Ainsi,
 
 \begin{rem}
 \begin{itemize}
-\item $L_f^0 (x) = \alpha(x)$
+\item $L_f^0(\alpha(x)) = \alpha(x)$
 \item Soient 2 champs de vecteurs $f$ et $g$, alors
 \begin{align*}
 L_g L_f \alpha (x) & = J_{L_f \alpha}(x) g(x) \\

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex

@@ -521,11 +521,15 @@ La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dy
 Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates.
 
 \begin{defin}
-Un système est dit \emph{plat} s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
+  Un système est dit \emph{plat} si toutes les variables d'états $\vec{x}$  et les entrées peuvent s'écrire comme :
+  \[
+    \begin{cases}
 
-\noindent Cas SISO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R \text{ tq } x = \phi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\beta)}) \text{ et } u=\psi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\delta)}), \beta,\delta \in \N\]
+      \vec{x} = \psi(y_1, ..., y_1^{(\alpha_1)}, ..., y_m,...,y_m^{(\alpha_m)}) \\
-
+      \vec{u} = \phi(y_1, ..., y_1^{(\beta_1)}, ..., y_m,...,y_m^{(\beta_m)})
-\noindent Cas MIMO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R^p \text{ tq } x = \phi(y_1,\dots,y_1^{(\beta_1)},\dots,y_p^{(\beta_p)}) \text{ et } u=\psi(y_1,y_1^{(\delta_1)},\dots,y_p^{(\delta_p)}), \beta_i,\delta_i \in \N\]
+    \end{cases}
+  \]
+  Les $y_i$ sont alors appelées \emph{sortie plates}
 \end{defin}
 
 \begin{exemple}
@@ -543,7 +547,11 @@ u_1 & = \frac{\dot{x_3}}{y_1} = \frac{(\ddot{y_2}-\dot{y_2})\dot{y_2}-\ddot{y_1}
 \end{align*}
 \end{exemple}
 
-Un autre intérêt de la platitude est la planification simple de trajectoire.
+Une des utilisation des sorties est la planification simple de trajectoire. En partant de $y_i(0) = y_0 $ on souhaite arriver en un temps fini  à $y_i(T_f) = y_f$. À partir de ce cahier des charges on trouve une trajectoire ()généralement polynomiale) tel que $u = \phi(y_{1p} ... y_{1p}^{(\beta_1)},...,y_{mp},...,y_{m}^{(\beta_m)})$.
+
+Une autre application est la résolution de l'équation N.L de la poursuite asymptotique par intégration successive de $u$.
+
+
 
 \begin{thm}[Principe de la planification de trajectoire]
 La planification peut comporter des contraintes sur la commande (énergie, saturation, ...) et sur les états (obstacles, limitation de vitesse, d'accélération...)
@@ -570,302 +578,6 @@ Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
 
 \[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \]
 \end{exemple}
-
-\section{Commandes hiérarchisées}
-
-\subsection{Échelles de temps}
-
-Soit le système (1) $\begin{cases}\dot{x_1} & = \epsilon f_1(x_1,x_2,u) \\ \dot{x_2}  & = f_2(x_1,x_2,u)\end{cases}$ avec $f_1$ et $f_2$ lisses (de classe $C^{\infty}$), avec $x_1\in\R^{n_1}$ et $x_2\in\R^{n_2}$.
-
-On suppose que $0 < \epsilon << 1$.
-
-On suppose $\tau = \epsilon t$ nouveau temps: $\tau$ est plus lent que $t$.
-
-Ainsi, le système (1) dans la nouvelle échelle temporelle est donnée par 
-
-\begin{align*}
-\dd{x_1}{\tau} & = f_1(x_1,x_2,u) \text{ Dynamique lente est d'ordre 0  en } 1/\epsilon \\
-\dd{x_2}{\tau} & = \frac{1}{\epsilon} f_2(x_1,x_2,u) \text{ Dynamique rapide est d'ordre 1 en }1/\epsilon
-\end{align*}
-
-Ainsi, dans le cas d'un point d'équilibre stable, $x_2$ converge rapidement vers le voisinage dépendant de $\epsilon$, d'un point d'équilibre de $f_2=0$.
-
-\subsection{Détermination du voisinage}
-Pour $\epsilon = 0$, les points d'équilibre du système (1) forment la variété :
-\[ \Sigma_0 = \{ (x_1,x_2,u)/ f_2(x_1,x_2,u) = 0 \} \]
-
-alors que pour $\epsilon \neq 0$, les points d'équilibre forment la variété
-\[ \Sigma_{\epsilon} = \{ (x_1,x_2,y) / f_1(x_1,x_2,u) = 0 \text{ et } f_2(x_1,x_2,y) \neq 0 \} \]
-
-On a $\Sigma_{\epsilon} \subset \Sigma_0$ donc $\Sigma_{\epsilon}$ dégénère en $\Sigma_0$ pour $\epsilon=0$.
-
-%\img{0.5}{7/2}
-
-L'objectif est d'avoir seulement à faire converger $x_1 \to x_1^*$.\\
-
-À partir du théorème des fonctions implicites, nous avons l'existence de $X_2 \text{ tq } x_2 = X_2(x_1,u)$.
