cours 453 13/03

453-Traitement_Image/Cours/chap2.tex

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+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\begin{document}
+\emph{le poly distribué est très bien fait, ici il n'y aura que des prise de note et l'essentiel du cours}
+\section{Philosophie et difficultés}
+\subsection{Introduction}
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \sbEntree{x}
+    \sbBlocL{H}{H}{x}
+    \sbSumh{sum}{H}
+    \sbRelier{H}{sum}
+    \sbSortie{Y}{sum}
+    \sbRelier{x}{H}
+    \sbRelier{sum}{Y}
+    \sbDecaleNoeudy[-3]{sum}{b}
+    \sbRelier{b}{sum}
+    \node[above] at (b){$b$};
+    \node[left]at(x){$x$};
+    \node[right]at(Y){$y$};
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Modélisation du problème direct}
+\end{figure}
+
+\paragraph{Méthode}
+On fait des hypothèse sur $x$ pour déterminer $\hat{x}$ qui permette de reconstituer un $y$ proche de celui mesuré.
+
+On a une connaissance parfaite des hypothèses que l'on a fait.
+
+\subsection{Problème mal posé}
+\begin{defin}
+  Les \emph{Condition de Hadamard} permettent de savoir si un problème est bien posé.
+  \begin{itemize}
+  \item L'existence d'une solution quelques soit l'ensemble des donneés ${\cal Y} = Im(H)$
+  \item L'unicité: $\Ker(H)=\{0\}$
+  \item Continuité :lorsque l'erreur $\delta y $tend vers 0 ,$\delta x $ tend aussi vers 0.
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+\subsection{Discrétisation et linéarisation}
+Pour $x\in\R^M $et $y\in\R^N$ on considère que $H$ est un opérateur linéaire.
+\begin{prop}
+  On note $p=rg(H)$
+  \begin{itemize}
+  \item $ p = N=M$ Alors $H$ bijectif, $\vec{\hat{x}} = H^{-1}\vec{y}$.
+  \item $ p <M$ pas d'unicité mais on a :
+    \[
+      \vec{\hat{x}} =(\vec{H}^t(\vec{HH}^t)^{-1})\vec{y}
+    \]
+  \item $ p>M$ pas d'existance mais on peux trouver l'inverse généralisé
+    \[
+      \vec{\hat{x}} = (\vec{H}^t\vec{H})^{-1}\vec{H}^t\vec{y}
+    \]
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+\newcommand{\vertiii}[1]{{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert #1 
+    \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}}
+\paragraph{Conditionnement de la matrice}
+En ajoutant une erreur $\delta\vec{x}$ a$\hat{\vec{x}}$ on peux calculer comment la matrice $H$ ``amplifie le bruit''
+
+\begin{defin}
+  À partir de l'inverse généralisé on a :
+  \[
+    \|\delta x \| \leq \vertiii{(\vec{H}^t\vec{H})^{-1}} \vertiii{\vec{H}^t}
+  \]
+  avec $\vertiii{\vec{H}} = \sqrt{\max\{Sp(\vec{H})\}}$
+  Alors on défini le nombre de condition:
+  \[
+    \delta x \le c \delta y
+  \]
+  Avec :
+  \[
+    c =\sqrt{\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}}
+  \]
+\end{defin}
+
+
+Si il y a un mauvais conditionnement, le bruit (qui est presente sur toutes les composantes de la base modale) est amplifié de manière disproportionnées sur certaine composantes.
+
+\paragraph{Décomposition en valeur singulière tronquées} On réduit la matrice à ces plus grandes valeurs propres pour réduire le conditionnement
+\[
+  \tilde{\vec{H}}= \vec{U_t\Lambda_tV_t}
+\]
+L'estimateur devient :
+\[
+  \hat{\vec{x}} = (\tilde{\vec{H}^t}\tilde{\vec{H}})^{-1}\tilde{\vec{H}^t}\vec{y}
+\]
+
+\section{Quelques méthode d'inversion classique}
+\section{Caractérisation statistique des estimateurs}
+\section{Interprétation bayésienne}
+\section{Application à un cas simple d'observation multiple}
+\section{Application à la déconvolution problème d'optimisation}
+\section{Appliation de ma méthodologie bayésienne}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:
+

453-Traitement_Image/Cours/main.tex

@@ -13,6 +13,7 @@
 \author{Pierre-Antoine Comby}
 \teacher{Emmanuel Aldea \& Thomas Rodet}
 \module{453 - Traitement d'Image}
+\renewcommand{\vec}{\mathbf}
 \usepackage{multicol}
 
 \begin{document}
@@ -21,7 +22,8 @@
 \tableofcontents
 \chapter{Introduction au traitement d'image}
 \subfile{chap1.tex}
-
+\chapter{Inversion de donnée en imagerie}
+\subfile{chap2.tex}
 \end{document}
 
 %%% Local Variables: