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\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
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\title{TP1 : Introduction aux systèmes asservis échantillonés : synthèse de correcteurs analogiques numérisés}
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\author{Aymeric Arnould, Tom Colinot}
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\begin{document}
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\maketitle
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\subsection*{Effets de l'échantillonnage}
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\subsubsection*{Préparation 1}
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\begin{itemize}
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\item Soit un signal sinusoïdal $x(t) = \sin(2 \pi f_0 t)$ échantillonné à la fréquence $F_e = 1/T_e$. Le spectre d'un signal purement sinusoïdal de fréquence $f_0$ est un Dirac de valeur 1 en $f_0$ et un Dirac de valeur -1 en $-f_0$. L'échantillonnage provoque une périodicité de ce spectre, de fréquence $F_e$.
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En effet, l'échantillonnage du signal revient à le multiplier par un peigne de Dirac :
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\[p(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \delta_0(t-nT_e) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T_e} e^{j\frac{2\pi k t}{T_e}} \]
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On peut donc exprimer le signal échantillonné $x^*(t)$ puis sa transformée de Fourier :
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\begin{align*}
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& x^*(t) = x(t).p(t) = \frac{1}{T_e} \sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\frac{2\pi kt}{T_e}} \\
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& X^*(\omega)= \frac{1}{T_e} \sum_{k=- \infty}^{\infty}X(2\pi f-j\frac{2\pi k}{T_e}) \\
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& \boxed{X^*(f)= \frac{1}{T_e} \sum_{k=- \infty}^{\infty}(\delta(f_0-kF_e) - \delta(-f_0-kF_e))} \text{ car } X(f) = \delta_{f_0}(f) - \delta_{-f_0}(f)
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\end{align*}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw [>=latex,->] (-6,0) -- (6,0) node[right]{$f$} ;
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\draw [>=latex,->] (0,-2) -- (0,2) node[left]{$|X(f)|$};
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\draw [red] (1,0)node[below]{$f_0$} -- (1,1);
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\draw [red] (-1,0)node[above]{$-f_0$} -- (-1,-1);
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\draw (5,0)node[below]{$f_0+F_e$} -- (5,1);
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\draw (3,0)node[above]{$-f_0+F_e$} -- (3,-1);
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\draw (-3,0)node[below]{$f_0-F_e$} -- (-3,1);
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\draw (-5,0)node[above]{$-f_0-F_e$} -- (-5,-1);
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\draw [dotted] (-6,1) node[left]{$1/T_e$} -- (6,1);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Représentation du spectre $X^*(f)$ dans le cas où $F_e > 2f_0$}
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\end{figure}
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\item Pour la reconstruction du signal, on utilise un filtre passe-bas idéal :
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\[ H(p=j2\pi f) = \left\{
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\begin{array}{ll}
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1 & \si |f| \leq F_e/2 \\
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0 & \sinon
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\end{array}
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\right.
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\]
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\begin{itemize}
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\item Si $f_0 < F_e / 2$, alors on va couper toutes les composantes sauf celles en $f_0$ et en $-f_0$. Le signal reconstitué sera donc le signal sinusoïdal initial.
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\item Si $f_0 = 1,2F_e$, alors le spectre sera de la forme donnée en figure 2.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw [>=latex,->] (-4,0) -- (5,0) node[right]{$f$} ;
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\draw [>=latex,->] (0,-2) -- (0,2) node[left]{$|X(f)|$};
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\draw [red] (1,0)node[below]{$f_0$} -- (1,1);
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\draw [red] (-1,0)node[above]{$-f_0$} -- (-1,-1);
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\draw (4.2,0)node[below]{$f_0+F_e$} -- (4.2,1);
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\draw (2.2,0)node[above]{$-f_0+F_e$} -- (2.2,-1);
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\draw (-0.2,0)node[below]{$f_0-F_e$} -- (-0.2,1);
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\draw (-2.2,0)node[above]{$-f_0-F_e$} -- (-2.2,-1);
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\draw [dotted] (-4,1) node[left]{$1/T_e$} -- (5,1);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Représentation du spectre $X^*(f)$ dans le cas où $F_e = 1.2f_0$}
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\end{figure}
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Ainsi, en utilisant le filtre passe-bas, on ne récupérera que la composante correspondant à la fréquence $f_0-F_e$, et la reconstitution sera donc incorrecte.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\clearpage
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\subsubsection*{Manipulation 1}
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On réalise à l'aide de Simulink l'échantillonnage et la reconstitution d'un signal de fréquence $f_0$ avec une période d'échantillonnage $T_e=1ms$ ($F_e=1kHz$).