-
-\begin{defin}
-On définit la variété
-\[ \Sigma_{0,\epsilon} = \{ (x_1,x_2) / f_2(x_1,x_2,u,\epsilon) = 0 \} \]
-avec $\dot{u} = \epsilon v$ où $v$ est une fonction bornée.
-\end{defin}
-
-La variété $\Sigma_{0,\epsilon}$ est obtenue à partir de $\Sigma_0$ avec une faible variation de la commande.
-
-\begin{prop}
-Soit le système (1) avec $rang(\derivp[f_2]{x_2}) = n_2$, alors $\exists X_2(x_1,u,\epsilon)$ tel que $\forall u$ vérifiant $\dot{u} = \epsilon v$, $v$ bornée, $(x_1,x_2 \in \Sigma_{0,\epsilon}$ avec $x_2 = X_2(x_1,u,\epsilon)$.
-\end{prop}
-
-Interprétation :
-La variété $\Sigma_0 \Leftrightarrow x_2=X_2(x_1,u)$, obtenue pour $\epsilon=0$, continue d'exister pour $\epsilon \neq 0$ et suffisamment petit si $\dot{u}=\epsilon v$, $v$ bornée.
-
-\begin{exemple}
-[MMC]
-\[
-    \begin{cases}
-
-    L\dd{i}{t} & = u-Ri - k\omega \text{ Dynamique électrique}\\
-    J\dd{\omega}{t} & = Ki - \alpha\omega -C_r \text{ Dynamique mécanique temps lent}
-  \end{cases}
-\]
-
-On pose $\epsilon = L << 1$, donc le temps rapide $\tau = \frac{t}{\epsilon}$\\
-
-Identification avec le système (1) : $x_1=\omega$ et $x_2 =i$.
-
-Pour $\epsilon=0$, $\Sigma_0$ est donnée 
-\[ i = \frac{u-k\omega}{R} = X_2(x_1,u) \]
-
-Ainsi, la dynamique lente est donnée par 
-\[ J \dd{\omega}{\tau} = \epsilon(k(\frac{u-k\omega}{R}) - \alpha \omega - C_r) \]
-
-En temps lent, la nouvelle expression est 
-\[ J \dd{\omega}{t} = -(\frac{k^2}{R}+\alpha) \omega - C_r + \frac{k}{R}u \]
-
-On peut améliorer l'approximation de la variété $\Sigma_{0,\epsilon}$ via un DL du 1er ordre.
-
-\[ i = \frac{u-k\omega}{R} + \frac{L}{R}(\dot{u}-\frac{k}{J}(k(\frac{u-k\omega}{R})-\alpha\omega-C_r)) + \mathcal{O}(L^2) \]
-
-Par exemple, si on veut avoir $i_0=0$, alors $\Sigma_0 = k\omega$. Pour garder $i_0=0$ pour $\Sigma_{0,\epsilon}$, on doit imposer une variation lente de $u$ (lente par rapport à $L\dd{}{t}$
-\[ \dot{u} = -\frac{k}{J}(\alpha\omega+C_r) - \mathcal{O}(L^2) \]
-\end{exemple}
-
-\begin{rem}
-$C_r = -\frac{\dot{u}J}{k}$ est utilisée pour estimer $C_r$ en modulant $\dot{u}$ afin que $i_0$ reste aussi plat que possible et $\omega=0$.
-\end{rem}
-
-\subsection{Hiérarchisation par commande à grand gain}
-
-Soit le système (1), où la commande n'intervient que sur $x_2$ linéairement :
-\[
-  \begin{cases}
-    \dot{x_1} & = f_3(x_1,x_2)  \\
-    \dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + u \end{cases} , \quad x_1 \in \R^{n_1}, x_2 \in \R^{n_2}, u \in\R^{n_2}
-  \]
-
-Soit $x_2^*$ la trajectoire consigne à imposer à $x_2$. Avec comme hypothèse $f_2(x_1,x_2)$ bornée, nous appliquons la commande à grand gain
-\[ u = -\frac{k}{\epsilon}(x_2-x_2^*)\]
-où $\epsilon<< 1$ et $k$ matrice diagonale définie positive.
-
-Ainsi, suivant la nouvelle échelle de temps $\tau = \frac{t}{\epsilon}$
-\[
-    \begin{cases}
-\dd{x_1}{\tau} & = \epsilon f_1(x_1,x_2) \quad \text{dynaique lente}\\
-\dd{x_2}{\tau} & = \epsilon f_2(x_1,x_2) - k(x_2-x_2^*) \quad \text{perturbation et dynamique de convergence rapide}
-\end{cases}
-\]
-
-$\Sigma_0$ est la variété $x_2 = x_2^*$.
-
-Pour $\epsilon\neq 0$, $\Sigma_{0,\epsilon}$ est la variété $x_2=x_2^*+k\epsilon f_2(x_2,x_2^*)$
-
-La dynamique lente est $\dd{x_1}{\tau} = \epsilon f_1(x_1,x_2^*)$. Par conséquent la consigne $x_2^*$ (commande fictive) peut servir à commander la dynamique lente.
