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\documentclass[10pt,a4paper,notitlepage]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{float}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{tikz}
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\addto{\captionsfrench}{\renewcommand{\abstractname}{Introduction}}
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\author{Pierre-Antoine Comby \& Théo Jolivet}
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\title{TP1 : Commande d'un bras à liaison flexible par bouclage linéarisant}
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\input{/home/pac/Scripts/Raccourcis.tex}
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\renewcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\renewcommand{\vec}{\overrightarrow}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Modélisation}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{subfigure}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\node[draw,circle] (O) at (0,-2) {};
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\node[draw,circle] (A) at (-3,0) {};
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\node[draw,circle] (B) at (3,0) {};
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\node[draw,circle] (P) at (0,5) {};
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\draw[very thick] (O) -- (P) node[midway,right]{R} (A)--(P)node[midway,left]{$L_1$} (B)--(P)node[midway,right]{$L_2$};
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\draw[latex-latex] (O) -- ++(3,0) node[midway,above]{$r$};
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\draw[latex-latex] (B) -- ++(0,-2) node[midway,right]{$d$};
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\end{tikzpicture}
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\subcaption{Bras en position stationnaire}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\node[draw,circle] (O) at (0,-2) {};
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\node[draw,circle] (A) at (-3,0) {};
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\node[draw,circle] (B) at (3,0) {};
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\node[draw,circle] (P) at (-1,5) {};
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\node[below=0.7em] at (O) {O};
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\node[left=0.7em] at (P) {P};
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\draw[very thick] (O) -- (P) node[midway,right]{R} (A)--(P)node[midway,left]{$L_1$} (B)--(P)node[midway,right]{$L_2$};
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||
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|
\draw[latex-latex] (O) -- ++(3,0) node[midway,above]{$r$};
|
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|
\draw[latex-latex] (B) -- ++(0,-2) node[midway,right]{$d$};
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||
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|
\draw[dashed,latex-latex] (B) -- ++(0,5) node[midway,right]{$L_{2y}=L_{1y}$};
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||
|
|
\draw[dashed,latex-latex] (P) -- ++(4,0) node[midway,above]{$L_{2x}$};
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||
|
|
\draw[dashed,latex-latex] (A) -- ++(2,0) node[midway,below]{$L_{1x}$};
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||
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|
\draw [dashed] (A) ++(2,0) -- (P);
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|
\draw[dashed] (O) -- ++(0,2.2);
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|
\draw (O)++(0,2) arc(90:98:2)node[midway,above]{$\psi$};
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|
\draw (B) ++ (0,1) arc (90:130:1) node[midway,above]{$\theta_2$};
|
||
|
|
\draw (P) ++ (0,-1) arc (-90:-113:1) node[midway,below]{$\theta_1$};
|
||
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|
\end{tikzpicture}
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|
\subcaption{Bras en mouvement}
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|
\end{subfigure}
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|
\caption{Schéma cinématique du système}
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\label{fig:label}
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\end{figure}
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\paragraph{Prépa.1}
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À partir de la figure on a :
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\begin{align*}
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L_{1x} &= r - \sin(\psi)R \\
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|
L_{2x} &= r + \sin(\psi)R \\
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|
L_{1y} &= R\cos(\psi) - d
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||
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|
\end{align*}
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|
\paragraph{Prépa.2} On a par définition:
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\begin{align*}
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F_1 &= -k (L_1-L)
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|
F_2 &= -k (L_2-L)
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||
|
|
\end{align*}
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|
On introduit les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ tel que :
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\[
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|
\tan(\theta_1) =\frac{L_{1x}}{L_{1y}} \text{ et } \tan(\theta_2) =\frac{L_{2x}}{L_{2y}}
|
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|
\]
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||
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|
Alors on a pour $F_1$ :
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\begin{align*}
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|
F_{1y} = F_1 \cos(\theta_1) &= F_1 \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\theta_1)}}\\
|
||
|
|
&= F_1 \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{L_{1x}}{L_{2y}}\right)^2}} \\
|
||
|
|
&= k\left(\sqrt{L_{1x}^2+L_{1y}^2}-L\right) \frac{L_{1y}}{\sqrt{L_{1y}^2+L_{1x}^2}}\\
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||
|
|
&= k L_{1y} \left(1- \frac{L}{\sqrt{L_{1y}^2+L_{1x}^2}}\right)
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||
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|
\end{align*}
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|
et :
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\begin{align*}
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F_{1x} &= F_1 \sin(\theta_1)\\
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||
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|
&= F_1 \cos(\theta_1)\tan(\theta_1) \\
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||
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|
&= k L_{1y} \left(1- \frac{L}{\sqrt{L_{1y}^2+L_{1x}^2}}\right) \frac{L_{1x}}{L_{1y}} \\
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||
|
|
&= k L_{1x} \left(1- \frac{L}{\sqrt{L_{1y}^2+L_{1x}^2}}\right)
|
||
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|
\end{align*}
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|
On a les mêmes relations pour $F_2$ soit:
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\[
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|
