Un système dynamique sur $\D\subset\R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R\times\D\rightarrow\D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D\rightarrow\R^n$ définie par $f(x)=\dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists\rho\in[0,1[$ tel que $\forall(x,y)\in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq\rho ||x-y||$,
\[\text{ alors }\exists! x^*\in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^*$.
\end{thm}
\begin{defin}
Une application $f:(X,d_x)\rightarrow(Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists\alpha > 0$ tel que \[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y))\leq\alpha d_x(x,y)\]
\end{defin}
\begin{rem}
Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
Si $f:D \rightarrow\R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0\in\D, \exists\tau\in]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau]\rightarrow\R^n$
Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M)\subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M)\subseteq M, \quad\forall t \in\R$
Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in\R$ tel que $\chi_t(x)\in M$
En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
On a en effet
$r =\sqrt{x_1^2+ x_2^2}$ et $\theta=\arctan\frac{x_2}{x_1}$
donc
$\dot{r}=\derivp[r]{x_1}\dot{x_1}+\derivp[r]{x_2}\dot{x_2}= r(1-r^2)$ et $\dot{\theta}=\derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1}+\derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2}=1$\\
Ainsi,
$r>1\quad\dot{r}<0\Rightarrow r \rightarrow1$
$r<1\quad\dot{r}>0\Rightarrow r \rightarrow1$
$r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall(x_1,x_2)\in\R^2/\{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si de faibles perturbations induisent de faibles variations de la solution (trajectoire).
\begin{rem}
La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
\end{rem}
\begin{defin}
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
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\begin{rem}
La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
Le point d'équilibre $x^*(x^*=0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}
\begin{defin}
On définit les classes suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha : \R_+\rightarrow\R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha(s)\rightarrow\infty$), alors $\alpha\in\Kc_{\infty}$
\item$\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s)\rightarrow0$
\item$\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+\times\R_+\rightarrow\R_+$ si $\beta(.,r)\in\Lc\text{ et }\beta(s,.)\in\Kc$
Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r)\text{ avec }\alpha\in\Kc, \phi\in\Lc$.
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{example}
$\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|}\text{ avec }\lambda >0$
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha\in\Kc\text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq\alpha(||\chi(t_0,x_0)||)\]
||s_0|| \leq\delta' &\Rightarrow ||\delta|| \leq\epsilon\text{ car }\delta'<\delta
\end{align*}
Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall\epsilon >0, \exists\delta'(\epsilon)$ où $||s_0||=\delta'(\epsilon)\Rightarrow\epsilon=(\delta')^{-1}(||s_0||)$
$\exists r > 0, \forall\sigma > 0, \exists T > 0\text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq\sigma, \forall t \geq T$
\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0\in\R\text{ et } x_0\in\R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset\R$ ou $V_x \in\R^n$ tel que $\forall t_0\in V_t$ et $\forall x_0\in V_x$, l'origine est stable.
\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
$ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$(définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$(définie positive)
\item$V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x)\rightarrow_{||x|| \rightarrow\infty}\infty$
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
Soit $\dot{x}(t)= f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
\[\exists D \subset\R^n, 0\in\D\text{ où }\forall x \in\D, \quad\dot{V}(x)=(\derivp[V]{x})^Tf(x)\leq0\]
Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.
Si $\D=\R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
\end{thm}
\begin{proof}
Si $x=0$ est stable, alors $\forall\epsilon > 0, \exists\delta > 0\text{ tel que } ||s_0|| \leq\delta\Rightarrow ||s|| \leq\epsilon$.
Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq\epsilon$ avec $B_r(0)=\{ x \in\D\text{ tel que } ||x|| \leq r \}$
Soit $\alpha=\min_{||x|| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta}=\{ x \in B_r(0)\text{ tel que } V(x)\leq\beta\}$.
$0\in\Omega_{\beta}$ car $V(0)=0$ et $\Omega_{\beta}\subset B_r(0)$.