-
-\newpage
-\section{Commande par backstepping}
-
-Soit un système sous forme triangulaire (apparition successive des différentes commandes) :
-\begin{align*}
-\dot{x_1} & = f_1(x_1) + x_2 \\
-\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + x_3 \\
-& \vdots \\
-\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots x_n) + u 
-\end{align*}
-
-\subsection{Procédure de synthèse}
-
-\paragraph{Étape 1} Afin d'imposer la consigne $x_1^*$, on utilise la fonction de Lyapunov 
-\[ V_1(x_1) = \frac{1}{2}(x_1 - x_1^*)^2 \]
-Pour assurer la stabilité, il faut que $\dot{V_1}(x_1)$ soit définie négative.
-\begin{align*}
-\dot{V_1}(x_1) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) \\
-& = (x_1 - x_1^*)(f_1(x_1) + x_2 - \dot{x_1^*}) 
-\intertext{On cherche donc $x_2$ pour que}
-\dot{V_1}(x_1) & = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 \quad \text{ avec } \alpha_1 < 0 \\
-x_2^* & = \alpha_1(x_1-x_2^*) - f_1(x_1) + \dot{x_1^*}
-\end{align*}
-
-Cela assure la convergence asymptotique de $x_1$ vers $x_1^*$.
-
-\paragraph{Étape 2} Faire converger $x_2$ vers $x_2^*$. On utilise la nouvelle fonction de Lyapunov 
-\[ V_2(x_1,x_2) = \frac{1}{2}(x_1-x_1^*)^2 + \frac{1}{2}(x_2-x_2^*)^2 \]
-On veut $\dot{V_2}(x_1,x_2)$ définie négative :
-\begin{align*}
-\dot{V_2}(x_1,x_2) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) + (x_2-x_2^*)(\dot{x_2} - \dot{x_2^*}) \\
-& = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 + \alpha_2(x_2-x_2^*)^2
-\intertext{Pour avoir une hiérarchisation dynamique, on pose $\alpha_2 < \alpha_1 < 0$ (la dynamique 2 est plus rapide que la 1)}
-(x_2-x_2^*)(\dot{x_2} - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
-(x_2-x_2^*)(f_2(x_1,x_2) + x_3 - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
-x_3^* & = \alpha_2(x_2-x_2^*) - f_2(x_1,x_2) + \dot{x_2^*}
-\end{align*}
-La démarche est la même à l'étape $n$ :
-\[ u  = \dot{x_n^*} - f_n(x_1,\dots,x_n) + \alpha_n(x_n-x_n^*) \]
-avec $\alpha_n < \alpha_{n-1} < \dots < \alpha_2 < \alpha_1$
-
-\begin{rem}
-Cette méthode est généralisable à des systèmes sans forme :
-\begin{align*}
-\dot{x_1} & = f_1(x_1) + g_1(x_1)x_2 \\
-\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + g_2(x_1,x_2)x_3 \\
-& \vdots \\
-\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots,x_n) + g_n(x_1,\dots,x_n)u
-\end{align*}
-sur $\mathcal{D} = \{x_1,\dots,x_n \text{ tq } g_1 \neq 0,\dots,g_n\neq 0 \}$
-\end{rem}
-
-
-\newpage
-\section{Rejet de perturbation}
-
-\subsection{Cas SISO}
-\[ (1) \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + g(x)u + p(x) w  \\  y & = h(x)  \end{cases}  \]
-
-Même principe que pour la linéarisation par bouclage, on dérive la sortie par rapport au temps :
-\[ \dot{y} = \derivp[h(x)]{x} \dot{x} = L_fh(x) + L_gh(x) u + L_ph(x) w \]
-
-\paragraph{Cas 1} $L_ph(x) \neq 0$\\
-Si $L_gh(x) \neq 0$ et la perturbation $w$ est mesurable (rarement), alors le rejet de la perturbation est obtenu par 
-\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x) - L_ph(x)w) \quad \text{avec trivialement } v = \dot{y}\]
-Si la perturbation n'est pas mesurable, on réalise une linéarisation dynamique avec $x_{n+1} = u$ et $x_{n+2} = w$ mais dans ce cas la perturbation $w$ doit être canonique, i.e. $\exists \alpha \in \N \text{ tq } w^{(\alpha)} = 0$.
-
-Ainsi, on dérive la sortie jusqu'à disparition de la perturbation puis on linéarise.\\
-
-\noindent Si $L_gh(x) = 0$, on calcule les dérivées d'ordres supérieurs de la sortie jusqu'à apparition de la commande (linéarisation dynamique).
-
-\paragraph{Cas 2} $L_ph(x) = 0$.\\
-Si $L_gh(x)\neq0$, la perturbation est rejetée pour 
-\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x)) \]
-Su $L_gh(x) = 0$, on dérive une deuxième fois la sortie.
