Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\
On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x,u)\\
y = h(x,u)
\end{cases}
\]
avec $f(\bar{x},\bar{u})=0$ et on alors:
\[
\begin{cases}
f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
\end{cases}
\]
Donc :
\[
\begin{cases}
\delta\dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
\delta\dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
\end{cases}
\]
\end{rem}
\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.}\\
\begin{prop}
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t)= M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
\end{prop}
\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
$J =\begin{pmatrix}
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
\end{pmatrix}$ où $\lambda_1 \neq\lambda_2$\\
On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0= M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
\begin{align*}
\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
\end{align*}
Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
\item Dans le cas où $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 < \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
\end{center}
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite}$\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0\in\mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
\end{proof}
\section{Théorème de Bendixon}
\begin{thm}
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un ensemble simplement connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint, sans trous) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x)\neq0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq0$ : contradictoire.
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t)+\alpha\dot{x}(t)+ g(x(t))=0$, avec $x(0)= x_0$ et $\dot{x}(0)=\dot{x}_0$ où $\alpha\neq0$ et $g:\R\rightarrow\R$ continue avec $g(0)=0$. \\
Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et ne peut avoir qu'un comportement périodique.
Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M}\subset\mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
\[
\forall x\in\mathcal{N}, \chi_t(x) \in\mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{}\mathcal{M}^t
\]
\end{defin}
\begin{rem}
Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+=\{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq0\}$ où $S(.,x) : \R\rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0)=\bigcap_{t \geq0}\overline{O_{x_0}^+}$\footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\
