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TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\section{Principe du codage par transformée}
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On considère une source $\vec{\mathcal{X}}\in \R^n$ ou $\in \R^{n\times m}$ (images).
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Et une réalisation de cette source $\vec{x} \in \R^n$ ou $\vec{X}\in\R^{n\times m}$.
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La représentation naturelle de $\vec{x}$ est la base canonique
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de $\R^n$ .
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Si $\vec{x}$ représente par exemple une suite de $N$ échantillons d'un signal audio, les composantes de $\vec{x}$ auront plus ou moins la meme variance, mais ils ne seronts (en général) pas indépendant entre eux. POur exploiter cette propriété, on peux:
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\begin{itemize}
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\item réaliser un codage prédictif (voir chapitre 4)
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\item réaliser un codage par transformée
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\end{itemize}
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Dans le second cas on essaie d'exprimer $\vec{x}$sur une ``meilleure'' base que la base canonique.
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\section{Transformations}
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\begin{defin}
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Une base de $\R^n$ est ensemble de $n$ vecteurs $\{\vec{u_1} ...\vec{u_n}\}$ linéairement indépendants.
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Si on pose
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\[
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\vec{U} = [ \vec{u_1} ... \vec{u_n}]
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\]
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Alors $\vec{U}$ est inversible.
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\end{defin}
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\paragraph{Transformation inverse}
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\begin{defin}
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On dispose de $\vec{t}$ vecteur dont les composantes sont exprimées dans la base $\{\vec{u_1} ... \vec{u_n}\}$ dans la base canonique
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On a :
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\[
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\vec{x}= \sum_{i=1}^{n}t_i\vec{u_i} = \vec{U}\vec{t}
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\]
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\end{defin}
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\paragraph{Transformation directe}
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\begin{defin}
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On dispose de $\vec{x}$ dont les composantes sont données dans la base canonique.
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On veux obtenir son vecteur de composante $\vec{t}$ dans la base $\{\vec{u_1} ... \vec{u_n}\}$:
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\[
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\vec{t} = \vec{U}^{-1}\vec{x}
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\]
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\end{defin}
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\paragraph{Base unitaires}
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\begin{defin}
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Une base est dite \emph{unitaire} ssi
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\[
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\begin{cases}
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<\vec{u}_i ,\vec{u}_j> = 0 &\quad\forall i \neq j\\
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<\vec{u}_i ,\vec{u}_i> = 1 &\quad\forall i \in [1 ... n]
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\end{cases}
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}
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Pour une base unitaire on a:
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\begin{itemize}
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\item transformée inverse: $\vec{x}=\vec{Ut}$
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\item transformée directe: $\vec{t} = \vec{U}^T\vec{x}$
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\item $\vec{U}^T\vec{U}= \vec{U}\vec{U}^T = \vec{I_n}$
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\end{itemize}
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une transformée dans une base unitaire préserve la norme quadratique.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\[
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\|\vec{t}\|^2 = \vec{t}^T\vec{t} = \vec{x}^T \vec{U}^T\vec{U}\vec{x} = \vec{x}^T\vec{x} =\|\vec{x}\|^2
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\]
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\end{proof}
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\begin{rem}
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Une transformée est unitaire lorsqu'elle implique une base unitaire.
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\end{rem}
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Si on veux transformée une image $\vec{X}\in \R^{n\times n}$ il faut considéré un ensemble de matrice $\vec{U_1 ... U_{n\times n}}\}$ base de $\R^{n\times n}$.
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Pour réaliser la transformation :
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\begin{itemize}
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\item On construit un vecteur $\vec{x} \in R^{n^2}$ à partir des lignes ou des
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colonnes de $\vec{X}$.
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\item Construire la matrice de transformation $\vec{U}\in \R^{n^2\times n^2}$
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\item Calculer $\vec{t} = \vec{U}^{-1}\vec{x}$
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\item Reformer $\vec{T} \in \R^{n\times m}$ à partir de $t$.
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\end{itemize}
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\begin{defin}
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Une transformée pour une image $\vec{x}\in \R^{n\times m}$ est dites \emph{séparable} s'il existe une matrice $\vec{U_s}$ telle que la matrice $\vec{T}$ transformée définie précédement puisse s'écrire
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\[
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\vec{T} = \vec{U_s}^{-1}\vec{x}(\vec{U_s}^{-1})^T
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\]
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et si $U_s$ est unitaire:
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\[
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\vec{T} = \vec{U_s}^T x \vec{U_s}
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\]
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\end{defin}
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\begin{rem}
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Pour une transformée non séparable on a une complexité en $O(n^4)$.
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Pour une transformée séparable on a une complexité en $O(2n^3)$
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\end{rem}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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