-
-\begin{prop}
-Soient $r$ le degré relatif correspondant à $L_gL_f^{r-1}h(x) \neq 0$ et $\sigma$ le plus petit entier pour lequel $L_pL_f^{\sigma-1}h(x) \neq0$, alors :
-\begin{itemize}
-\item si $r<\sigma$ la perturbation $w$ est rejetée par la commande linéarisante
-\item si $r=\sigma$ la perturbation $w$ est rejetée si elle est mesurable
-\item si $r>\sigma$ le rejet de $w$ ne peut se faire que par une linéarisation dynamique : observateur NL si $w$ n'est pas canonique
-\end{itemize}
-\end{prop}
-
-
-\subsection{Cas MIMO}
-\[ \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x)u_i + p(x) w  \\  y & = h(x)  \end{cases}, \quad x \in \R^n, u \in \R^m, y \in \R^d \]
-Même principe que le cas SISO mais une linérisation MIMO où chaque nouvelle entrée $v_i$, permet de rejeter les perturbations sur $y_i$.
-
-\begin{rem}
-L'incertitude sur le modèle peut être interprétée comme une perturbation. En effet, le modèle (1) s'écrit 
-\[ \begin{cases} f(x) & = f(x) + \Delta f(x) + g(x) u + \Delta g(x) u  \\  y & = h(x)  \end{cases} \]
-
-Suivant l'analyse sur le bouclage linéarisant, le rejet d'incertitude est obtenu si 
-\begin{align*}
-L_{\Delta f} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-2 \\
-L_{\Delta g} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-1
-\end{align*}
-
-Ce résultat ne peut être vérifié qu'a posteriori car $\Delta f$ et $\Delta g$ sont inconnues.
-\end{rem}
-
-\newpage
-\section{Robustesse en NL - Commande par mode glissant}
-
-%%\imgt{8/1}
-
-Un terme $u_r$ est ajouté à la commande de départ $u_{eq}$ ...
-
-\begin{exemple}[Onduleur de tension commandé en courant]
-Sans avoir à modéliser la charge, on veut imposer la forme de courant :
-%%\imgt{8/2}
-\end{exemple}
-
-\subsection{Éléments de synthèse de la commande}
-
-\begin{enumerate}
-\item Synthétiser une commande sans prise en compte de l'incertitude ni de la perturbation : surface de glissement (poursuite asymptotique)
-\item Commande gardant les états sur la surface de glissement ayant pour hypothèse l'incertitude ou la perturbation bornées : variation de la structure du système par commutation
-\end{enumerate}
-
-\begin{defin}[Surface de glissement ou commutation]
-$S(x,t)$ est la surface autour (dans un voisinage) de laquelle le système évolue avec une dynamique imposée par $S$.
-\end{defin}
-
-\begin{defin}[Système à structure variable]
-Un système est à structure variable si son entrée commute entre deux valeurs suivant une logique bien spécifique $\sigma(x)$ 
-%%\img{0.5}{8/3}
-\end{defin}
-
-\begin{defin}[Commande par mode glissant]
-Commande discontinue ayant pour objectif de faire converger le système en $S$. On utilise la fonction de Lyapunov \[ V(x,t) = \frac{1}{2}S^2(x,t) \]
-
-Pour avoir convergence vers la surface de glissement, il faut avoir 
-\[ \dot{V}(x,t) = S(x,t) \dot{X}(x,t) \leq 0 \]
-
-$\sigma(x)$ est la logique qui impose $S\dot{S} \leq 0$
-\end{defin}
-
-\begin{rem}
-$S\dot{S}$ est la condition d'existence d'un régime glissant sur la surface $S$.
-\end{rem}
-
-\subsection{Application de la commande par mode glissant}
-
-La poursuite asymptotique est une méthode de détermination de $S$.
-
-Soit $\epsilon(t) = y_c(t) - y(t)$ où $y_c$ est la consigne et $y$ la sortie.
-
-On pose $S = \epsilon^{(m)}(t) + \beta_{m-1}\epsilon^{(m-1)} + \dots + \beta_1 \dot{\epsilon} + \beta_0 \epsilon$ où $\beta_i, i =0,\dots,m-1$ sont choisis pour imposer la dynamique de convergence.
-
-\begin{rem}
-Par exemple, on peut choisir $S = (\frac{d}{dt} + \lambda)^m \epsilon, \lambda >0$
-
-Choix de la commande (bouclage linéarisant)
-\end{rem}
-
-On pose $m=r-1$ où $r$ est le degré relatif et on a 
-\begin{align*}
-u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-2} \epsilon^{(i-1)} + \alpha K sgn(S) ) \\
-u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) ) 
-\end{align*}
-
-
-Ainsi en utilisant le changement de variable $z_i = L_f^{i-1}h(x) = \phi_i(x), i = 1,\dots,r$, la commande linéarisante avec poursuite asymptotique et robuste s'écrit :
-\[ u = \frac{1}{b(z,\eta)} (-a(z,\eta) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S)) \]
-avec pour modèle normal :
-\begin{align*}
-\dot{z_1} & = z_2 \\
-& \vdots \\
-\dot{z_{r-1}} & = z_r \\
-\dot{z_r} & = y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) + \Delta a (z,\eta) \\ 
-\dot{\eta} & = q(z,\eta) + \Delta q(z,\eta) + \Delta p(z,\eta)u \\
-\text{ avec } & \Delta a (z,\eta) = L_{\Delta f} L_f^{r-1} h(x), \Delta q(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta, \Delta p(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta
-\end{align*}
-
-On suppose que $|\Delta a (z,\eta)| < K < \infty$ donc pour avoir $\dot{z_r} = y_c^{(r)}$, on doit poser $\dot{S} = - \alpha K sgn(S) - \Delta a(z,\eta)$.