Soit $x_0\in\Omega_{\beta}\subset\D$ : $\dot{V}(x)\leq0$
\begin{align*}
\Rightarrow& V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car }\in\D) \\
Pour $\D=\{ ||x|| \leq1\}, x_1^2+x_2^2\geq x_1^4+ x_2^4$ donc $-(x_1^2+ x_2^2)\leq-(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
\end{example}
Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq0$.\\
Si $\exists V : \D\subset\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0\in\D$), tel que
\[\forall x \in\D^*, \quad\dot{V}(x)=\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0\]
alors l'origine est instable.
\end{thm}
\begin{proof}
Instable $\Leftrightarrow$$\exists\epsilon>0$ tel que $\forall\delta >0$, alors $||x_0|| \leq\delta$ et $||x|| \geq\epsilon$\\
$\forall\delta > 0$ soit $r \in]0;\delta[$ tel que:\\
$B_r(0)=\{ x\in\D$ tel que $ ||x|| \leq r \}$ est compact.\\
On pose $\alpha= max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0\in B_r(0)$\\
$V(x_0)=\alpha$, ainsi $V(x)- V(x_0) >0$ :
\begin{align*}
\Rightarrow& V(x) > \alpha\\
\Rightarrow& x \notin B_r(0) \\
\Rightarrow& x \in B_r^c(0)\\
\Rightarrow& ||x||> r
\end{align*}
Donc $\exists\epsilon >0$ tel que $||x|| \geq\epsilon > r$
\end{proof}
\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x}= f(x)$ , où $f:\D\rightarrow\mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V}\leq0\]
Soit $S =\{x \in\D$ tel que $\dot{V(x)}=0\}$.
Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x)=\frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\
On utilise le théorème de Barbashin :
\begin{align*}
S = \{x \in\D\text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\}\Rightarrow x_1 = 0\\
\Rightarrow&\dot{x_2} = 0\\
\Rightarrow& x_2 = 0\\
\Rightarrow& S = \{0\}\\
\Rightarrow&\text{Stabilité asymptotique}
\end{align*}
\end{example}
\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
Soient $\dot{x}= f(x)$ avec $f: \D\rightarrow\mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega\subset\D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V}\leq0$ dans $\Omega$, $E=\{x \in\Omega$ tel que $\dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.
Alors toute solution $x$ tel que $x_0\in\Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow\infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
\end{thm}
\begin{example}[Barbashin]
Soit le système \[
\begin{cases}
\dot{x_1}& =x_2\\\dot{x_2}& = -h(x_1) - g(x_2)
\end{cases}
\] où $h,g:[-a,a]\rightarrow\R$ avec $h(0)=g(0)=0$
et $\forall x \neq0, \quad x.h(x) >0\text{ et } x.g(x) >0$.\\
L'origine est un point d'équilibre.\\
Fonction de Lyapunov candidate :
\[ V(x)=\int_0^{x_1} h(s)ds +\frac{1}{2}x_2^2\]
$x_1=0$ et $x_2=0\Rightarrow V(x)=0$
$x_1\neq0$ ou $x_2\neq0\Rightarrow V(x) > 0$
donc $V$ est définie positive.\\
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
& = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
& = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1= t \in\R_+$, $x_2= x \in\R^n$, $x_2= x \in\R^n$ donc $\dot{x_1}=1$ et $\dot{x_2}= f(x_1,x_2)$
\begin{example}[Système linéaire non stationnaire]
$\dot{x}(t)= A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq0$
Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$ où $P(t) > 9, \forall t \in\R_+$
$V(t,0)=0, \forall t \in\R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall(t,x)\in\R_+\times\R^n \setminus\{0\}$
Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$ où $f:\R^n \times\R^m \rightarrow\R^n$ ($m$ désigne le nombre d'entrées)
Soit l'origine un point d'équilibre :
\begin{enumerate}
\item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la SEE
\item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D\subset\R^n$)
\end{enumerate}
Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.
\begin{defin}
Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0\in\R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq0$ et $\exists\alpha\in\Kc\Lc$ et $\exists\gamma\in\Kc_{\infty}$ tels que :