F_{2x} = k L_{2x} \left(1- \frac{L}{\sqrt{L_{2y}^2+L_{2x}^2}}\right) \text{ et }
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||
|
|
F_{2y} = k L_{2y} \left(1- \frac{L}{\sqrt{L_{2y}^2+L_{2x}^2}}\right)
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|
\]
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|
Et alors :
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\[
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|
\vec{F_1} = \vect{-F_{1x} \\-F_{1y}} \text{ et } \vec{F_2} = \vect{F_{2x}\\-F_{2y}}
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\]
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\paragraph{Prépa.3}
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À partir des expression cartésiennes des forces on a le moment :
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\[
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\vec{\mathcal{M}_{0}}(\vec{F}) =\vec{OP}\wedge (\vec{F_1} + \vec{F_2})=
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||
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|
\vect{R\sin\psi \\ R\cos\psi \\0} \wedge \vect{F_{2x}-F_{1x}\\ F_{2y}-F_{1y}\\0} = M \vec{u_z}
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\]
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Soit :
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\[
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M = R\cos\psi(F_{2x}-F_{1x}) -R\sin\psi(F_{2y}-F_{1y})
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\]
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\paragraph{Prépa.4}
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On a :
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\[
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F_{2x}-F_{1x} = 2kR\sin\psi + krL \left(
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||
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\underbracket{ \frac{1}{\sqrt{L_{2y}^2+L_{2x}^2}}- \frac{1}{\sqrt{L_{1y}^2+L_{1x}^2}}}_{\Delta}
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||
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|
\right)
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||
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|
- k\sin\psi RL \left(\underbracket{
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||
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|
\frac{1}{\sqrt{L_{2y}^2+L_{2x}^2}} + \frac{1}{\sqrt{L_{1y}^2+L_{1x}^2}}
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||
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|
}_{\Sigma} \right)
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\]
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En effectuant à l'orde 1 sur $\Sigma$ et $\Delta$ on a:
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\[
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\Delta = \frac{r\psi R}{((R-d)^2+r^2)^{3/2}} \text{ et } \Sigma = \frac{2}{\sqrt{(R-d)^2+r^2}}
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\]
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soit :
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\[
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F_{2x}-F_{1x} \simeq 2 k R \psi + \psi \frac{kr^2RL }{((R-d)^2+r^2)^{3/2}}- 2k\psi RL \frac{1}{\sqrt{(R-d)^2+r^2}} = \psi K_x
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\]
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Avec
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\[
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K_x = 2kR + \frac{kr^2RL}{((R-d)^2+r^2)^{3/2}} -\frac{2kRL}{\sqrt{(R-d)^2+r^2}}
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\]
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|
On fait de même pour $F_{2y}-F_{1y}$ soit :
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\[
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F_{2y}-F_{1y} = kR(\cos\psi-d)L \Delta = \frac{kR^2(1-d)Lr}{((R-d)^2+r^2)^{3/2}}\psi =K_y \psi
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\]
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enfin :
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\[
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M = RK_x\psi + RK_y\psi^2
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\]
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Au premier ordre on a :
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\[
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M = \underbracket{R \left(2kR + \frac{kr^2RL}{((R-d)^2+r^2)^{3/2}} -\frac{2kRL}{\sqrt{(R-d)^2+r^2}}\right)}_{K_s} \psi
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|
\]
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\paragraph{Prépa.5}
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Pour le système \{plateforme + bras\} on a l'énergie cinétique:
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\[
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E_c= \frac{1}{2}(J_b+J_p)\dot{\alpha}^2+ \frac{1}{2}\dot{\psi}^2
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\]
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\paragraph{Prépa.6}
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Avec l'ensemble de la masse regroupé à son centre de gravité on a a : l'énergie potentielle de \{plateforme + bras\} suivante :
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\[
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E_p = mgh\cos(\alpha+\psi)
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\]
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\paragraph{Prépa.7}
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On rappel l'expression générale des equations d'Euler-Lagrange:
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\[
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\deriv{t}\derivp[E_c]{\dot{q_i}}-\derivp[E_c]{q_i} =Q_i
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\]
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Avec $q_i $ coordonnée généralisée et $Q_i$ la forcé généralisé associée à $q_i$( qui regroupe energie potentielle dérivée suivant $q_i$ et les forces s'exercant au système)
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On choisit $\alpha$ et $\psi$ comme coordonnée généralisée (système à deux degrès de liberté). Le système est commandé par la MCC, qui exerce un couple $N\phi i$:
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\[
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\begin{cases}
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|
J_b(\ddot{\alpha}+\ddot{\psi})+K_s\psi- mgh \sin(\alpha+\psi) &= 0 \\
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||
|
|
J_b(\ddot{\alpha} + \ddot{\psi})+J_p\ddot{\alpha} -mgh\sin(\alpha+\psi) &= N\phi i
|
||
|
|
\end{cases}
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||
|
|
\]
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||
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\paragraph{Prépa.8}
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À partir de l'équation électrique :
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\[
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u =Ri + L \deriv[i]{t} + \phi \omega_m
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||
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|
\]
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|
On pose $\tau_e = \frac{L}{R} = 69.2 \mu s$ constante de temps électrique du moteur.
