Les quantifications sont optimisées de manière à obtenir un débit minimale sous contrainte de distortion ou bien une distortion minimale sous contrainte de débit. La distorsion étant une mesure de l'erreur entre $X$ et $\hat{X}$.
Un quantificateur est défini par des intervalles de quantification $b_0 < b_1 < ... < b_n$ et par des valeurs de reconstitution $y_1,...,y_n$ : si on a $x \in[b_{i-1} ; b_i[$ alors $Q(x)= y_i$.
On introduit une mesure de distorsion pour les performances d'un quantificateur qui toute les bonnes propriétés d'une distance symétrique, définie positive). Les principales mesures considérées sont:
\begin{itemize}
\item la mesure de distorsion en valeur absolue, $d(x,y)= |x-y|$
\item la mesure de distorsion quadratique, $d(x,y)=(x-y)^2$
\item le mesure de distorsion de Hamming, $d(x,y)=
Pour une source $X$ décrite par une distribution de probabilité $f_X(x)$, la distorsion introduite par un quantificateur $Q(x)$, est la moyenne de la mesure de la distorsion:
On considère une source $X$ uniformément distribuée sur $[-X_{max} ; X_{max}]$. On considère aussi un quantificateur uniforme, c'est à dire que les intervalles de quantification sont tous de même taille, à M niveaux de sortie, situés au milieux des intervalles de quantification.
Prenons par exemple, un quantificateur à 4 niveaux de quantification:
D &= \int_{-X_{max}}^{X_{max}}\frac{1}{2X_{max}}(x-Q(x))^2 dx
\intertext{Comme $Q(x)$ est connu et constant sur un intervalle de quantification, on découpe simplement l'intervalle en sous-intervalles de quantification:}
On considère une source $X$ décrite par sa ddp $f_X(x)$, quantifiée par un quantificateur uniforme à $M$ niveaux de pas $\Delta$. Si $M$ est fini on peux considérer deux type de quantificateur:
On considère une source $X$ discrète décrite par une ddp $f_X(x)$. On cherche le quantificateur non-uniforme à $M$ niveaux de sortie qui minimise la distorsion de quantification pour une norme de distorsion quadratique.\\
\item$y_i^{(k)}$ obtenus à partir des $b_i^{(k-1)}, i=0\dots M$ en utilisant la 1ère condition d'optimalité
\item$b_i^{(k)}$ obtenus à partir des $y_i^{(k)},i=1\dots M$ en utilisant la 2ème condition d'optimalité
\item$k=k+1$
\item tant qu'il y a des variations des $y_i$ ou des $b_i$, aller en 2.
\end{enumerate}
\begin{rem}
Essayer d'implémenter l'algorithme de Lloyd-Max à l'aide de Matlab, C ou Python pour les fétichistes. Pour Matlab, utiliser la fonction \texttt{quad} afin de calculer les intégrales. Prendre une ddp gaussienne.
Essayer de retrouver ceci pour $M=4$ et $\sigma=1$
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
$i$&$b_i$&$y_i$\\\hline
1 & -0.98 & -1.51 \\
2 & 0 & -0.45 \\
3 & 0.98 & 0.45 \\
4 &$+\infty$& 1.51 \\
\end{tabular}
\end{center}
Prendre l'infini égal à 10.
\end{rem}
\begin{rem}
On ne quantifie jamais sur le domaine des pixels, car les ddp y sont immondes. On effectue des transformées, et ensuite les ddp sont sympa (gaussiennes, laplaciennes), ce qui permet d'avoir des algorithmes efficaces.
La plupart du temps, les quantifications sont uniformes (JPEG, JPEG200, H264...). On n'utilise des quantifications non uniformes que dans le cas d'applications très précises, où le gain de 2 ou 3 dB sur le $RSB$ est vraiment nécessaire.
\end{rem}
\newpage
\section{Comportement asymptotique}
Pour étudier le comportement asymptotique d'un quantificateur, on suppose $M$ grand (les intervalles de quantification seront petits), $f_X(x)\approx f_X(y_i)$ sur $[b_{i-1},b_i]$. On note $\Delta_i = b_i - b_{i-1}$.\\
On a \[P_i = Pr(X\in[b_{i-1},b_i])\approx f_X(y_i)\Delta_i\]
\begin{align*}
D & = \sum_{i=1}^M \int_{b_{i-1}}^{b_i} (x-y_i)^2 f_X(x) dx \\
D & = \sum_{i=1}^M f_X(y_i) \int_{b_{i-1}}^{b_i} (x-y_i)^2dx
\intertext{On suppose que $y_i$ est au milieu de l'intervalle $[b_{i-1},b_i]$}
\intertext{On doit trouver les $\Delta_i$ et les $\alpha_i$ qui minimisent $D$ sous la contrainte $\sum_{i=1}^M \alpha_i = C$. On introduit donc le Lagrangien du problème :}
L(\alpha_1,\dots\alpha_M,\lambda) & = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^M\alpha_i^3 + \lambda (\sum_{i=1}^M \alpha_i - C)
\intertext{Condition d'optimalité :}
\derivp[L]{\alpha_i} = 0 &\Rightarrow\frac{1}{4}\alpha_i^2 + \lambda = 0, \quad i = 1 \dots M \\
&\Rightarrow\alpha_i^2 = -4\lambda
\intertext{Les $\alpha_i$ sont donc tous égaux, d'où}
D & = \frac{1}{12}(\int_{-\infty}^{+\infty} (f_X(x))^{1/3}dx)^3.2^{-2R}
\end{align*}
\begin{rem}
Comme pour la quantification uniforme, on a une décroissance en $2^{-2R}$ de la distorsion en fonction du débit. Ici, il y a un facteur multiplicatif qui dépend de la ddp de la source.
