\varepsilon=&\frac{1}{2}\times\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi\sigma^{2}}}\exp\left(-\frac{(x+\Delta / 2)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) d x \\&+\frac{1}{2}\times\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{\sqrt{2 \pi\sigma^{2}}}\exp\left(-\frac{(x-\Delta / 2)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) d x
\end{align*}
\[
\begin{aligned}\varepsilon&=\frac{1}{2}\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x+\frac{1}{2}\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x \\
C'est la fonction de répartition complémentée de la loi normale.
\begin{align*} G_{c}\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right) &=\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x \\&=1-\int_{-\infty}^{\Delta / 2 \sigma}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp\left(-\frac{(x)^{2}}{2}\right) d x \\&=1-F\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right) \end{align*}
\begin{defin}
Dans les télecom on utlise les fonciton $erf$ et $erfc$
\[
\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{+\infty}\exp\left(-r^{2}\right) d r=1-\operatorname{erf}(x)
\epsilon_b = G_c\left(\sqrt{\frac{S}{2N}}\right) \text{ et }\epsilon_b = G_c\left(\sqrt{\frac{S}{N}}\right)
\]
\end{itemize}
\end{prop}
\subsection{Cas d'un mot à $N$ digits}
\begin{prop}
Soit un sytème de transmission dont le taux moyen d’erreur par élément binaire $\epsilon_b$ , avec lequel on transmet une information à l’aide de mots de longueur n (n digits), on peut dire :
\begin{itemize}
\item que la probabilité pour qu’un élément binaire soit juste est $(1-\epsilon b )$
\item que la probabilité que tous les éb du mot, qui sont indépendants, soient justes, donc que le mot n’ait pas d’erreur, est $M(0)=(1-\epsilon b )^n$
\item que la probabilité pour qu’il n’y ait qu’une erreur (un seul élément binaire faux dans le mot) est $M(1)= n.\epsilon_b .(1-\epsilon_b)^{n-1}$.
\item que la probabilité pour qu’il y ait k erreurs dans le mot (k<n) est
sauf ceux où il n’y a pas d’erreur et ceux où il n’y a qu’une erreur.
\end{itemize}
\end{prop}
\section{Filtre adapté (Optimisation du RSB)}
\subsection{Conception du filtre adpaté}
On a vu que le BER est directement lié au RSB. L'objectif du filtre de réception est donc de maximiser le RSB à l'instant de prise de décision, on parle alors de filtre adapté.
\item$n$ un BABG centrée et de variance $\sigma_n$.
\end{itemize}
\end{prop}
On fait les hypothèses suivantes:
\begin{itemize}
\item L'égaliseur a parfaitement compensé l'effet du canal
\item Le sysytème est parfaitement synchronisé $\implies s(t_0+nT)\simeq g_e(t_0+nT)$
\end{itemize}
\begin{defin}
\emph{Puissance de bruit}
\[
\begin{aligned}
\mathcal{N}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{b b}(f) d f \\&=\int_{-\infty}^{+\infty}\left|G_{r}(f)\right|^{2}\phi_{n n}(f) d f \\&=\frac{\sigma_{n}^{2}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{r}(\tau)\right|^{2} d f
\end{aligned}
\]
\emph{Puissance du signal}
\[
r\left(t_{0}+n T\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right) g_{r}(\tau) d \tau
\]
Puis
\[
\begin{aligned}\mathcal{S}\left(t_{0}+n T\right) &=\left|r\left(t_{0}+n T\right)\right|^{2}\\&=\left|\int_{-\infty}^{+\infty} g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right) g_{r}(\tau) d \tau\right|^{2}\\\end{aligned}
\]
\end{defin}
\begin{prop}
On a d'apres l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
\[
\mathcal{S}\left(t_{0}+n T\right) \leq\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right)\right|^{2} d \tau\times\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{r}(\tau)\right|^{2} d \tau
\]
La puissance sera maximale si $g_r(t)=C\times g_e^*(t_0+nT-\tau)$ avec $C$ une constante.On choisit donc cette expression pour le filtre adapté.
On a le RSB suivant:
\[
\mathcal{S} / \mathcal{N}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right)\right|^{2} d \tau}{\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}}
\]
\end{prop}
\subsection{Réalisation du filtre adapté}
On réalise filtre adatpé en réalisatant une corrélation entre $g_e$ et $s$. Tout est très bien expliqué dans le cours de l'UE451.
