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6 KiB
TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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On suppose que le modèle est soumis à des pertubations:
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x} = f(x) +g(x)u+p(x)w\\
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y = h(x)
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\end{cases}
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\]
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\begin{rem}
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Si $w$ modélise des incertitudes de modèle, alors on suppose que les erreurs de modélisation n'implique pas d'instabilité, $w$ ne dépend pas de $x$.
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\end{rem}
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On applique au modèle le principe du bouclage linéarisant:
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\[
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y=h(x)=z_1\implies z_2\dot{z_1} = \dot{y} =h(x)
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\]
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Ainsi l'analyse sur le rejet de pertubation et réalisé sur la relation entre $r$ le degré relatif associé à $u$ et $\sigma$ le degré relatif associé à $w$.
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\begin{itemize}
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\item $r < \sigma$ : \\
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Alors le bouclage linéraisant a rendu la pertubation non commandable
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\item $r \ge \sigma$:\\
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\begin{itemize}
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\item Soit on peux mesurer $w$ pour atténuer son effet
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\item Soit on modélise la pertubation, généralement sous forme canonique (ie $w^{(\alpha)}= 0$ , ou $\alpha$ est l'ordre). Pour avoir le cas $r<\sigma$ on réalise une observateur de pertubation et atténuer son effet.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\section{Rejet de pertubation via la commande par mode glissant}
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\subsection{Exemple et Définitions}
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Dans la commande par mode glissant on a $U = u_{eq}+u_y$ avec:
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\begin{itemize}
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\item $u_{eq}$ commande sans pertubation pour une poursuite asymptotique
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\item $u_y$ commande à structure variable pour faire converger $x$ vers $x^*$.
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\end{itemize}
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\begin{exemple}
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Onduleur de tension commandé en courant
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\newsavebox{\genericfilt}
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\savebox{\genericfilt}{%
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\begin{tikzpicture}[font=\small,>=stealth,scale=0.5]
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\draw[->] (-1,0)-- (1,0);
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\draw[->] (0,-1)--(0,1);
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\draw[thick] (-1,-0.7) -- (0.5,-0.7);
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\draw[thick] (1,0.7) -- (-0.5,0.7);
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\draw[thick] (0.5,-0.7) -- (0.5,0.7);
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\draw[thick] (-0.5,-0.7) --(-0.5,0.7);
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\end{tikzpicture}%
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}
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\begin{figure}[H]\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{scope}
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\begin{axis}
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[axis lines= middle,
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xmin= 0,xmax= 8,
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ymin =-2,ymax=2,domain=0:8,
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]
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\addplot[no marks,blue,samples=200]{sin(deg(x))+0.1*sin(100*deg(x+1))};
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\addplot[no marks,red]{sin(deg(x))};
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\end{axis}
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\end{scope}
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\begin{scope}[shift={(7,3)}]
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\sbEntree{I}
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\sbComp{Comp}{I}
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\sbRelier[$i_{ref}$]{I}{Comp}
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\sbBlocL{N}{\usebox{\genericfilt}}{Comp}
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\sbSortie{Y}{N}
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\sbRelier[$y$]{N}{Y}
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\sbDecaleNoeudy[4]{Comp}{i}
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\sbRelier[$i$]{i}{Comp}
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\end{scope}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Exemple de l'onduleur de tension}
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\end{figure}
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Si la fréquence est infinie on a un mode glissant
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\end{exemple}
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\begin{defin}
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Un système est à structure variable si la commande commute entre 2 valeurs suivant une logique $\sigma(x)$.
