From 12fc5b2b5c3d407000a8a1d01124210647e1f040 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pierre-antoine Comby <comby@crans.org>
Date: Tue, 30 Apr 2019 18:27:26 +0200
Subject: [PATCH] suite du 433

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 .../Cours/chap24.tex                          | 102 +++++++++++++++++-
 .../Cours/main.tex                            |   1 -
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diff --git a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap24.tex b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap24.tex
index e43cf5a..c40162b 100644
--- a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap24.tex
+++ b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap24.tex
@@ -1,6 +1,19 @@
 \documentclass[main.tex]{subfiles}
 \begin{document}
 Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
+\begin{defin}
+  On rappel:
+  \begin{itemize}
+  \item La rapidité de modulation est noté $R = 1/T$ en [bauds]\\
+  \item Le débit binaire $D = 1/T_b$.
+  \item $T = log_2(M) .T_b$
+  \end{itemize}
+  Soit:
+  \[
+    R = \frac{D}{\log_2(M)}
+  \]
+\end{defin}
+
 \section{Caractéristique du canal}
 \label{sec:carac_canal}
 On choisit d'étudier un canal :
@@ -13,8 +26,8 @@ On choisit d'étudier un canal :
 
 Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
 \begin{align*}
-  r(t) &= g_r(t) \star h(t) \star e(t) + g_r(t)\star n(t)\\
-       &= g_r(t) \star h(t) \star \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)
+  r(t) &= g_r(t) \ast h(t) \ast e(t) + g_r(t)\ast n(t)\\
+       &= g_r(t) \ast h(t) \ast \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)\\
        &= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
 \end{align*}
 $b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.
@@ -47,7 +60,7 @@ IES =  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
 \]
 Que l'on peux exprimer comme:
 \[
-  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\star h(t_0+nT)\star g(t_0+(n-k)T)
+  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\ast h(t_0+nT)\ast g(t_0+(n-k)T)
 \]
 \end{defin}
 
@@ -67,7 +80,7 @@ Soit $IES = 0 $
 
 \begin{thm}[Critère de Nyquist]
   On ne peux pas transmettre sans IES un signal de rapidité de modulation $R = 1/T$ dans une bande inférieure à $1/2T$.
-  Un canal respecntant le premier criètre de Nyquist est tel ue:
+  Un canal respectant le premier criètre de Nyquist est tel que:
   \[
     B \ge \frac{1}{2T} = B_{Nyquist}
   \]
@@ -126,10 +139,89 @@ Soit $IES = 0 $
  \end{proof}
 
 \section{Impulsion de Nyquist}
-\section{Capacité de canal}
 
+  Toutes les fonctions qui vérifie l'équation suivante, vérifie le critère de Nyquist.
+  \[
+    \sum_{n}^{}Y^{(t_0)}(f-\frac{n}{T}) = T
+  \]
 
+  La DSP rectangulaire centrée en fait partie.
+  \begin{rem}
+    On a cepedant des lobs secondaire elevé dans la DSP (sinus
+    cardinal pur), ce qui peux être dramatique en cas de mauvaise
+    synchronisation. On cherche donc d'autre fonctions candidates avec
+    des lobes secondaires moins élevé.
+  \end{rem}
+
+  \begin{defin}
+    Le filtre en cosinus surélevé vérifie ces deux critères. Sa DSP
+    est alors:
+    \[G(f) = 
+      \begin{cases}
+        T  & \forall f  \in \left[-\frac{1-\alpha}{2T},\frac{1-\alpha}{2T}\right]\\
+        \frac{T}{2}\left[1+\sin\left(\frac{\pi t}{\alpha}\left(\frac{1}{2T}-|f|\right)\right)\right] & \frac{1-\alpha}{2T}\le |f| \le \frac{1+\alpha}{2T}\\
+        0 & \text{ sinon}
+      \end{cases}
+    \]
+    Ce qui donne la reponse temporelle:
+    \[
+      g(t) = \frac{\sin\left(\frac{\pi t}{T}\right)}{\frac{\pi t}{T}}
+      \frac{\cos\left(\frac{\pi\alpha t}{T}\right)}{\left(1-4\alpha^2 \frac{t^2}{T^2}\right)}
+    \]
+
+    Avec$\alpha$ le \emph{Roll-off} compris entre 0 et 1 .
+
+    Pour $\alpha=0$on retrouve l'impulsion rectangulaire. pour $\alpha=1$ on a
+    un filtre de Hanning.
+  \end{defin}
+  \begin{exemple}
+    Dans la téléphonie 3G $\alpha=0,22$.
+  \end{exemple}
+
+  \begin{figure}[H]
+    \centering
+    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+      \centering
+      \caption{Réponse fréquentielle}
+      \label{fig:label}
+    \end{subfigure}%
+    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+      \centering
+      \caption{réponse temporelle}
+      \label{fig:label}
+    \end{subfigure}
+    \caption{Différents filtres respectant le critère de Nyquist}
+  \end{figure}
+ 
+  \section{Capacité de canal}
+
+  \subsection{Critère empirique HTS}
+  \begin{defin}
+    \textsc{Hartley}, \textsc{Tuller},\textsc{Shannon} on établi la
+    formule empirique:
+    \[
+      m \le m_{max} = \sqrt{1+\frac{S}{N}}
+    \]
+    Avec $S$ et $N$ puissance du signal et du bruit. et $m$ le nombre
+    de niveau de codage possible.
+  \end{defin}
+  \subsection{À retenir}
+  \begin{defin}
+    C la capacité du canal est le nombre maximal de bit qu'il est
+    susceptible de transmettre par seconde.
+
+    \[C = D_{max} = R.\log_2(M) = B\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)
+    \]
+  \end{defin}
+
+  \begin{prop}
+    Pour un canal de transmission de type passe-bas, de bande passante
+    $B$ et bruité par un BABG le débit doit toujours être inférieur à
+    la capacité de Shannon.
+  \end{prop}
 \end{document}
+
+
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "main"
diff --git a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/main.tex b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/main.tex
index 55c55bc..73294ea 100644
--- a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/main.tex
+++ b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/main.tex
@@ -12,7 +12,6 @@
 \maketitle
 \tableofcontents
 \newpage
-
 \chapter*{Introduction}
 
 Suite à l'UE 431 nous nous intéresserons dans cette UE aux aspects numériques du traitement et de la transmission de l'information.