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\documentclass{article}
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\input{../../preambule/preambule}
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\newcommand{\nom}{TD6 : Bouclage linéarisant par retour d'état dynamique}
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\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
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\begin{document}
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\titre{\nom}
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\cacededi{Je vais aller chier dans ta voiture, on verra qui c'est qui se sent violé.}{Tom Colinot}
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\section*{Exercice}
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On considère le système suivant:
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\[\left\{\begin{matrix}
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\dot{x_1} = x_3^2 + u_1 + u_2\\
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\dot{x_2} = x_2x_3 + u_2\\
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\dot{x_3} = u_1 \\
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y_1 = x_1 - x_3
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y_2 = x_2
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\end{matrix} \right. \]
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\begin{enumerate}
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\item Pour vérifier si le système est linéarisable par retour statique on commence par calculer les dérivées successives:
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\begin{align*}
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\dot{y_1} &= \dot{x_1} - \dot{x_3} = x_3^2 + u_2 \Rightarrow r_1 = 1\\
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\dot{y_2} = x_2x_3 + u_2 \Rightarrow r_2 = 1
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\intertext{ainsi r= 2}
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\begin{pmatrix}\dot{y_1}\\ \dot{y_2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_3^2 \\x_2 x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\end{pmatrix}
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\end{align*}
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u s'exprime donc en fonction de $D^{-1}$, D n'est pas inversible implique qu'il n'y a pas de bouclage linéarisant statique.\\
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\item Pour le bouclage dynamique, les commandes sont dépendantes du temps.
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Si on ne rajoute pas de dynamique, on ne trouve pas un r assez grand, on rajoute donc $\dot{x_4} = \omega$ et $\dot{u_2} = \omega$ est une nouvelle commande:
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\begin{align*}
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\ddot{y_1} &= 2x_3\dot{x_3} + \dot{u_2}\\
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&=2 x_3u_1 + \dot{u_2} \text{donc $r_1 = 2$}\\
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\ddot{y_2} &= \dot{x_2} x_3 + x_2 \dot{x_3} + \dot{u_2}\\
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&= x_2x_3^2 + x_4x_3 + x_2x2u_1+\omega
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\end{align*}
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Ainsi, le système se met sous forme normale:
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\begin{align*}
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z_1 &= y_1\\
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z_2 &= y_2\\
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\dot{z_1} &= z_3\\
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\dot{z_3} &= 2x_3u_1 + \omega = v_1\\
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\dot{z_2} &= z_4\\
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\dot{z_4} &= x_2x_3^2 + x_4x_3 + x_2u_1 + \omega = v_2
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\intertext{ainsi, on a:}
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\begin{pmatrix}
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v_1\\v_2
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\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
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0\\x_2x_3^2 + x_4x_3
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\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
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2x_3 & 1\\x_2 & 1
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\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
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u_1 \\ \omega
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\end{pmatrix}
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\end{align*}
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Ainsi, D(x) (la matrice devant le vecteur de commande, hein!) est inversible si $2x_3-x_2 \neq 0 $.\\
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Si cette condition est réalisable alors le modèle est linéarisable.
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\imgt{1}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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