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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\section{Probabilités}
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\subsection{Évènement}
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\begin{itemize}
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\item La réalisation d'une expérience aléatoire (on ne peux pas prédire avec certitude le résultat) est un \textit{évènement} $\omega$, singleton de $\Omega$ ensembles de tous les évènements.
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\begin{exemple}[jet de dé]
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aux évènements ``Tirer 1, ... ,6 `` on associe $\Omega={\omega_1,...\omega_6}$
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\end{exemple}
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\item $\mathcal{E} $est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) de $\Omega$, tel que:
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\begin{itemize}
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\item $\Omega \in \mathcal{E}$
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\item $\mathcal{E}$ est stable par union , intersection et complémentarité.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\subsection{Probabilités}
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\begin{defin}
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On appelle probabilité :
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\[
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P : \begin{cases}
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\mathcal{E} &\to [0,1]\\
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E &\mapsto P(E)
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\end{cases}
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\]
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tel que:
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\begin{itemize}
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\item $ P(\Omega) = 1 $
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\item $ \forall E_i , i\in \mathbb{I} \text{ , desév disjoint 2 à 2}, \implies
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P\left(\displaystyle\bigcup_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\sum_{\mathbb{I}} P(E_i)$
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\pagebreak
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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\item $ P(\bar{E}) = 1-P(E)$
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\item $(P(\emptyset) = 0)$
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\item $A \subset B \implies P(A) \leq P(B)$
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\item $P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\subsection{Probabilités conditionnelles}
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\begin{defin}
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Soit $A$ et $B$ deux évènements. On appelle \emph{probabilité conditionnelle} la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé:
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\[
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P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}[Formule de Bayès]
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\[
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P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
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\]
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\end{prop}
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\subsection{Indépendance}
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\begin{defin}
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Deux évènements $A$ et $B$ sont dits \emph{indépendant} si et seulement si le fait que $A$ est réalisé n'apporte pas d'information sur la réalisaiton de $B$
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\begin{align*}
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& P(A|B) = P(A)\\
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\iff & P(B|A) = P(B)\\
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\iff & P(A\cap B) = P(A) .P(B)
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\end{align*}
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\end{defin}
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\begin{defin}
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Des évènements $(E_i)_{i\in\mathbb{I}}$ sont dits mutuellement indépendants (ou encore indépendants dans leur ensemble), si et seulement si:
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\[
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P\left(\displaystyle\bigcap_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\prod_{\mathbb{I}} P(E_i)
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}
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L'indépendance dans son ensemble implique l'indépendance deux à deux. \\
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La réciproque n'est pas forcément vraie.
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\end{prop}
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\section{Variable aléatoire réelle et scalaire}
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On se place dans un espace probabilisé $\Omega$ donné.
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\subsection{Généralité et exemple}
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\begin{defin}
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On appelle \emph{Variable aléatoire} (VA) :
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\[
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X :
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\begin{cases}
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\Omega \to \R \\
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\omega \mapsto X(\omega)=x
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\end{cases}
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\]
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\end{defin}
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\begin{exemple}
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\begin{itemize}
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\item Dé à n faces (discret)
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\item distance d'une flèche au centre de la cible.
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\end{itemize}
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\end{exemple}
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\begin{prop}
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Pour des variables aléatoires continues,
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\[
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P(X=x) = 0 , \forall x\in \R
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\]
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car $x$ est un point de mesure nulle.
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\end{prop}
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\subsection{Fonction de répartition}
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\begin{defin}
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On appelle fonction de répatition:
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\begin{align*}
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F_X(x) &= P(X\leq x) = P(X \in ]-\infty,x])\\
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&=P(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\le x \})
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\end{align*}
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\end{defin}
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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\item $0 \le\F_X(x) \le1$
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\item $P(a\le X\le b) = F_X(b)-F_X(a)$
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\item $F_x$ est une fonction :
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\begin{itemize}
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\item non décroissante
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\item continue presque partout
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{prop}
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Une variable aléatoire est complétement caractérisée par sa f.d.r
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\begin{rem}
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Dans le cas d'une VAD , $F_X$ est en marche d'escalier.
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\end{rem}
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\subsection{Densité de probabilité}
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\begin{defin}
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On appelle \emph{densité de probabilité} la fonction :
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\[
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f_X(x) \equals_{\mathcal{D}} \dervi[F_X(x)]{x}
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\]
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Avec la dérivée généralisé au sens des distributions.
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\end{defin}
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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\item Les fonction de densité de probabilité et de répartition sont équivalentes pour décrire une variable aléatoire.
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\item $f_X(x)\ge 0$
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\item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\d x = 1$
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\item $\displaystyle \int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)\d \alpha = F_X(x)$
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\begin{rem}
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Pour les variables aléatoires discrètes, la ddp est une suite d'impulsion de Dirac :
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\[
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f_X(x) = \sum_{i\in\mathbb{I}}p_i\delta(x-x_i)
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\]
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\end{rem}
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\begin{exemple}
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\begin{itemize}
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\item VAC uniforme sur $[a,b]$:
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\[
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f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}
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\]
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\item VAC gaussienne :
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\[
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f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} exp\left(\frac{-1}{2}\frac{(x-m_x)^2}{\sigma_X^2}\right)
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\]
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\end{itemize}
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\end{exemple}
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\subsection{Changement de VA}
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\begin{prop}
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Soit $g :
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\begin{cases}
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\R \to \R \\
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X \mapsto g(X) = Y
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\end{cases}$ une fonction homéomorphique\footnotemark \\
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Alors :
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\[
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f_Y(y) = f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right| = f_X(x) \frac{1}{ \left|\deriv[y]{x}\right|}
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\]
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||
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|
Dans le cas ou $g$ n'est pas bijective :
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\[
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|
f_Y(y) = \sum_{x_i|g(x_i)=y}^{}f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right|_{x=x_i}
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||
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|
\]
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\end{prop}
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\footnotetext{continue, bijective continue}
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\subsection{Expérance, moment et fonction caractéristique}
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\subsection{Fonction caractéristique}
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\section{Couple de variable aléatoire réelles}
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\subsection{Généralité}
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\subsection{Fonction de répartition}
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\subsection{Densité de probabilité}
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\subsubsection{Espérance de la VA}
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\subsection{Indépendance}
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\subsection{Changement de VA}
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\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
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\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
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\subsection{Définition}
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\subsection{Fonction de répartition}
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\subsection{Densité de Probabilité}
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\subsection{Indépendance}
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\subsection{Changement de variable aléatoire}
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\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
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\subsection{Va Gaussienne et réelle}
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\section{Extension aux VA complexes}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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