-
-Cas $S>0 \Rightarrow \dot{S} < -K(\alpha-1) < 0 \si \alpha > 1$
-
-Cas $S<0 \Rightarrow \dot{S} > K(\alpha-1) > 0 \si \alpha < 1$
-
-Ainsi on vérifie la condition d'existence du régime glissant, alors quand la trajectoire atteint $S$, alors $y \to y_c$ suivant la dynamique imposée par $S$.
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap8.tex

@@ -0,0 +1,320 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\begin{document}
+\section{Échelles de temps}
+
+Soit le système $(S)$  (avec $f_1$ et $f_2$ lisses (de classe $C^{\infty}$), avec $x_1\in\R^{n_1}$ et $x_2\in\R^{n_2}$.)
+
+\[
+  \begin{cases}
+    \dot{x_1} & = \epsilon f_1(x_1,x_2,u) \\
+    \dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2,u)
+  \end{cases}
+\]
+
+On suppose que $0 < \epsilon \ll 1$. et on pose $\tau = \epsilon t$, alors  $\tau$ est plus lent que $t$. Ainsi, le système $(S)$ dans la nouvelle échelle temporelle est donnée par:
+
+\begin{align*}
+\dd{x_1}{\tau} & = f_1(x_1,x_2,u) ~~\text{ Dynamique lente et d'ordre 0  en } 1/\epsilon \\
+\dd{x_2}{\tau} & = \frac{1}{\epsilon} f_2(x_1,x_2,u) \text{ Dynamique rapide et d'ordre 1 en }1/\epsilon
+\end{align*}
+
+Ainsi, dans le cas d'un point d'équilibre stable, $x_2$ converge plus rapidement vers $\Sigma_0$ que $x_1$ vers $\Sigma_\epsilon$ avec :
+\[
+  \begin{cases}
+    \Sigma_0 = \{(x_1,x_2,u) ~~|~~ f_2(x_1,x_2,u)=0\} \\
+    \Sigma_\epsilon = \{(x_1,x_2,u) ~~|~~ f_1(x_1,x_2,u)=0 \text{ et }f_2(x_1,x_2,u)=0 \} \subset \Sigma_0
+\end{cases}
+\]
+\begin{rem}
+  La variété $\Sigma_\epsilon$ dégènre en $\Sigma_0$ pour $\epsilon \to 0$.
+\end{rem}
+\section{Détermination du voisinage}
+
+L'objectif est d'avoir seulement à faire converger $x_1 \to x_1^*$.\\
+
+À partir du théorème des fonctions implicites, nous avons l'existence de $X_2 \text{ tq } x_2 = X_2(x_1,u)$.
+
+\begin{defin}
+On définit la variété
+\[ \Sigma_{0,\epsilon} = \{ (x_1,x_2) / f_2(x_1,x_2,u,\epsilon) = 0 \} \]
+avec $\dot{u} = \epsilon v$ où $v$ est une fonction bornée.
+\end{defin}
+
+La variété $\Sigma_{0,\epsilon}$ est obtenue à partir de $\Sigma_0$ avec une faible variation de la commande.
+
+\begin{prop}
+  Soit le système ($S$) avec $rang(\derivp[f_2]{x_2}) = n_2$, alors: \\
+  \begin{center}
+  $\exists X_2(x_1,u,\epsilon)$ tel que $\forall u$ vérifiant $\dot{u} = \epsilon v$, $v$ bornée, \\ $(x_1,x_2) \in \Sigma_{0,\epsilon}$ avec $x_2 = X_2(x_1,u,\epsilon)$.
+\end{center}
+\end{prop}
+
+Interprétation :
+La variété $\Sigma_0 \Leftrightarrow x_2=X_2(x_1,u)$, obtenue pour $\epsilon=0$, continue d'exister pour $\epsilon \neq 0$ et suffisamment petit si $\dot{u}=\epsilon v$, $v$ bornée, c'est à dire pour une dynamique de $u$ lente.
+
+
+\begin{exemple}[MCC]
+\[
+    \begin{cases}
+
+    L\dd{i}{t} & = u-Ri - k\omega \text{ Dynamique électrique}\\
+    J\dd{\omega}{t} & = Ki - \alpha\omega -C_r \text{ Dynamique mécanique temps lent}
+  \end{cases}
+\]
+
+On pose $\epsilon = L << 1$,  on a donc le temps rapide $\tau = \frac{t}{\epsilon}$\\
+
+Identification avec le système (1) : $x_1=\omega$ et $x_2 =i$.
+
+Pour $\epsilon=0$, $\Sigma_0$ est donnée 
+\[ i = \frac{u-k\omega}{R} = X_2(x_1,u) \]
+
+Ainsi, la dynamique lente est donnée par 
+\[ J \dd{\omega}{\tau} = \epsilon(k(\frac{u-k\omega}{R}) - \alpha \omega - C_r) \]
+
+En temps lent, la nouvelle expression est 
+\[ J \dd{\omega}{t} = -(\frac{k^2}{R}+\alpha) \omega - C_r + \frac{k}{R}u \]
+
+On peut améliorer l'approximation de la variété $\Sigma_{0,\epsilon}$ via un DL du 1er ordre.