Pour une source quelconque, le comportement débit / distorsion sera :
\[\boxed{ D(R)=\epsilon_X \sigma_X^22^{-2R}\text{ avec }\epsilon_X =\frac{1}{12\sigma_X^2}(\int_{-\infty}^{+\infty}(f_X(x))^{1/3}dx)^3}\]
\end{rem}
\section{Quantification vectorielle - Algorithme de Linde-Buzo-Gray}
Avec une quantification vectorielle on considère des vecteurs de $N$ échantillons de la source que l'on va représenter à l'aide d'un index de quantification.
%\img{0.5}{2/2/2}
Pour un couple (poids, taille), on peut :
\begin{itemize}
\item quantifier indépendamment le poids et la taille avec deux quantificateurs scalaires
\item les quantifier simultanément avec une quantification vectorielle
\end{itemize}
\subsection*{Algorithme de Linde-Buzo-Gray}
\newcommand{\x}{\underline{x}}
Cet algorithme permet de fabriquer une quantification vectorielle optimale (optimum local) pour un ensemble de $K$ points de $\R^N$ : $\x_1\dots\x_K$ et quantifiés sur $M$ niveaux.
\newcommand{\y}{\underline{y}}
Pour cela, on introduit la mesure de distorsion $d(\x,\y)=\frac{1}{N}||\x-\y||^2$.
Le quantificateur va minimiser la distorsion.\\
Initialisation :
\begin{itemize}
\item On sélectionne $M$ points $\y_1^{(0)},\dots,y_M^{(0)}$ parmi les $\x_1,\dots,\x_K$ au hasard.
\item$l=0, D_l =+\infty$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On réalise une quantification de $\x_1,\dots,\x_K$ en se servant de $\y_1^{(l)},\dots,\y_M^{(l)}$.
\item Actualisation des valeurs de reconstruction. On considère l'ensemble des points appartenant à \[\Cc_j^{(l)}=\{\x_1^{(l)},\dots, \x_{K_l}^{(l)}\}, \quad j =1,\dots,M\]
On calcule le barycentre des points de $\Cc_j^{(l)}$ qui constitue la nouvelle valeur de reconstruction.
\item Aller en 1 tant que $D^{l-1}- D^l > \epsilon$
\end{enumerate}
L'algorithme LBG converge vers une minimum local de la distorsion.
\newcommand{\Cc}{\mathcal{C}}
En pratique :
\begin{itemize}
\item on transmet pour chaque $\x_i$ l'index $j$ de la cellule de Voronoi $\Cc_j$ auquel il appartient.
\item il faut transmettre au récepteur l'ensemble des points de reconstruction $\y_1^{(\overline{l})},\dots,\y_M^{(\overline{l})}$ où $\overline{l}$ est l'index final des itérations.
\item la phase de réglage du quantificateur peut se faire sur seulement $L<<K$ points si on a beaucoup de points.
\end{itemize}
\newpage
\section{Quantification scalable}
L'objectif est de permettre une flexibilité en terme de compression débit-distorsion. Une possibilité est d'avoir recours à un quantificateur scalable.\\
On considère une source uniforme sur $[-X_{max};X_{max}]$ quantifiée sur 8 niveaux.
%\img{0.5}{2/3/2}
Si on a $K$ échantillons à quantifier, on obtient $3K$ bits.\\
Les $K$ bits de poids fort sont placés dans un premier paquet.
Les $K$ bits de poids intermédiaire sont placés dans un second paquet.
Les $K$ bits de poids faible sont placés dans un troisième paquet.\\
Des utilisateurs disposant d'un mauvais canal recevront le premier paquet : la distorsion sera élevée.
Des utilisateurs disposant d'un excellent canal recevront les 3 paquets et auront une distorsion faible.\\
\begin{rem}
Cette méthode permet de réaliser une quantification sans avoir à connaître l'état du canal.