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|
\paragraph{Prépa.9}On a $\tau_e \ll \tau =17 ms$ on peux donc négliger l'effet inductif dans l'équation électrique et alors:
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\[
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|
i = \frac{u -\phi \omega_m}{R} = \frac{u-\phi N \dot{\alpha}}{R}
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|
\]
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|
\paragraph{Prépa.10} Avec le rapport de transformation $N$ on a:
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\[
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|
\omega_m = N \dot{\alpha}
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|
|
\]
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\paragraph{Prépa.11}
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À partir des équations de Lagrange et des équations du moteur électrique on a : le modèle d'état suivant :
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\[
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\begin{cases}
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||
|
|
\dot{x_1} &= x_3\\
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||
|
|
\dot{x_2} &= x_4 \\
|
||
|
|
\dot{x_3} &= \frac{K_s}{J_p}x_2- \frac{(N\phi)^2}{RJ_p}x_3+ \frac{N\phi}{RJ_p} u \\
|
||
|
|
\dot{x_4} &= -\frac{K_s}{J_p}x_2+ \frac{(N\phi)^2}{RJ_p}x_3- \frac{N\phi}{RJ_p}u -\frac{K_s}{J_b} x_2 +\frac{mgh}{J_b}\sin(x_1+x_2) \\
|
||
|
|
y &= x_1+x_2
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
\]
|
||
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|
On a donc les matrices d'états suivantes:
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|
\[
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||
|
|
\vect{\dot{x_1} \\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\\ \dot{x_4}}=
|
||
|
|
\begin{bmatrix}
|
||
|
|
0 & 0 & 1 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 0 & 0 & 1 \\
|
||
|
|
0 & \frac{K_s}{J_p} & -\frac{(N\phi)^2}{RJ_p} & 0 \\
|
||
|
|
0 & - K_s\frac{J_p+J_b}{J_bJ_p} & +\frac{(N\phi)^2}{RJ_p} & 0
|
||
|
|
\end{bmatrix}
|
||
|
|
\cdot\vect{x_1 \\x_2\\x_3 \\x_4}
|
||
|
|
+
|
||
|
|
\begin{bmatrix}
|
||
|
|
0 & 0\\
|
||
|
|
0 & 0\\
|
||
|
|
\frac{N\phi}{RJ_p} & 0\\
|
||
|
|
-\frac{N\phi}{RJ_p} & 1\\
|
||
|
|
\end{bmatrix}
|
||
|
|
\vect{u \\ \frac{mgh}{J_b}\sin(x_1+x_2)}
|
||
|
|
\]
|
||
|
|
|
||
|
|
\section{Commande en boucle fermé}
|
||
|
|
\paragraph{Manip.1}
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|
|
On réalise le modèle d'état dans simulink
|
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|
|
\begin{figure}[ht]
|
||
|
|
\centering
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||
|
|
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{modeleNL_schema.png}
|
||
|
|
\caption{Modèle d'état simulé}
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|
\label{fig:label}
|
||
|
|
\end{figure}
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||
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|
En excitant le modèle avec un echelon on obtient :
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||
|
|
\begin{figure}[ht]
|
||
|
|
\centering
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||
|
|
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{modeleNL.png}
|
||
|
|
\caption{Variable d'états en sortie du modèle}
|
||
|
|
\label{fig:label}
|
||
|
|
\end{figure}
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|
La simulation correspond au modèle attendu (on commande le systeme en position), il est stable mais non précis, de plus les dérivées sont assez chaotiques.