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.35]{m1_f0100.png}
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\includegraphics[scale=0.35]{m1_f01200.png}
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\includegraphics[scale=0.35]{m1_f04010.png}
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\caption{$s(t)$ et $e(t)$ pour $f_0$ = 100Hz, 1,2kHz et 4,01kHz}
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\end{figure}
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\begin{itemize}
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\item Lorsque $f_0 < F_e/2$, le signal est correctement reconstitué.
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\item Lorsque $f_0 = 1,2F_e=1,2kHz$, comme prévu dans la préparation, on ne récupère qu'un signal avec une fréquence $f_0-F_e = 200Hz$.
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\item Lorsque $f_0 \approx kF_e$ (ici $k=4$), alors on récupère de même un signal à la fréquence $f_0-kF_e$ (ici 4010-4000 = 10 Hz): c'est ce qu'on appelle un phénomène de battement.
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Préparation 2}
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Le système comporte dans la chaîne directe le système analogique de fonction de transfert $H(p) = \frac{1}{1+2m_{BO}\frac{p}{\omega_{0BO}}+\frac{p^2}{\omega_{0BO}^2}}$ et un correcteur $C(p) = K_p$.
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\begin{itemize}
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\item L'expression de la fonction de transfert en boucle fermée s'écrit donc :
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\begin{align*}
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H_{BF}(p) & = \frac{H(p)C(p)}{1+H(p)C(p)} \\
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& = \frac{K_p}{(1+2m_{BO}\frac{p}{\omega_{0BO}}+\frac{p^2}{\omega_{0BO}^2}) + K_p} \\
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H_{BF}(p) & = \frac{\frac{K_p}{K_p+1}}{1+2\frac{m_{BO}}{K_p+1}\frac{p}{\omega_{0BO}}+\frac{p^2}{(K_p+1)\omega_{0BO}^2}}
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\end{align*}
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\item Avec $K_p=20$, on a alors
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\begin{align*}
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H_{BF}(p) & = \frac{0.95}{1+3,81.10^{-4}p+3,04.10^{-6}p^2}
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\intertext{On a donc :}
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\frac{1}{\omega_{0BF}^2} & = 3,04.10^{-6} \et
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\frac{2m_{BF}}{\omega_{0BF}} = 3,81.10^{-4}
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\intertext{On en déduit les paramètres en boucle fermée :}
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\omega_{0BF} & = 574 rad.s^{-1} \\
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m_{BF} & = 0,11
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\end{align*}
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À l'aide de l'abaque donnant le temps de réponse réduit $t_r\omega_0$ en fonction de l'amortissement $m$, on en déduit $t_r\omega_0 = 30$ rad donc \[t_r = 52,3ms\]
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L'abaque des dépassements indiciels permet d'obtenir la valeur du premier dépassement
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\[D_1 = 0.7\]
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\item Le diagramme de Bode est donné en annexe 1. On assure une marge de phase de $45^o$ si on a pour une pulsation donnée une phase de $-135^o$ et un gain nul. Pour le système non corrigé, on a un gain de $-7,16dB$ pour une phase de $-135^o$. Multiplier par un gain $K_{45}=10^{7,16/20}=2,28$ permet de translater la courbe de gain sans agir sur la phase, et on a alors bien la marge de phase voulue.
