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TeX
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\documentclass{article}
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\input{../../preambule/preambule}
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\newcommand{\nom}{TDx : Choix de la fonction de Lyapunov candidate et Commandabilité et Observabilité}
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\renewcommand{\nomentete}{UE455 - \nom}
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\begin{document}
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\titre{\nom}
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\section*{Exercice 9: Comparaison de LZM et de LZ77}
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On considère une source $\X$ ayant généré le message suivant:
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\[bongbonbongobang\$ \]
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ou $\$$ est un symbole particulier marquant la fin du message, mais qui devra être codé comme les autres symboles.\\
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\begin{enumerate}
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\item Trivial
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\item très simple
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\item easy
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\item On confond fréquence et probabilité estimé:
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\begin{tabular}{|c|c|}
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\hline
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Symboles & Fréquence \\
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\hline
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\hline
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b & $\frac{4}{17}$ \\
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\hline
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o & $\frac{4}{17}$ \\
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\hline
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n & $\frac{4}{17}$ \\
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\hline
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g & $\frac{3}{17}$ \\
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\hline
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a & $\frac{1}{17}$ \\
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\hline
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$\$$ & $\frac{1}{17}$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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L'entropie est donc de 2.4 bits/symbole.
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\item On initialise le dictionnaire avec
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On commence par coder la première lettre, puis on rajoute la lettre et la lettre suivante au dictionnaire et ainsi de suite.
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Lorsque l'on arrive a $bo$ qui est déjà dans le dictionnaire, on peut directement le coder, puis on le rajoute ainsi que la lettre qui suit c'est à dire $bon$, et ainsi de suite.
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Le dictionnaire ainsi généré est:
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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a & b & g & o & n & $\$$ & bo & on & ng &gb & bon & nb & bong & go & ob & ba & an & ng$\$$\\
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\hline
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0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17\\
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\hline
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\end{tabular}
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La séquence ainsi obtenue est :
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\[\text{1 4 3 2 6 3 10 0 4 1 0 8 5}\]
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\item Pour décoder, on effectue la même démarche, on décode 1 en d qui est déjà dans le dictionnaire et on ajoute d et la prochaine lettre trouvée et ainsi de suite.
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Si on l'effectue correctement on retrouve le même texte avec le même dictionnaire.
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\item Il prend 5 symboles à partir de second.
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\item Problème d'initialisation, il n'est pas possible de coder un symbole qui n'est jamais apparu.
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\item A l'itération i, on a $x_1,...,x_n = [y_i,\omega_i, \xi^{(i)},z_i]$ avec $y_i$ qui est déjà codé, $\omega_i$ la plus longue sous chaine de $y_i$ et $\xi^{(i)}$ le symbole suivant $\omega_i$.\\
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Ainsi $[\omega_i , \xi_{(i)}]$ est codé $ <j, k, \xi_{(i)}>$.\\
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Si $\omega_i = 0$ on code $ <0, 0, \xi_{(i)}>$.
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ET on oublie pas : $c(i,:) = <j, k, \xi_{(i)}>$, c'est à dire: ??!?. Ça traine tout seul dans son coin du tableau.
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\item Pour coder la chaîne bongbonbongobang$\$$, on commence par coder les quatre premiers symboles, c'est à dire que l'on a:
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\[<0,0<b> <0,0,o> <0,0,n> <0,0,g>\]
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Puis on code les quatre suivant ensemble avec $<1,3,b>$ car la sous-chaine composé de $bon$ apparait déjà avant.\\
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Puis $ongo$ car la racine $ong$ existe déjà donc on a $<2,3,o>$.\\
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Ensuite on code $ba$ qui donne $<1,1,a>$.\\
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Et pour finir on code $ng\$$ qui donne $<3,2,\$>$.
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\item \begin{lstlisting}
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c; //vecteur de triples
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x = []; // séquence décodée
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for i=1:length(c)
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x = [x, x[c(i,1):c(i,1)+c(i,2)], c(i,3)]
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end
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\end{lstlisting}
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\item Pour coder la chaîne bongbonbongobang$\$$, on commence par coder les quatre premiers symboles, c'est à dire que l'on a:
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\[<0,0<b> <0,0,o> <0,0,n> <0,0,g>\]
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Puis on code les quatre suivant ensemble avec $<1,3,b>$ car la sous-chaine composé de $bon$ apparait déjà avant.\\
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Puis $ongo$ car la racine $ong$ existe déjà donc on a $<2,3,o>$.\\
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Ensuite on code $ba$ qui donne $<1,1,a>$.\\
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Et pour finir on code $ng\$$ qui donne $<3,2,\$>$.
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\item On effectue le même travail en décodant cette fois. Si on ne se trompe pas, on retombe sur la même chose.
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\item Avec la méthode C, pour coder bongbongbonbongobang$\$$ on obtient:
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$<0,0,b> ... <0,0,g> <1,7,b><2,3,o><1,1,a><3,2,\$>$
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Ce que l'on retient c'est que pour bongbon on a une répétition sur 7 symbole des 4 premiers, après il suffit d'appliquer bêtement l'énoncé.
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\item \begin{lstlisting}
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c;
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x=[];
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for i=1:length(c)
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for j = 1:c(i,2)
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x = x[x,x[c(i,1+j-1)];
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end
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end
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\end{lstlisting}
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LE problème est que ? pas compris ce qu'il a dit.
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\item \begin{align*}
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0 \leq j \leq s \Rightarrow \lceillog_2 S \rceil \text{ bits} \\
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0 \leq k \leq s + t \Rightarrow \lceillog_2 (S+t) \rceil \text{ bits} \\
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u \Rightarrow \lceillog_2 u \rceil \text{ bits} \\
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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