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\end{defin}
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\begin{prop}
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$\sigma(x)$ permet de glisser sur $S(x,t)$ surface de glissement si la fréquence de commutation est infinie. On a :
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\[
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V(x) = \frac{1}{2}S(x,t)^2
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\]
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Soit :
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\[
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\dot{V}(x)= S(x,t)\dot{S}(x,t) <0 : \sigma(x)
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\]
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\end{prop}
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Dans un régime glissant on est dans un voisinage de $S(x,t)=0$ et pour maintenir le glissement la logique de commutation $\sigma(x)$ vérifie :
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\[
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\lim_{S\to0^-} \dot{S} >0 \text{ et }\lim_{S\to0^+} \dot{S}>0
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\]
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\subsection{Application à la commande par mode glissant}
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On utilise la méthode suivante
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\begin{enumerate}
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\item Choisir $S(x,t)$:
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Généralement $S(x,t)$ est obtneu par la porusuite asymptotique de $y$ (sortie du système) vers $y_c$, en choisissant une dynamique de poursuite linéaire. Alors on pose :$\epsilon(t)= y_c(t) -y(t)$ erreur de poursuite. et on a:
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\[
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S(x,t) = \epsilon^{(m)}(t)+\beta_{m-1}\epsilon^{(m-1)}(t)+ ... +\beta_1 \epsilon^{(1)}(t)+\beta_0 \epsilon(t)
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\]
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Avec $\beta_i$ tel que $p^m+\beta_{m_1}p^{m-1}+ ... \beta_0$ est un polynome d'hurwitz\footnote{Racine à partie Réelle négatives}.
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Généralement on prend :
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\[
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\left(
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\deriv[]{t}+\lambda
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\right)^m \epsilon(t)= 0 ,\lambda > 0
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\]
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\item Trouver $u_g$ qui réalise la logique $\sigma(x)$ tel que $u_g = W signe(S)$, avec $W> 0$. Ainsi on a :
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\[
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u = u_{eq}+u_g \text{ avec } \dot{S} = 0 \text{ pour } u_{eq}
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\]
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\end{enumerate}
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\subsection{Application au bouclage linéarisant}
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On pose $m= r-1$ (où $r$ est le degré relatif) Alors on a :
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\begin{align*}
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z_1 &= y = h(x) \\
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\dot{z_1} &= z_2 \\
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\dot{z_2} &= z_3 \\
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& \vdots \\
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\dot{z_r} &= v \\
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\end{align*}
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Avec
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\[
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u \frac{1}{L_gL_f^{r-1}}\left(
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-L_f^r h(x)+\underbrace{y_c^{(r)}+\dot{S}+W.sgn(S)}_{v}
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\right)
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\]
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Soit
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\[
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v = y^{(r)}+\dot{S} + W sgn(S)
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\]
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À cette forme on rajoute une perturbation ( du au erreur du modèle):
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\begin{align*}
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z_1 &= y = h(x) \\
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\dot{z_1} &= z_2 \\
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\dot{z_2} &= z_3 \\
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& \vdots \\
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\dot{z_r} &= y^{(r)} = v + \Delta \\
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\end{align*}
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Avec $|\Delta| < K $. Pour assurer la poursuite de trajectoire on veux $ y^{(r)}=y_c^{(r)}$ Ainsi: $\dot{S} = - W sgn(S) -\Delta$. On pose $W = K \alpha$.
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\begin{itemize}
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\item Si $S > 0 \implies \dot{S} < -K (\alpha-1) < 0 \implies S\dot{S} <0 $ avec $\alpha >1$.
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\item Si $S<0 \implies \dot{S} = W - \Delta > K(\alpha-1) >0 \implies S\dot{S} > 0 $
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\end{itemize}
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On a le mode de glissement avec $u_g = W sgn(S) $. C'est pour cette raison qu'on prend $W_{sat} =
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\begin{cases}
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+U_{max}\\
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-U_{max}
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\end{cases}
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$
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\subsection{Commande par mode glissant - Récapitulatif}
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On fabrique la commande suivante pour rejeter les pertubations:
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\[
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u = u_{eq} + u_g
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\]
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où :
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\begin{itemize}
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\item $u_{eq}$ est la commande sans pertubation ni incertitude sur le modèle.
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\item $u_g = W sgn(S)$ la fréquence de variation de $u_g$ doit être très grande devant la dynamique de la poursuite.
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\end{itemize}
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Le problème de la discontinuité de $u$ dans les excitation des dynamiques du système. La solution est de réalisée la loi de commande sur $w= \dot{u}$, $u$ devient une variable d'état d'un\emph{ modèle augmenté}.
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Sur le nouveau modèle on applique le mode glissant sur $w = w_{eq}+ w_g$
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\end{document}
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%%%Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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