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\end{itemize}
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\clearpage
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\subsubsection*{Manipulation 2}
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\paragraph{Simulation sur Simulink} On réalise l'asservissement analogique et on prend la réponse indicielle.
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Pour $K_p = 20$ on obtient la réponse indicielle donnée en annexe 5. La valeur finale est de 0.95, l'amplitude du premier dépassement est de 1.6. On a donc $D_1=\frac{1.6-0.95}{0.95}=0.68$. Le temps de réponse à $5\%$ est d'environ $50ms$.
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Pour $K_p = K_{45} = 2,28$, on se propose de relever le gain et la phase à $\omega=202rad/s$ (voir annexe 6).On a bien un gain unitaire et une phase de $-135^o$ donc le gain $K_{45}$ assure bien une marge de phase de $45^o$.
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\paragraph{Montage sur la maquette}
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On réalise le montage sur la maquette.
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Pour $K_p=20=R_1/R_2$, on utilise $R_1=12K\Omega$ et $R_2=600\Omega$ en mettant deux résistances de $1,2k\Omega$ en parallèle.
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On obtient la réponse indicielle suivante :
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.5]{m2Kp20.png}
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\caption{Réponse indicielle, $K_p=20$}
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\end{figure}
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Les curseurs nous permettent d'avoir un temps de réponse à $5\%$ de $52ms$ et un premier dépassement de $70\%$.
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\clearpage
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Pour $K_p=K_{45}$, on obtient la réponse suivante à $\omega = 202rad/s$ ($f=32.2Hz$) :
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.5]{m2K45w0dB.png}
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\caption{$s(t)$ et $e(t)$ en boucle ouverte, $K=K_{45}$, $\omega = 202rad/s$}
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\end{figure}
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On a bien un gain unitaire et un déphasage de $-135^o$, donc le gain $K_{45}$ assure bien une marge de phase de $45^o$.
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\bigskip
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\paragraph{Conclusion partie 2} Les résultats donnés par la simulation sont conformes à ceux obtenus par expérimentation sur la plaquette. La simulation Simulink représente bien le système réel implanté sur la plaquette.
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\clearpage
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\subsection*{Correcteur analogique numérisé}
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\subsubsection*{Préparation 3}
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On modélise l'action de l'échantillonneur-bloqueur par un retard pur de fonction de transfert \[B(p) = \exp(-T_ep/2)\]
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Ainsi, le gain de la fonction de transfert en boucle ouverte n'est pas affecté car $|\exp(-T_ep/2)| = 1$, et la phase est modifiée de $arg(\exp(-T_ep/2)) = -T_e/2 \omega$.
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\begin{figure}[h!]
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\includegraphics[scale=0.4]{Bode2.png}
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\caption{Diagrammes de Bode du système analogique et échantillonné}
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\end{figure}
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\begin{itemize}
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\item 1er cas : $T_e = 1ms$ (voir annexe 2)\\
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Le gain correspondant à la phase $-135^o$ est de $-5.7dB$ pour $\omega=190rad/s$, donc on a $K_{45} = 10^{5.7/20} = 1.93$.
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La limite d'instabilité est atteinte lorsqu'on a simultanément une phase de $-180^o$ et un gain de $0dB$. On a ici un gain de $-23.9dB$ pour une phase de $-180^o$, donc on a à la limite d'instabilité $K_{lim}=10^{23.9/20}=15.7$.
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\clearpage
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\item 2ème cas : $T_e = 5ms$ (voir annexe 3)\\
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Le gain correspondant à la phase $-135^o$ est de $-2.5dB$ pour $\omega=150rad/s$, donc on a $K_{45} = 10^{2.5/20} = 1.33$.