+
+\[ i = \frac{u-k\omega}{R} + \frac{L}{R}(\dot{u}-\frac{k}{J}(k(\frac{u-k\omega}{R})-\alpha\omega-C_r)) + \mathcal{O}(L^2) \]
+
+Par exemple, si on veut avoir $i_0=0$, alors $\Sigma_0 = k\omega$. Pour garder $i_0=0$ pour $\Sigma_{0,\epsilon}$, on doit imposer une variation lente de $u$ (lente par rapport à $L\deriv[]{t}$
+\[ \dot{u} = -\frac{k}{J}(\alpha\omega+C_r) - \mathcal{O}(L^2) \]
+\end{exemple}
+
+\begin{rem}
+$C_r = -\frac{\dot{u}J}{k}$ est utilisée pour estimer $C_r$ en modulant $\dot{u}$ afin que $i_0$ reste aussi plat que possible et $\omega=0$.
+\end{rem}
+\section{Synthèse de commande hiérarchisante}
+
+\subsection{Hiérarchisation par commande à grand gain}
+
+Soit le système (1), où la commande n'intervient que sur $x_2$ linéairement :
+\[
+  \begin{cases}
+    \dot{x_1} & = f_3(x_1,x_2)  \\
+    \dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + u \end{cases} , \quad x_1 \in \R^{n_1}, x_2 \in \R^{n_2}, u \in\R^{n_2}
+  \]
+
+Soit $x_2^*$ la trajectoire consigne à imposer à $x_2$. Avec comme hypothèse $f_2(x_1,x_2)$ bornée, nous appliquons la commande à grand gain
+\[ u = -\frac{K}{\epsilon}(x_2-x_2^*)\]
+où $\epsilon<< 1$ et $K$ matrice diagonale définie positive.
+
+Ainsi, suivant la nouvelle échelle de temps $\tau = \frac{t}{\epsilon}$
+\[
+    \begin{cases}
+\dd{x_1}{\tau} & = \epsilon f_1(x_1,x_2) \quad \text{dynamique lente}\\
+\dd{x_2}{\tau} & = \epsilon f_2(x_1,x_2) - k(x_2-x_2^*) \quad \text{perturbation et dynamique de convergence rapide}
+\end{cases}
+\]
+
+$\Sigma_0$ est la variété $x_2 = x_2^*$.
+
+Pour $\epsilon\neq 0$, $\Sigma_{0,\epsilon}$ est la variété $x_2=x_2^*+k\epsilon f_2(x_2,x_2^*)$
+
+La dynamique lente est $\dd{x_1}{\tau} = \epsilon f_1(x_1,x_2^*)$. Par conséquent la consigne $x_2^*$ (commande fictive) peut servir à commander la dynamique lente.
+
+\begin{rem}
+  Avec cette méthode on a simplifié la synthèse :
+  \[
+    \begin{cases}
+      u : x_2 \xrightarrow[1/\epsilon]{} x_2^* \\
+      x_2^* : x_1 \xrightarrow[1/\epsilon]{} x_1^* \\
+    \end{cases}
+  \]
+  Où $x_2^*$ est une commande ``fictive''dans le cas ou $x_1$ est à sortie asservie
+\end{rem}
+\begin{rem}
+  cette méthode à cependant des inconvénients:
+  \begin{itemize}
+  \item Amplification du bruit de mesure ($x_2$)
+  \item Risque de saturation $\frac{K}{\epsilon}\gg 1$.
+  \end{itemize}
+\end{rem}
+\subsection{Commande par backstepping}
+
+Soit un système sous forme triangulaire (apparition successive des différentes commandes) :
+\begin{align*}
+\dot{x_1} & = f_1(x_1) + x_2 \\
+\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + x_3 \\
+& \vdots \\
+\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots x_n) + u 
+\end{align*}
+
+\paragraph{Procédure de synthèse}
+
+\paragraph{Étape 1} Afin d'imposer la consigne $x_1^*$, on utilise la fonction de Lyapunov 
+\[ V_1(x_1) = \frac{1}{2}(x_1 - x_1^*)^2 \]
+Pour assurer la stabilité, il faut que $\dot{V_1}(x_1)$ soit définie négative.
+\begin{align*}
+\dot{V_1}(x_1) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) \\
+& = (x_1 - x_1^*)(f_1(x_1) + x_2 - \dot{x_1^*}) 
+\intertext{On cherche donc $x_2$ pour que}
+\dot{V_1}(x_1) & = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 \quad \text{ avec } \alpha_1 < 0 \\
+x_2^* & = \alpha_1(x_1-x_2^*) - f_1(x_1) + \dot{x_1^*}
+\end{align*}
+
+Cela assure la convergence asymptotique de $x_1$ vers $x_1^*$.
