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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
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\begin{document}
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\section{Introduction}
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\emph{blabla ,les centrales nucléaire c'est 1GW , avec des machines synchrones. Les MCC sont pas utilisé en forte puissance. on préfère utiliser une machine synchrone ou une machine asynchrone (plus simple, moins cher,etc)}
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La machine asynchrone fonctionne en moteur ou en alternateur.
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Premier dépot déposé en 1888 par Nicolas Tesla.
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Utilisation des différentes technologies de moteur (brushless, bobinés) en automobile et industrie (80\% des moteur de l'industrie sont des machines asynchrones)
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\section{Principe de la machine asynchrone}
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en anglais on parle de \emph{Induction Motor}.
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On génère un champ magnétique tournant au stator
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Le courant électrique est induit dans le rotor , pas besoin de mettre des balais ou de bobinage au rotor.
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\subsection{Le stator triphasé}
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\subsubsection{Champs tournant}
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On a le schéma suivant, $n$ spires sont parcourues par un courant $i_{sa}$.
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
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\fill[gray!20] (0,0) circle (2);
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\draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
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\draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
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\draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
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\draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
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(0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
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\draw[->,densely dashed, thin,rounded corners=5pt] (0, 0.25) -- (2.75, 0.25) arc[start angle=5, end angle=175, radius=2.75]-- (0, 0.25);
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\draw[->,densely dashed,thin,rounded corners=5pt] (0, -0.25) -- (2.75, -0.25) arc[start angle=-5, end angle=-175, radius=2.75] -- (0, -0.25);
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\end{tikzpicture}
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\subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}
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[axis lines = middle,
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xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
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xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
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samples=41,
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xtick={-1,1},ytick=\empty,
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xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
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\addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1,-1) (-1,1) (1,1) (1,-1) (2,-1)};
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\addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
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\end{subfigure}
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\caption{Champ tournant dans le stator}
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\end{figure}
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Avec le théorème d'ampère on a :
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\begin{align*}
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\oint \vec{H}.\vec{dl} &= n_s i_s\\
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\underbrace{ \int H.dl}_{H_{fer}} &+ \underbrace{2H_c e}_{H_e} = n_s i_s\\
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\intertext{Or on a: }
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H_{mat.fer} &\ll H_{entrefer}
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\intertext{Donc on a la force magnétomotrice}
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\Aboxed{\epsilon_s = H_ee =\frac{n_si_s}{2}}
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\end{align*}
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On peux donc tracer :
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La répartition des fils autour du rotor influe sur l'allure de la force magnétomotrice. Par exemple pour une répartition uniforme de $n/3$ spires par encoche :
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
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|
\fill[gray!20] (0,0) circle (2);
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||
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|
\draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
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|
\draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
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\draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
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\draw (0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
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(0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
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\draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
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|
(0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
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|
\draw (-0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
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|
(-0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
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\end{tikzpicture}
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\subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{0.5\linewidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}
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[axis lines = middle,
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xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
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xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
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samples=41,
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xtick={-1,1},ytick=\empty,
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xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
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\addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1.5,-1) (-1.5,-0.5) (-1,-0.5) (-1,0.5)(-0.5,0.5) (-0.5,1) (0.5,1) (0.5,0.5) (1,0.5)(1,-0.5) (1.5,-0.5) (1.5,-1)(2,-1)};
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|
\addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
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\end{subfigure}
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\caption{Approximation sinusoïdale du champ tournant}
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\end{figure}
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en répartissant les bobinage sur le rotor de manière sinusoïdales , on peux générée une force magnétomotrice sinusoïdale également.
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\begin{rem}
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On utilise despetit fils pour éviter l'effet de peau en alternatif, mais cela augmente la resistivité et la puissance dissipée par effet joule, rien n'est parfait.
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\end{rem}
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En utilisant un courant $i_s$ alternatif (à la pulsation $\omega$) on a une onde pulsante:
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\[
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\epsilon_s =\frac{n_si_{max}}{2}cos(\omega t)
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\]
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}
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[axis lines = middle,
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xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
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xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
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samples=51,
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xtick={-1,1},ytick={},
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xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
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\addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
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|
\addplot+[no marks,color=black, dashed] {0.2*cos(pi*deg(x)/2)};
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\addplot+[no marks,color=black, dotted] {-0.5*cos(pi*deg(x)/2)};
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|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
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\end{figure}
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Dans le cas triphasé on répartis les enroulements de manière sinusoïdales (seule un tour de bobinage est représenté) parcourus par $i_{sa} ,i_{sb},i_{sc}$ :
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\[
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\begin{cases}
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i_{sa}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t) \\
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i_{sb}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t+ \frac{2\pi}{3}) \\
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i_{sc}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})
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\end{cases}
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\text{ Soit }
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\begin{cases}
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\epsilon_{sa}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta) \\
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|
\epsilon_{sb}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta-\frac{2\pi}{3}) \\
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|
\epsilon_{sc}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta+\frac{2\pi}{3}) \\
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|
\end{cases}
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\]
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}
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|
[axis lines = middle,
|
||
|
|
xlabel=$\theta$,ylabel=${\epsilon_{sa},\epsilon_{sb},\epsilon_{sc}}$,
|
||
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|
xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
|
||
|
|
samples=51,
|
||
|
|
xtick={-1,1},ytick={},
|
||
|
|
xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
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|
\addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
|
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|
|
\addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2+120)};
|
||
|
|
\addplot+[no marks,color=black, dotted] {cos(pi*deg(x)/2-120)};
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|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
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\end{figure}
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Alors la force magnétomotrice totale vaut:
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\begin{align*}
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\epsilon_s &=\epsilon_a +\epsilon_b+\epsilon_c \\
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&= \frac{n_sI\sqrt{2}}{2}\left(
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|
\cos(\theta)\cos(\theta) + \cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
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|
+\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
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\right)\\
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\Aboxed{ &= \frac{3n_sI}{\sqrt{2}} \cos(\theta-\omega t)}
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\end{align*}
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On a créer un champ tournant , avec trois bobinage , le module de la force magnétomotrice est constant , son argument balaye tout l'espace.
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\subsection{Rotor à une spire en court circuit}
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\begin{figure}[H]
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\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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|
\fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
|
||
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|
\fill[gray!10] (0,0) circle (2);
|
||
|
|
\draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
|
||
|
|
\draw
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|
(110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}};
|
||
|
|
\draw
|
||
|
|
(90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
|
||
|
|
(210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
|
||
|
|
(330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
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||
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|
\draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
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|
|
\draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
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||
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|
\draw[thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
|
||
|
|
\draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
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|
\subcaption{Disposition du rotor (monophasé)}
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|
\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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|
\centering
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|
\begin{circuitikz}
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|
\draw (0,0) to[V,v=$e$] ++(0,2) to[R,l=$R_r$] ++(0,2)-- ++(2,0) |-(0,0);
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|
\end{circuitikz}
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|
\caption{Schéma électrique du rotor en court circuit}
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\end{subfigure}
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\end{figure}
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On a :
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\begin{align*}
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e&= -deriv{\Phi}{t} =R_r i_r
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&= -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r\deriv{\theta_s-\theta_r}{t}\sin(\theta_s-\theta_r)\\
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|
\end{align*}
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Pour $\theta_s=\omega_st$ , position du champs statorique et $\theta_r = \Omega t+ \theta_{r_0}$ ,position du champ rotorique on a:
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\[
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e = -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r(\omega_s-\Omega)\sin((\omega_s-\Omega)t+\theta_{r_0})
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|
\]
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\subsection{Rotor à 3 spires en court circuit}
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\begin{figure}[H]
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|
\centering
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|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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|
|
\begin{tikzpicture}
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|
|
\fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
|
||
|
|
\fill[gray!10] (0,0) circle (2);
|
||
|
|
\draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
|
||
|
|
\draw
|
||
|
|
(110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}}
|
||
|
|
(230:1.8)node[red]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (230:-1.8)node[red]{{\Large$\otimes$}}
|
||
|
|
(350:1.8)node[green]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (350:-1.8)node[green]{{\Large$\otimes$}};
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw
|
||
|
|
(90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
|
||
|
|
(210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
|
||
|
|
(330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
|
||
|
|
\draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
|
||
|
|
\draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
|
||
|
|
\draw[very thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
|
||
|
|
\draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
|
||
|
|
\draw[very thick,-latex] (0,0) -- (-45:3.5)node[below]{$\overrightarrow{B_r}$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\subcaption{Rotor triphasé}
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||
|
|
\end{subfigure}%
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|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\begin{minipage}[h]{1.0\linewidth}
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|
|
On a:
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\begin{itemize}
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\item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ : $\omega_s$
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\item Vitesse de rotation du rotor $\omega_r$
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||
|
|
\item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ dans le repère du rotor : $\omega_s-\omega_r$
|
||
|
|
\item Vitesse de rotation du champ $\overrightarrow{B_r}$ induit dans le rotor dans le repère du stator : $\omega_s$.
|
||
|
|
\end{itemize}
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|
\begin{prop}
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|
|
Le champ induit dans le rotor et le champ du stator tournent à la même vitesse, appelé \emph{la vitesse de synchronisme}
|
||
|
|
\end{prop}
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|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\end{subfigure}
|
||
|
|
\end{figure}
|
||
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|
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|
\section{Modélisation de la machine asynchrone}
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On considère une machine triphasé au rotor et au stator à une paire de pôle:
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\begin{figure}[H]
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|
\centering
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|
\begin{circuitikz}
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|
\draw[red] (0:1.5) node(As){} to[L,v=$V_{as}$,i^<=$i_{as}$,color=red] ++(0:2.5);
|
||
|
|
\draw[red] (120:1.5)node(Bs){} to[L,v=$V_{bs}$,i^<=$i_{bs}$,color=red] ++(120:2.5);
|
||
|
|
\draw[red] (240:1.5)node(Cs){} to[L,v=$V_{cs}$,i^<=$i_{cs}$,color=red] ++(240:2.5);
|
||
|
|
\draw[dashed] (As) -- (0,0) (Bs) --(0,0) (Cs) --(0,0);
|
||
|
|
|
||
|
|
\draw[blue] (35:1) node(Ar){} to[L,v^=$V_{ar}$,i_<=$i_{ar}$,color=blue] ++(35:2.5);
|
||
|
|
\draw[blue] (155:1)node(Br){} to[L,v^=$V_{br}$,i_<=$i_{br}$,color=blue] ++(155:2.5);
|
||
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\draw[blue] (275:1)node(Cr){} to[L,v^=$V_{cr}$,i_<=$i_{cr}$,color=blue] ++(275:2.5);
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\draw[dotted] (Ar) -- (0,0) (Br) --(0,0) (Cr) --(0,0);
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\draw (0,0) circle(4);
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\draw[dotted] (0,0) circle(3.5);
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\draw[-latex] (4.2,0) arc(0:35:4) node[midway,right]{$\theta =\Omega t$};
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\end{circuitikz}
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\caption{Modèle électrique}
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\paragraph{Hypothèses}
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\begin{itemize}
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\item Alimentation sinus triphasé en Régime Permanent
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\item Rotor triphasé en court-circuit
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\item Couplage en étoile des enroulements équilibrés
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\item Fmm sinusoïdales, pas de saturation magnétiques
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\end{itemize}
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\end{figure}
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$\omega_s$ pulsation des courants statorique
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\subsection{Mise en équation}
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\subsubsection{Équation statorique}
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On a les équations suivantes pour le stator:
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\begin{align*}
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v_{as} &= R_s i_{as}(t)+\deriv[\Phi_{as}(t)]{t}\\
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\Phi_{as}(t) &= L_{s} i_{as} + M_s(i_{bs}+i_{bs}) \\&\quad+M_0 (\cos(\theta)i_{ar}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
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\Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\theta+\omega_rt+\phi_r+\theta_0) \\
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||
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\Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\omega_st+\phi_s)
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\end{align*}
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On en déduit donc (Dans le formalisme complexe de l'ARQS)
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\[
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\underline{V_{as}} = R_s \underline{I_s}+jL_{sc}\omega_s\underline{I_{as}}+j \frac{3}{2}M_0\omega_sI_r
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\]
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$I_r$ est à la pulsation $\omega_s$ !
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\subsubsection{Équations rotoriques}
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On fais les mêmes calculs pour le rotor :
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\begin{align*}
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v_{ar}(t) &= R_ri_{ar}(t) + \deriv[\Phi]{t}\\
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\Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +M_0( \cos(\theta)i_{as}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
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||
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\Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\Omega t-\omega_st+\theta_0-\phi_s) \\
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\Phi_{ar}(t) &= L_{rc} i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\omega_rt +\phi_s')
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\end{align*}
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Donc on a dans le formalisme complexe de l'ARQS, avec le rotor en court-circuit:
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\[
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V_{ar} = R_rI_{ar}+jL_{rc}\omega_rI_{ar}+j\frac32 M_0\omega_rI_s =0
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\]
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Soit en posant $g= \frac{\omega_s-\Omega}{\omega_s}=\frac{\omega_r}{\omega_s}$:
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\[
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\frac{\underline{V_{ar}}}{g} = 0 = \frac{R_r}{g} + jL_{Rc}\omega_sI_{ar}+j\frac32 M_0 \omega_sI_s
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\]
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\subsubsection{Modèle par analogie}
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On a donc un couplage magnétique et on peux construire un modèle équivalent:
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{circuitikz}
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\draw (0,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_s$]++(2,0)to[short] ++(1,0) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
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\draw (4,0) to[L,l_=$L_{rc}$] ++(0,2)
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to[short,i=$I_r$] ++(2,0)
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to[R,l=$R_r/g$] ++(0,-2) to[short] ++(-2,0);
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\end{circuitikz}
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\caption{Modèle électrique équivalent}
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\end{figure}
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Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$. On fait l'analogie avec un transformateur parfait avec pertes :
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{circuitikz}
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\draw (0,0) node[gyrator](G){}
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(G.A1) -- ++(-1,0) coordinate(M) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) |- (G.A2)
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(G.B1) to[L,l=$l_{fuites}$] ++(2,0) to[R,l=$R_r/g$] ++ (0,-2) |- (G.B2)
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(M) to[R,l=$R_s$] ++(-2,0)
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(G.A2) -- ++(-3,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2);
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\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$}
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;
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\end{circuitikz}
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\caption{Modèle électrique équivalent}
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\end{figure}
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On a donc l'impédance équivalente suivante à alimenter:
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TBA
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\subsection{Bilan de puissance}
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\begin{align*}
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P_{transmise} &= \frac{R_r}{g}I_r^2 \\
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P_{Joules} &= R_r I_r^2 \\
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P_{meca} &= P_{transmise}-P_{joules} = R_rI_r(\frac{1}{g}-1)
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\end{align*}
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\end{document}
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