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La limite d'instabilité est atteinte lorsqu'on a simultanément une phase de $-180^o$ et un gain de $0dB$. On a ici un gain de $-10,5dB$ pour une phase de $-180^o$, donc on a à la limite d'instabilité $K_{lim}=3,35$.
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\end{itemize}
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\clearpage
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\subsubsection*{Manipulation 3}
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On se propose dans les deux cas ($T_e=1ms$, $T_e=5ms$) de vérifier que le gain $K_{45}$ assure la marge de phase à $45^o$ et que le gain $K_{lim}$ est bien la limite de stabilité.
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\bigskip
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\textbf{1er cas :} $T_e = 1ms$
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.8]{m3retardpurTe1Kp45.png}
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\caption{$e(t)$ et $s(t)$ en boucle ouverte, $K_p=K_{45}$, $\omega=190rad/s$}
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\end{figure}
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Le gain $K_{45}$ assure bien une marge de phase de $-135^o$.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.8]{m3retardpurTe1.png}
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\caption{Réponse indicielle, $K=K_{lim}$}
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\end{figure}
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Le gain $K_{lim}$ assure bien la limite d'instabilité.
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On se propose de comparer la simulation du système avec le correcteur numérique et avec sa modélisation par un retard pur.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.8]{m3compTe1.png}
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\caption{Réponse indicielle simulée pour $K=K_{45}$, avec correcteur numérique (--) et modélisation par un retard pur (+)}
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\end{figure}
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La modélisation par un retard pur est très proche du comportement réel du correcteur.
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En faisant le montage avec la plaquette analogique et le correcteur numérique, on retrouve une réponse semblable.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.5]{m3maquette.png}
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\caption{Réponse indicielle avec la maquette et le correcteur numérique pour $K=K_{45}$}
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\end{figure}
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\clearpage
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\textbf{2ème cas :} $T_e = 5ms$
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.8]{m3retardpurTe5Kp45.png}
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\caption{$e(t)$ et $s(t)$ en boucle ouverte, $K_p=K_{45}$, $\omega=150rad/s$}
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\end{figure}
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Le gain $K_{45}$ assure bien une marge de phase de $-135^o$.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.8]{m3retardpurTe5.png}
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\caption{Réponse indicielle, $K=K_{lim}$}
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\end{figure}
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Le gain $K_{lim}$ assure bien la limite d'instabilité.
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\clearpage
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\subsection*{Synthèse d'un correcteur PI numérisé}
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\subsubsection*{Préparation 4}
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Le diagramme de Bode asymptotique du correcteur $C(p) = K_p(1+\frac{1}{T_ip})$ est le suivant :
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw [>=latex,->] (0,0) -- (0,3) node[left]{$\phi(^o)$} ;
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\draw [>=latex,->] (-1,2) -- (6,2) node[right]{$\omega$};
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\draw [red] (0,1) node[left]{$-90$} -- (3,1) -- (3,2) -- (6,2);
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\draw [>=latex,->] (0,4) -- (0,7) node[left]{$G_{dB}$} ;
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\draw [>=latex,->] (-1,5) -- (6,5) node[right]{$\omega$};
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\draw [red] (0,6.5) -- (3,5.5) -- (6,5.5);
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\draw [red,dashed] (0,5.5) node[left]{$K_p$} -- (3,5.5) -- (3,2) node[left]{$\frac{1}{T_i}$};
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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Pour obtenir une marge de phase de $-45^o$, il faut utiliser $K_p$ pour ajuster la courbe de gain. Pour cela, on se place dans le domaine où le gain du correcteur est égal à $K_p$ et où la phase est nulle.
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Le gain $K_p$ utilisé sera celui calculé précédemment, $K_{45} = 2.28$.
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On avait pour le système non corrigé une phase de $-135dB$ pour une pulsation de 202 rad/s. On va donc placer $\frac{1}{T_i}=\frac{202}{10}$ donc $T_i=49.5ms$.
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\end{document}
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