+
+\paragraph{Étape 2} Faire converger $x_2$ vers $x_2^*$. On utilise la nouvelle fonction de Lyapunov 
+\[ V_2(x_1,x_2) = \frac{1}{2}(x_1-x_1^*)^2 + \frac{1}{2}(x_2-x_2^*)^2 \]
+On veut $\dot{V_2}(x_1,x_2)$ définie négative :
+\begin{align*}
+\dot{V_2}(x_1,x_2) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) + (x_2-x_2^*)(\dot{x_2} - \dot{x_2^*}) \\
+& = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 + \alpha_2(x_2-x_2^*)^2
+\intertext{Pour avoir une hiérarchisation dynamique, on pose $\alpha_2 < \alpha_1 < 0$ (la dynamique 2 est plus rapide que la 1)}
+(x_2-x_2^*)(\dot{x_2} - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
+(x_2-x_2^*)(f_2(x_1,x_2) + x_3 - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
+x_3^* & = \alpha_2(x_2-x_2^*) - f_2(x_1,x_2) + \dot{x_2^*}
+\end{align*}
+La démarche est la même à l'étape $n$ :
+\[ u  = \dot{x_n^*} - f_n(x_1,\dots,x_n) + \alpha_n(x_n-x_n^*) \]
+avec $\alpha_n < \alpha_{n-1} < \dots < \alpha_2 < \alpha_1$
+
+\begin{rem}
+Cette méthode est généralisable à des systèmes sans forme :
+\begin{align*}
+\dot{x_1} & = f_1(x_1) + g_1(x_1)x_2 \\
+\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + g_2(x_1,x_2)x_3 \\
+& \vdots \\
+\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots,x_n) + g_n(x_1,\dots,x_n)u
+\end{align*}
+sur $\mathcal{D} = \{x_1,\dots,x_n \text{ tq } g_1 \neq 0,\dots,g_n\neq 0 \}$
+\end{rem}
+
+\section{Rejet de perturbation}
+
+\subsection{Cas SISO}
+\[ (1) \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + g(x)u + p(x) w  \\  y & = h(x)  \end{cases}  \]
+
+Même principe que pour la linéarisation par bouclage, on dérive la sortie par rapport au temps :
+\[ \dot{y} = \derivp[h(x)]{x} \dot{x} = L_fh(x) + L_gh(x) u + L_ph(x) w \]
+
+\paragraph{Cas 1} $L_ph(x) \neq 0$\\
+Si $L_gh(x) \neq 0$ et la perturbation $w$ est mesurable (rarement), alors le rejet de la perturbation est obtenu par 
+\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x) - L_ph(x)w) \quad \text{avec trivialement } v = \dot{y}\]
+Si la perturbation n'est pas mesurable, on réalise une linéarisation dynamique avec $x_{n+1} = u$ et $x_{n+2} = w$ mais dans ce cas la perturbation $w$ doit être canonique, i.e. $\exists \alpha \in \N \text{ tq } w^{(\alpha)} = 0$.
+
+Ainsi, on dérive la sortie jusqu'à disparition de la perturbation puis on linéarise.\\
+
+\noindent Si $L_gh(x) = 0$, on calcule les dérivées d'ordres supérieurs de la sortie jusqu'à apparition de la commande (linéarisation dynamique).
+
+\paragraph{Cas 2} $L_ph(x) = 0$.\\
+Si $L_gh(x)\neq0$, la perturbation est rejetée pour 
+\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x)) \]
+Su $L_gh(x) = 0$, on dérive une deuxième fois la sortie.
+
+\begin{prop}
+Soient $r$ le degré relatif correspondant à $L_gL_f^{r-1}h(x) \neq 0$ et $\sigma$ le plus petit entier pour lequel $L_pL_f^{\sigma-1}h(x) \neq0$, alors :
+\begin{itemize}
+\item si $r<\sigma$ la perturbation $w$ est rejetée par la commande linéarisante
+\item si $r=\sigma$ la perturbation $w$ est rejetée si elle est mesurable
+\item si $r>\sigma$ le rejet de $w$ ne peut se faire que par une linéarisation dynamique : observateur NL si $w$ n'est pas canonique
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
+
+\subsection{Cas MIMO}
+\[ \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x)u_i + p(x) w  \\  y & = h(x)  \end{cases}, \quad x \in \R^n, u \in \R^m, y \in \R^d \]
+Même principe que le cas SISO mais une linérisation MIMO où chaque nouvelle entrée $v_i$, permet de rejeter les perturbations sur $y_i$.
+
+\begin{rem}
+L'incertitude sur le modèle peut être interprétée comme une perturbation. En effet, le modèle (1) s'écrit 
+\[ \begin{cases} f(x) & = f(x) + \Delta f(x) + g(x) u + \Delta g(x) u  \\  y & = h(x)  \end{cases} \]
+
+Suivant l'analyse sur le bouclage linéarisant, le rejet d'incertitude est obtenu si 
+\begin{align*}
+L_{\Delta f} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-2 \\
+L_{\Delta g} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-1
+\end{align*}
+
+Ce résultat ne peut être vérifié qu'a posteriori car $\Delta f$ et $\Delta g$ sont inconnues.
+\end{rem}
+
+\section{Robustesse en NL - Commande par mode glissant}
+
+%%\imgt{8/1}
+
+Un terme $u_r$ est ajouté à la commande de départ $u_{eq}$ ...