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|
\paragraph{Prépa.12}
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|
À partir de la sortie $y$ il faut dérivé 4 fois pour que la commande $u$ apparaisse. on a donc
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\begin{align*}
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z_1 & = y \\
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||
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|
z_2 = \dot{z_1} &= \dot{x_1}+\dot{x_2} = x_3+ x_4 \\
|
||
|
|
z_3 = \dot{z_2} &= \dot{x_3}+\dot{x_4} \\
|
||
|
|
&= \frac{K_s}{J_b}x_2+\frac{mgh}{J_b}\sin(x_1+x_2)\\
|
||
|
|
z_4 = \dot{z_3} & = \frac{-K_s}{J_b}x_4+\frac{mgh}{J_b}(x_3+x_4)\cos(x_1+x_2)\\
|
||
|
|
\dot{z_4} &= \frac{-K_s}{J_b}\left(
|
||
|
|
-K_s\frac{(J_b+J_p)}{J_pJ_b}+ \frac{(N\phi)^2)}{RJ_p}x_3 - \frac{N\phi}{RJ_p}u +\frac{mgh}{J_b}\sin(x_1+x_2)
|
||
|
|
\right)\\
|
||
|
|
&+
|
||
|
|
\frac{mgh}{J_b}\left(\frac{-K_s}{J_b}x_2+\frac{mgh}{J_b}\sin(x_1+x_2)
|
||
|
|
\right)\cos(x_1+x_2) -
|
||
|
|
\frac{mgh}{J_b}(x_3+x_4)^2\sin(x_1+x_2)
|
||
|
|
\end{align*}
|
||
|
|
|
||
|
|
On pose donc $v = \dot{z_4}$.
|
||
|
|
|
||
|
|
\paragraph{Prépa.13}
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|
On a fais les calculs en Prépa.13 , on peux donc réaliser le schéma bloc suivant :
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||
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|
\begin{figure}[H]
|
||
|
|
\centering
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\begin{scope}[at={(0,0)}]
|
||
|
|
\node[draw, minimum height=1cm] (C) at (0,0) {
|
||
|
|
\begin{tabular}[c]{c}
|
||
|
|
Synthèse \\de la commande
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
};
|
||
|
|
\node[draw, minimum height=1cm] (S) at (3.5,0) {$\dot{x}=f(x)+g(x)u$};
|
||
|
|
\node[draw, minimum height=1cm] (N) at (7,0) {$z=\Phi(x)$};
|
||
|
|
\draw[-latex] (-2,0) -- (C.west) node[near start,above]{$v$};
|
||
|
|
\draw[-latex] (C.east) -- (S.west) node[near start, above]{$u$};
|
||
|
|
\draw[-latex] (S.east) -- (N.west);
|
||
|
|
\draw[-latex] (N.east) -- ++(1,0) node[above left]{$y$};
|
||
|
|
\draw[-latex] (N.south) |- ++(-2,-1) node[near start,right]{$x$} -| (C.south);
|
||
|
|
\end{scope}
|
||
|
|
\node at (3,-2.5){\Large$\Updownarrow$};
|
||
|
|
\begin{scope}[shift={(0,-4)}]
|
||
|
|
\node[draw, minimum height=1cm] (I1) at (0,0) {$\int$};
|
||
|
|
\node[draw, minimum height=1cm] (I2) at (2,0) {$\int$};
|
||
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\node[draw, minimum height=1cm] (I3) at (5,0) {$\int$};
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\draw[-latex] (-2,0) -- (I1.west) node[near start, above]{$v$};
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\draw[-latex] (I1.east) -- (I2.west) node[near start, above]{$z_n$};
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\draw[-latex] (I2.east) -- ++(1,0) node[midway,above]{$z_{n-1}$};
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\draw[-latex,dashed] (I2.east)++(1,0) -- (I3.west) node[near end, above]{$z_{2}$};
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\draw[-latex] (I3.east) -- ++(2,0) node[near end, above]{$z_1=y$};
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Forme normale}
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\end{figure}
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\paragraph{Manip.2}
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Pour réaliser le bouclage linéarisant, on utilise le fichier transmis au cours de TP au groupe (mon implémentation ne donnait pas de résultat attendu malgré les nombreux réglages effectués).
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.7\textwidth]{BLin.png}
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\caption{Sortie du modèle et du bouclage}
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\label{fig:label}
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\end{figure}
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Les sorties issues du modèle non linéaire et du changement de variable sot identique, on a bien $y=z_1$.
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\paragraph{Prépa.14}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: t
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%%% End:
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