+
+\begin{exemple}[Onduleur de tension commandé en courant]
+Sans avoir à modéliser la charge, on veut imposer la forme de courant :
+%%\imgt{8/2}
+\end{exemple}
+
+\subsection{Éléments de synthèse de la commande}
+
+\begin{enumerate}
+\item Synthétiser une commande sans prise en compte de l'incertitude ni de la perturbation : surface de glissement (poursuite asymptotique)
+\item Commande gardant les états sur la surface de glissement ayant pour hypothèse l'incertitude ou la perturbation bornées : variation de la structure du système par commutation
+\end{enumerate}
+
+\begin{defin}[Surface de glissement ou commutation]
+$S(x,t)$ est la surface autour (dans un voisinage) de laquelle le système évolue avec une dynamique imposée par $S$.
+\end{defin}
+
+\begin{defin}[Système à structure variable]
+Un système est à structure variable si son entrée commute entre deux valeurs suivant une logique bien spécifique $\sigma(x)$ 
+%%\img{0.5}{8/3}
+\end{defin}
+
+\begin{defin}[Commande par mode glissant]
+Commande discontinue ayant pour objectif de faire converger le système en $S$. On utilise la fonction de Lyapunov \[ V(x,t) = \frac{1}{2}S^2(x,t) \]
+
+Pour avoir convergence vers la surface de glissement, il faut avoir 
+\[ \dot{V}(x,t) = S(x,t) \dot{X}(x,t) \leq 0 \]
+
+$\sigma(x)$ est la logique qui impose $S\dot{S} \leq 0$
+\end{defin}
+
+\begin{rem}
+$S\dot{S}$ est la condition d'existence d'un régime glissant sur la surface $S$.
+\end{rem}
+
+\subsection{Application de la commande par mode glissant}
+
+La poursuite asymptotique est une méthode de détermination de $S$.
+
+Soit $\epsilon(t) = y_c(t) - y(t)$ où $y_c$ est la consigne et $y$ la sortie.
+
+On pose $S = \epsilon^{(m)}(t) + \beta_{m-1}\epsilon^{(m-1)} + \dots + \beta_1 \dot{\epsilon} + \beta_0 \epsilon$ où $\beta_i, i =0,\dots,m-1$ sont choisis pour imposer la dynamique de convergence.
+
+\begin{rem}
+Par exemple, on peut choisir $S = (\frac{d}{dt} + \lambda)^m \epsilon, \lambda >0$
+
+Choix de la commande (bouclage linéarisant)
+\end{rem}
+
+On pose $m=r-1$ où $r$ est le degré relatif et on a 
+\begin{align*}
+u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-2} \epsilon^{(i-1)} + \alpha K sgn(S) ) \\
+u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) ) 
+\end{align*}
+
+
+Ainsi en utilisant le changement de variable $z_i = L_f^{i-1}h(x) = \phi_i(x), i = 1,\dots,r$, la commande linéarisante avec poursuite asymptotique et robuste s'écrit :
+\[ u = \frac{1}{b(z,\eta)} (-a(z,\eta) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S)) \]
+avec pour modèle normal :
+\begin{align*}
+\dot{z_1} & = z_2 \\
+& \vdots \\
+\dot{z_{r-1}} & = z_r \\
+\dot{z_r} & = y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) + \Delta a (z,\eta) \\ 
+\dot{\eta} & = q(z,\eta) + \Delta q(z,\eta) + \Delta p(z,\eta)u \\
+\text{ avec } & \Delta a (z,\eta) = L_{\Delta f} L_f^{r-1} h(x), \Delta q(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta, \Delta p(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta
+\end{align*}
+
+On suppose que $|\Delta a (z,\eta)| < K < \infty$ donc pour avoir $\dot{z_r} = y_c^{(r)}$, on doit poser $\dot{S} = - \alpha K sgn(S) - \Delta a(z,\eta)$.
+
+Cas $S>0 \Rightarrow \dot{S} < -K(\alpha-1) < 0 \si \alpha > 1$
+
+Cas $S<0 \Rightarrow \dot{S} > K(\alpha-1) > 0 \si \alpha < 1$
+
+Ainsi on vérifie la condition d'existence du régime glissant, alors quand la trajectoire atteint $S$, alors $y \to y_c$ suivant la dynamique imposée par $S$.
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex

@@ -8,6 +8,8 @@
 \usepackage{multicol}
 \usetikzlibrary{decorations.markings}
 \usetikzlibrary{patterns}
+
+\let\epsilon\varepsilon
 \begin{document}
 
 \maketitle
@@ -20,6 +22,7 @@
 \newpage
 
 \tableofcontents
+\part{Études des systèmes non linéaires}
 \chapter{Classification}
 \subfile{chap1.tex}
 \chapter{Caractérisation de la stabilité}
@@ -30,10 +33,13 @@
 \subfile{chap4.tex}
 \chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
 \subfile{chap5.tex}
+\part{Commande des systèmes non linéaires}
 \chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
 \subfile{chap6.tex}
 \chapter{Commande par bouclage linéarisant}
 \subfile{chap7.tex}
+\chapter{Commande hiérarchisée}
+\subfile{chap8.tex}
 \end{document}
 
 %%% Local Variables: